關于二階導數的級數斂散性問題

吳亞玲　廖春艷

[摘?????????? 要]? 級數斂散性的判定是數學分析課程中的重要內容和教學難點，通過實例討論函數滿足二階導數且通項中帶f（）形式的一類級數的斂散性判定.

[關??? 鍵?? 詞]? 二階導數;級數;斂散性

[中圖分類號]? G642????????????? ????? ???[文獻標志碼]? A??????????????? [文章編號]? 2096-0603（2019）34-0026-02

一、定理及推論

本文主要討論滿足二階導數的級數斂散性判定，重點分析通項中帶f（）的斂散性判定.

定理（二階導數判定定理） 設函數f（x）在x=0處具有二階導數，則級數f（）收斂的充要條件是f（0）=f'（0）=0.

證明（必要性）假設函數f（x）在x=0處具有二階導數，且級數f（）收斂.因為函數f（x）在x=0處具有二階導數，則f（x）在x=0的領域內是連續的，則由級數收斂的必要條件，f（）=0=f（0），又f'（0）==，假如極限值為非零的實數，即f'（0）≠0，則由級數的極限審斂法，級數f（）發散，同假設矛盾，所以f'（0）=0.

（充分性）設f（0）=f'（0）=0成立，因為函數f（x）在x=0處具有二階導數，則由Taylor展開式

f（）=f（0）+f'（0）（-0）+（-0）2+0（），

故f（）=f'（0）+0（），故f（）-f''（0），n→∞，故f（）收斂.

我們也可將這個結論做一定的推廣：

推論 設f（x）在R上具有直到n+1階導數且f'（x）≠0，則級數[f（）-f（0）]發散，[f（）-f（0）-f'（0）].

二、相關應用

有了這個定理，在證明通項為f（）形式的級數斂散性的結論時可以考慮直接利用定理的結論.例如以下類型的題目：

例1 （1）（arcsin-）;（2）[+lnn-ln（n+1）];

解：（1）不難觀察，級數的通項中為f（）形式，其中f（）=arcsin-，f（x）=arcsinx-x，f'（x）=-1，.函數f（x）在x=0處具有二階導數，且f（0）=f'（0）=0，由二階導數判定定理可證，級數收斂.

（2）通過簡單的化簡，可以將級數的通項化成f（）形式，其中f（）=+lnn-ln（n+1）=+ln，f（x）=x-ln（1+x），f'（x）=1-，f''（x）=，故函數f（x）在x=0處具有二階導數，且f（0）=f'（0）=0，由二階導數判定定理，知級數收斂.

讀者也可自行利用二階導數判定級數的斂散性定理證級數（-1）n（1+-]及的斂散性.

在一些考研和競賽題中，也經常會出現此類題目，但是需要給出完整的證明，我們可以借助證明定理的方法來證明此類題目.

例2 設函數f（x）在x=0處具有二階連續導數，且有=0，證明級數收斂且f（）絕對收斂.

證明 因為=0，故f（x）=0=f（0），且f'（0）==0，將函數f（x）在x=0處二階泰勒展開，為f（x）=f（0）+f'（0）（x-0）+（x-0）2+0（x2）.

故f（）=f'（0）+0（），有-f''（0），f（）-f''（0），n→∞，則收斂且f（）絕對收斂.

例3 設函數f（x）二階可導，且有f''（0）>0和=0，求級數f（）xn的收斂域.

解：令an=f（），類似例2的證明，可知f（0）=0，

f'（0）=0，于是=====.

注 若無條件“函數f（x）在x=0處具有二階連續導數”，則結論不成立。反例：f（x）=.

因為函數f（x）在x=0處不具有二階連續導數，且

f（）==，

又≥>，故發散.

在一些題目中，雖然通項中能建立y（）的表達式，但是給出的條件并不能滿足二階導數判定定理的條件，這時候需要進一步分析給出的條件，挖掘其中蘊含的條件，利用證明定理的方法類似去證明.

例4 已知函數y=y（x）滿足等式y'=x+y，且y（0）=1，討論級數[y（）-1-]的斂散性.

解：因為y'=x+y，所以y''=1+y'.由y（0）=1得y'（0）=1，y''（0）=2，由函數y=y（x）的二階Taylor展開式

y（）=y（0）+y'（0）++0（），

知y（）-1-在當n→∞時與等價.因級數收斂，故原級數必收斂，且是絕對收斂.

題設條件蘊含y'（0）=1，y''（0）=2，從而可將函數y=y（x）在x=0處展開成二階Taylor展開式，建立y（）的表達式.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（下）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]陳兆斗，黃光東，趙琳琳，等.大學生數學競賽習題精講[M].北京：清華大學出版社，2015.

[3]同濟大學數學系.高等數學（下）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

◎編輯 馮永霞