運用實例教學正反比例概念的淺見

石娟

摘 要：正反比例概念的教學是小學數學教學的難點，是初中函數教學的基礎。本文就運用實例概括概念，理解正反比例之間的聯系，判斷正反比例，解答相關應用問題幾個方面作了闡述。

關鍵詞：小學數學教學 正反比例概念 形成 判斷 應用

人民教育出版社出版的現行小學數學教材將比安排在六年級上冊，將比例安排在六年級下冊。因為“比”和“比例”是現實問題的抽象，在教學中應通過實例形成概念，掌握規律，鞏固概念。而正反比例的知識，反映了生活和學習中最基本、最常見的數量關系以及變化規律。現就如何運用實例教學正反比例概念談一些淺見。

一、運用實例概括概念，揭示正反比例之間的內在聯系

新的數學概念的引入直接關系到概念的形成和發展，在正反比例概念的教學中，充分運用教材中的實例：“文具店有一種彩帶，銷售的數量與總價的關系”和“圓柱形玻璃杯的底面積與水的高度的變化情況”應引導學生用自己的語言敘述教材中相應的兩個表中的數量關系，并借助教材上提供的數據和圖表，滲透函數思想，讓學生知曉：兩種相關量，是指一種量變化，另一種量隨著變化。接著要求學生抽象概括兩種相關聯的量的變化規律，實例1，是，兩種量的比值一定，用X/Y=K表示：實例2是，兩種量的乘積一定，用XY=K表示。

那么它們到底有哪些聯系呢？這兩個概念的前提是相同的，條件和結論各不相同。條件為相對應的兩個數的比值一定，結論是成正比例;條件為相對應的兩個數的積一定，結論是成反比例。從而精確地、完整地、清晰地概括出了正反比例的概念。

二、運用實例進行正反比例的判斷

要想正確解答正反比例的應用問題，首先就要判斷該問題到底是正比例問題，還是反比例問題，常用判定方法有以下幾種。

1.簡單問題的實例判斷

學習正反比例的概念后，對于一些簡單問題采用實例判斷。如，某學生步行時，速度、時間、路程三個變量進行研究，借助已學知識：路程=速度×時間。如果，速度（時間）一定，路程和時間（速度）成正比例。如果路程一定，速度與時間成反比例。

2.易錯問題的實例判斷

如，“圓的周長一定，圓周率和直徑成反比例。”的判斷。有的學生誤認為：“積一定，兩種相關聯的量就成反比例。”

通過C=2πR=πd的實例運算，大家才恍然大悟，π是常數，不是變量，命題不成立，若將C，R看變量，=2π，符合正比例概念要求，C與R成正比例。從而提高了學生對正反比例的判斷能力。

3.易混問題的實例判斷

如，判斷題：（1）讀書的時間一定，讀一頁書所需時間與頁數;（2）讀書的時間一定，讀書總頁數和讀每頁書所用的時間。有的學生一見“時間一定”就迫不及待地判斷“成正比例”。為此，可創設了一個實例：某學生讀40分鐘的書，如果每分鐘讀0.5頁，他一共能讀多少頁0.5×40=20（頁），不難看出（1）屬于x.y=k的問題，是反比例;（2）屬于x/y=k的問題，成正比例。

4.陌生問題的實例判斷

如，一根長方體木料，所鋸段數和需用時間，成什么比例？因為學生缺乏生活經歷，對此類問題感到陌生，容易誤判為成正比例。用實例讓學生畫草圖，比較鋸成2段、3段、4段，......時相應所鋸的次數......。發現：鋸成的段數總比所鋸的次數多1。于是出現了≠≠，以及1×2≠2×3≠3×4。所以它們之間既不能成正比例，也不能成反比例。

三、用實例法深化概念的基礎知識，生成基本技能

修訂后的《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了四基標準。基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。基礎知識的學習目標是解決“知道”與“不知道”的問題。而基本技能的學習目標是解決完成活動時“會與不會”“熟練與不熟練”以及熟練到什么程度的問題。要想將知識變成技能，是需要經過動手操作、動筆演練、動腦思考、合作交流等一系列的訓練過程。現以正反比例為例加以說明：

1.用實例理解概念，生成判斷技能

正反比例這一部分的教學內容，主要使學生理解和掌握兩種相關聯的變量間的比例關系。如行程問題中的基本公式：路程=速度×時間。根據正反比例的概念，路程、速度、時間三個變量中，必須有一個量一定，判斷另外兩個變量的關系。如某學生步行速度4公里/小時，步行3小時的路程是多少？4×3=12（公里）。依據正反比例的概念，得出：①速度一定，路程與時間成正比;②時間一定，路程與速度成正比;③路程一定，速度與時間成反比例。在此基礎上，用正反比例的概念解答這一類型的應用題就順利了。如，解決：購物問題，=數量;做工問題，=工作效率;產量問題，=畝產量。......

2.用實例轉換成正反比例的技能

在生活和學習中，學生會遇到一些具有兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化的情況。如，植樹、路邊安裝路燈、鋸木分段、爬樓梯等問題中兩個變量乍看是成正比例或反比例，按實例算一下，卻不一定是。

如，植樹問題，在60米長的跑道外側植樹每5米植1棵，可植多少棵？植樹棵數與間隔數成比例嗎？通過實例算一下，得出以下結論：①兩端都植1棵間隔數與棵數不成比例;②一端植一端不植，間隔數與棵數成正比例;③兩端都不植，間隔數與棵數不成比例。將①的棵數-1，③的棵數+1，就轉換成②了。想實例，安裝路燈與植樹一樣，鋸木分段所鋸次數比段數少1，爬樓梯問題，一樓不需爬，通過這樣的實例分析，以上問題均可轉換為成正反比例的問題，并可進一步解決相關應用問題。

3.用實例提高解答應用題的技能

教學中，可通過解答應用題的過程反復使用正反比例的概念，審題、分析、解答和檢驗等步驟鞏固正反比例的概念。例如，老師和學生2人，用電腦打一份資料，3小時可完成，老師1人打需5小時，學生每小時能打2頁，問老師每小時能打多少頁？此問題有哪些解答方法？學生憑經驗使用了比例分配法、倍比法、歸1法等方法。若抓住工作總量為1，工作總量=工作效率×工作時間，按xy=k，因此工作效率與工作時間成反比。學生單獨完成任務的時間為：1÷（1-）÷3=7.5（小時）。列成反比例式：7.5：5=X：2，解得X=3（頁），檢驗略。或用：（1-）=X：2 更為簡單。