基于數學本質，讓學習深度發生
——對人教版數學四年級下冊“小數的意義”的思考與實踐

浙江杭州市蕭山區夾灶小學 李國良

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學知識的教學，應注重對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。教學時要引導學生感受數學知識與生活的聯系，并通過實驗、操作、嘗試等活動來理解數學知識的本質及體現的數學思想。體會數學知識可以從不同的角度加以分析，從不同的層次進行理解。因此，這給我們數學課堂教學提供了一個啟示，在教學中我們不僅要尋找知識的現實起點，也要尋找數學知識的邏輯起點，更要尋找各知識點的“前世今生”。

一、教材分析

人教版數學教材中，“小數的意義”這一知識點分散在三年級下冊第七單元《小數的初步認識》和四年級下冊第四單元《小數的意義和性質》。在“小數的初步認識”中，教材通過生活中的質量、價格、體溫、身高等感性材料來認識小數，設計“量身高”等具體情境教學小數，運用幾何直觀米與分米的十進制關系來理解一位小數的意義，初步懂得一位小數是用來表示十分之幾；在第二課時中結合具體的“量”來比較一位小數的大小，以進一步鞏固對一位小數意義的理解。四年級“小數的意義與性質”單元中，教材通過小數產生的必要性來引入小數，再次運用米與分米、厘米、毫米之間的關系來明確一位小數表示十分之幾、兩位小數表示百分之幾……掌握小數的計數單位和小數計數單位之間的進率。在小數的讀法與寫法中安排小數的數位順序表，知道小數的組成和小數部分的數位順序。

通過對兩個年級的“小數意義”教材分析后，筆者認為這兩個階段均借助于熟悉的生活情境來理解、掌握小數的意義。但四年級對小數意義的學習不能僅僅停留生活中“量”的范圍內，它需要從“量”抽象成為“數”，最終完善對小數意義的認識，理解并掌握小數的概念。

二、學情分析

學情分析是教師在實施教學過程前的一段時間內，通過不同的調查方式對學生的知識儲備、已有經驗、思維水平等進行了解、分析與思考，為教學設計、實施有針對性的教學提供依據。

1.調查內容的擬定與思考

根據“小數的意義”一課的相關知識點，我們擬定了7個小題進行調查，主要了解學生對小數意義的知識儲備、圖形表征、意義建構、深度理解等能力。對這些問題按照思維層次的四級水平進行分類，分別是：

二級思維層次有2個問題：即用圖來表征0.2和0.25。主要考查學生能否借助圖形來理解一位小數，類推出兩位小數的意義；了解一位小數用十分之幾的圖形來表示，能否類推出兩位小數用百分之幾的圖形來表示，充分構建起圖形與小數的關系。

三級思維層次有1個小題：能否在上圖的計數器上表示出25.4。主要考查學生能否借助計數器從整數的位值原理推理出小數的位值大小，明白整數與小數的聯系。了解學生從小數的“量”到“數”的理解程度。

四級思維層次安排1個問題：為什么分數寫成小數，小數寫成分數的分母都是10、100、1000…呢？你知道其中的原因嗎？把理由寫在下面。主要考查學生能否通過一級、二級思維層次等中間問題來推理、闡述小數的意義，了解為什么小數的意義要借助分數的意義來理解的程度。

2.調查結果的梳理與分析

本次調查，我們選擇了城鎮兩所小學各兩個班級的120名四年級學生進行了前認知調查，采用獨立完成、無暗示的方式進行。

從上面統計中，我們認為：

調查結果顯示：一級思維層次的三個小題學生回答得較為理想。在分數化小數的3個小題中，只有4個學生把分母是1000的分數化錯為兩位小數；小數化分數的3個小題中，只有5個學生把三位小數化成了分母是100的分數。從這一側面可以看出分母是10、100的分數化成小數和一位、兩位的純小數化成分數不存在障礙；而分母是1000的分數化成小數或三位小數化成分數需要在后續的學習中加以引導。

二級思維層次的兩個小題大部分學生能用長（正）方形圖來表征十分之幾和百分之幾，而用線段圖來表征的相對較少。筆者覺得，十分之幾用一維的圖來表征相對較為方便，而百分之幾用二維的圖來表征較為容易，千分之幾用三維的立體圖來呈現較為合適。我們試想：百分之幾采用線段圖來表征需把線段進行100等分，顯然，學生對于這樣的分法存在困難；當學生用正方形面積圖來表征百分之幾，能聯想到1dm2與1cm2之間進率的推導方法，思維就相對來得簡單一些，理解起來較為容易。

三級思維層次的題目正確率較低，而兩種錯誤形式比率也接近。筆者以為，學生有一個表象就是小數點是整數部分與小數部分的分界點，應有其位置，對于現象背后的相鄰數位之間的進率的本質就無法建構；而沒有呈現數位順序表也屬于正常現象，他們的大腦里已經呈現了25.4。

四級思維層次的題目屬于本質性概念的理解，因四年級學生還沒有完整地學習分數的意義，要讓他們從十進制分數的理解中抽象出小數的意義是困難的。在調查中，我們也發現個別學生對小數意義的理解有自己的想法而且符合小數的本質屬性（如下圖），這兩個學生能從0.1縮小（學生表述不是很精確，但能說明問題）和從圖形的表征來理解0.01，說明他們對于小數的意義已經有了本質的理解，期待教師能正確、科學地加以引導。

3.學生訪談的梳理

為讓學生把對小數意義的理解的真實想法表達出來，我們選擇了每個班級最好的那個學生（由任課老師推薦）進行了訪談，主要是了解他們對小數意義的理解程度。整理后發現，他們都存在同樣的困惑：一是原來學習整數時都是數數的，現在學習小數為什么要用線段圖或正方形來進行研究？二是在商場里看到的小數如25.4元就是25元4角，0.4元也就是把1元分成10角是其中的4個1角，為什么數學上學習小數要通過分數來進行學習？三是小數與整數、分數有什么聯系與區別？

筆者認為，學生對小數意義建構的困惑正是我們教學小數時需要思考與研究的，教學設計時是否符合學生的認知規律？是否從學生的最近發展區展開教學？

三、教學思考

小數的意義是一個典型的過程型概念，也就是說它既是過程又是概念。在對教材與學情的分析后，我們認為：“小數意義”的教學過程中，不僅要重視具體情境下的表述，即充分利用學生的生活經驗和已有認知，引導他們在多次表述中感悟小數的含義，促進學習的正遷移；也要從數學的本質上借助于“數數”來激活相關經驗和知識基礎，促進對小數意義的歸納與理解。為此，筆者認為要處理好以下兩個關系：

1.理清小數與分數的關系

眾所周知，小數的實質是十進制分數的另一種表現形式，但其依據是十進制位值原理，其本質是“位置計數法”的拓展，引進小數是為了表示小于“單位1”的量。在歷史上，小數的認知遠早于對分數的認識，我國商代已經有十進制的度量衡制度，就是小數，而分數的記載則出現在春秋時期，中國古代數學由于重視位值計算及其算法，特別崇尚小數，曾經盛行數百年的珠算則完全使用小數計算。因此，在教學小數時，不要總回到分數的意義上理解小數，而應遵循勞動人民對小數與分數認知的先后順序，這樣才真正符合發展規律。

2.理清小數與整數的關系

認識小數其意義在于擴充自然數，使得可以用“數”來表示小于“單位1”的量。小數使用的是十進制位值計數法，而不是簡單的“十分之幾、百分之幾……”表述，它是將個、十、百等往左不斷疊加的位置計數方式，朝著另一個方向加以延伸，也就是不斷平均分成10份的過程，即增加十分位、百分位等新位置，使之成為更完善的一種位值計數制度，顯示了自然數與小數的完美統一。在教學時，要讓學生掌握一些本源的問題，也就是為什么要學習小數？小數與整數的聯系在哪里？小數如何在數軸上表示出來？為什么小數的分母是10、100、1000等？盡量把小數背后的數學思想方法用易懂的方法表示出來。

四、教學實踐

基于對“小數的意義”的深入分析與思考，我們認為可以把例1與例2進行整合，從“注重表征，初步感知小數的意義”和“追尋本質，深刻理解小數的意義”兩大板塊開展研究。

1.注重表征，初步感知小數的意義

數學表征是指學生對數學概念及其關系的信息加工過程，可以通過文字、圖形等方式呈現出來。數學表征水平代表著學生對數學知識建構的水平，表征形式越豐富，學生對概念的理解就越深刻。

課始，讓學生直接說幾個一、兩位小數（如0.4，0.6，0.15,0.78……）等，然后集體讀一讀這些數。接著，組織學生用自己的方法表示出0.4和0.15（如下圖），集體討論：為什么0.4和0.15采用這樣的方法表示出來？

生1:0.4就是把1條線段平均分成10份，其中的4段就是0.4。

生2：0.4就是把1個長方形平均分成10份，其中的4份就是0.4。

生3:0.15就是把1條線段平均分成100份，其中的15段就是0.15。

生4：0.15就是把1個正方形平均分成100份，其中的15份就是0.15。

師：為什么0.4把線段或長方形平均分成10份，0.15要把線段或正方形平均分成100份呢？

生5：如果把0.4加上單位“元”，0.4元就是把1元分成10個1角，也就是4角；同樣把0.15加上單位“元”，0.15元就是1角5分，就是15分。

……

隨后，集體小結：0.4與0.15表示把一個圖形平均分成10份和100份表示其中的4份和15份。接著教師設疑：0.003用圖可以怎么表示出來？

生1：把一個圖形平均分成1000份，其中的3份就是0.003。

生2：可以把一個立方體平均分成1000份，其中的3份就是0.003。

課件出示把1個立方體平均分成1000份，3個涂色部分就是0.003。隨即組織學生把0.4、0.15、0.003寫成分數。

筆者認為，這一環節的設計充分尊重學生的前概念認知，一位小數與兩位小數直接讓學生用圖等形式進行表征，三位小數用推理的方法來進行教學，對于發展學生的空間想象能力和推理能力起到重要的作用。對于為什么一、兩、三位小數要平均分成10、100、1000份形成表象即可，深究其原因要借助于計數器，這樣才更有數學的本質。

2.追尋本質，深刻理解小數的意義

在第一環節中通過對小數意義的表征與質疑，學生初步懂得了小數的意義及小數與分數之間的關系，在此基礎上需要深入探究背后的道理。

出示小數119.15，組織學生在計數器上（如上圖）表示出來。學生自然會出現前概念調查時的三種情況：完全正確的、小數點占數位、沒有數位表示的。隨后教師讓學生對上述三種表示方法發表意見。

生1：這個計數器是沒有數位順序表的，要先標出數位，第三種沒有表示出數位，不知道11915是什么數。

生2：小數點不能占據一個數位，因為它沒有計數單位，小數點的左邊起依次是個位、十位、百位……是相鄰的，它們之間的進率依次是10。同樣，小數點右邊第一位與個位之間的進率也是10。

生3：小數點左起應該是個位、十位……右邊起是十分位、百分位……第一種記錄是對的（如上圖）。

生4：我覺得完成這個題目應該先在計數器上標出數位，然后根據這個小數依次在相應的數位上表示出珠子的個數。

……

此時，教師小結表示的方法并繼續質疑：為什么一（兩）位小數用十（百）分之幾來表示呢？

生1：我發現計數器上往左計數單位越來越大，往右計數單位越來越小。

生2：我發現個位是9，如果加1，就滿十了，就向前一位進1，往左是加起來的；如果十位1不夠，需要向百位借1作10，向右相當于是分出來。

生3：如果十分位的1不夠，向個位借1就是10個0.1，也就是向右是從高位分出1個10來。

生4：如果十分位上的1加10個就滿十，就向個位進1。

師(小結)：在原來整數計數器上，個位、十位、百位等,它們相鄰的計數單位是10，為了保持計數器的一致性，向右個位、十分位、百分位等它們之間的進率也是10，十分位就是從個位1平均分成10份，也就是10個所以一位小數就用十分之幾來表示，兩位小數就用百分之幾來表示。在計數器上我們發現，向左就是加的過程，向右就是分的過程。

接著教師繼續提問：為什么這些數位取名個位、十位、十分位、百分位？

生1：個位就是1個1個的，把1個1個加起來到9再加1個滿十了就要向高一位進1，這個1就是10，所以就取名十位；如果10個10個疊加，滿百了就要向高一位進1，這個1就是100，所以就有百位了。

生2：如果從1元里要拿出幾角，就需要從個位的1元平均分成10份，也就是分成10個1角是元，這個十分位了；如果從1角里拿出幾分，就需要再平均分成10份，也就是1元要平均分成100份，就是100個1分是元，就是百分位。

生3：個位1平均分成10份，往右給下一位，就是十分位，再平均分成10份，給下一位就是百分位，百分位上的數就是把個位平均分成100份。

……

在教師小結后，一起研究119.15是怎么組成的？這個數怎樣在數軸上表示出來？

……

我們可以發現，上述三個大問題都緊緊圍繞小數的意義層層展開教學，借助于計數器可以清晰地知道為什么一（兩）位小數用十（百）分之幾來表示。它不僅拓展了數系，在計數器上完整地呈現小數與整數的關系，小數也是通過“數數”的方法來進行，保持了與整數的一致性；還從數學的本質屬性來思考小數的意義，明白了小數與分數的聯系與區別。這樣教學“小數的意義”，就不再局限于從“分數的意義”來展開，學生自然不會有思維的斷層，學起來就顯得容易。

老子說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”我們借助于整數“數數”的方法來研究小數，用學生已有的生活經驗與知識經驗把小數意義背后的知識與道理發掘出來，讓學生真正懂得知識的來龍去脈，知道數學知識的生長性。因此，我們進行課堂教學，只有不斷地研究學科本位知識，正確掌握數學的本質屬性，才能將教學內容把握得更精準、更到位；我們只有不斷地研究學生，了解學生需要什么，才能使教學更接地氣、更加實效，真正把“教什么”與“怎么教”一樣重要地落到實處。