基于數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下的試題研究

張海毅

摘 要 本文結(jié)合一道高考數(shù)學(xué)試題，從高中數(shù)學(xué)思想應(yīng)用方法的視角賞析該試題的各種解法，并說明如何將題目“放得出去”多解“收得回來”，從而整體把握這些解法。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思想方法 賞析 一題多解

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一問題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程。每個人對題目條件有不同的表征方式，思維的出發(fā)點也會有所不同，方法選擇也就多種多樣。“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)課堂中一題多解的練習(xí)不僅能訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維、激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，還會促進學(xué)生將固有的知識進行類比、整合，從而使學(xué)生體驗到成功的喜悅。《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》強調(diào)對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，鼓勵教師創(chuàng)造性教學(xué)，在教學(xué)中通過一題多解將數(shù)學(xué)思想方法滲透于其中，進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

下面，筆者以2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第15題為例，從題目條件表征的多角度賞析各種解法，并就如何將題目“放出去，收回來”，從整體上把握這些解法談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

題目：已知向量，滿足，則的最小值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，最大值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

視角一：轉(zhuǎn)化與化歸思想。

可設(shè)，

，

又

故當(dāng)時，的最大值為20;當(dāng)時，的最小值為16，故。

評析：此法借助了圓的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，以其有界性為抓手求得了結(jié)論，，可作為此類問題的通法重點介紹。

視角二：函數(shù)與方程思想。

設(shè)，則，，

所以，又，

故。

評析：此法重點關(guān)注了影響目標的變化因素，恰當(dāng)?shù)亟柚鷥上蛄康膴A角為自變量，建立了目標函數(shù)，從而得解。

視角三：整體思想與數(shù)形結(jié)合思想。

（1）易知。

不妨設(shè)，則，.

如圖1，點的運動軌跡為，令，則表示以為斜率的直線與有公共點時直線在軸上的截距，由圖可知：當(dāng)直線過點，時，;

當(dāng)直線過點，即直線與弧相切時，。

評析：此法重在轉(zhuǎn)化，通過分析題目條件，將一個向量問題轉(zhuǎn)化成了平面上兩條曲線的公共點問題，使得問題瞬間清晰、明了，十分精彩。

（2）令，則，

不妨設(shè)，則，由方法三可知點的運動軌跡為，令，則，，其中影響該函數(shù)的增長率。

由圖可知，當(dāng)過點、時，該函數(shù)增長率最小，故;當(dāng)過點，即曲線與弧相切時，該函數(shù)增長率最大，故。

所以，故。

評析：此法通過向量模的常用計算方法，轉(zhuǎn)移了最值目標，結(jié)合變量的軌跡方程，將新的目標函數(shù)定位于影響雙曲線型函數(shù)的增長率的角度，借助數(shù)形結(jié)合使問題得以解決。

視角四：分類與整合思想。

令，

則，

，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)即。如圖，因為，故可設(shè)向量，，則在上，在上，取線段的中點，

則

，

又，，

所以，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線。

評析：此法在求最大值時恰當(dāng)?shù)亟柚司挡坏仁剑谇笞钚≈禃r借助了平面向量加減法的平行四邊形法則，兩角度同時進行，使問題得以解決。

視角五：特殊與一般思想。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （下轉(zhuǎn)第206頁）（上接第197頁）

因為，故設(shè)，，令，則，該式描述了動點到兩定點、的距離之和，其中點位于圓上。

如圖2，為橢圓上任意一點，則，設(shè)交圓于點，則，當(dāng)且僅當(dāng)、重合于時，;由三角形性質(zhì)可知，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)點位于，故。

評析：此法通過合理設(shè)值，巧妙地減少了變量，從而借助幾何意義求得了目標函數(shù)的最值，計算量小，直觀形象，充分體現(xiàn)了特值特設(shè)思想的優(yōu)越性。

面對這些解法，教師應(yīng)“放得出去，收得回來”，進而幫助學(xué)生整體把握并深刻理解其中所蘊含的思想方法。

第一，以上6種解法大致可以分為兩類：第一類解法具有通法通性，如解法1、2;第二類解法充分關(guān)注了題目條件的特殊性，如何針對一道題目選擇合適的解法，需要對題目的條件表征做深入的思考。

第二，解法雖有差別，但他們都從不同的角度解析了題目條件，從而呈現(xiàn)了“條件的發(fā)散，結(jié)論的集中”，題目入手測度不同，解答的角度自然也就不同，所使用的思想方法也就有差異。

第三，應(yīng)重點關(guān)注解法1、2、6中所運用的三角函數(shù)工具，它是聯(lián)系函數(shù)、平面幾何、向量等知識的重要媒介，要讓學(xué)生通過比較分析，從內(nèi)心深處認同其工具性價值，從而將其應(yīng)用于日常學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)觀察能力是一種有目的、有選擇并伴有注意的對數(shù)學(xué)材料的知覺能力或初步的加工能力，知識是思想方法的載體，傳授書本知識是最基本的教學(xué)要求，沉溺于題海的作法是得不償失的，掌握數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)表達，思維的邏輯、靈活、縝密和準確等，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在于掌握書本知識，更在于養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

高中數(shù)學(xué)思想方法的以一種高端的思維方法涵蓋了高中數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)和解決問題過程，并在知識的不斷增長的過程中發(fā)展創(chuàng)新思維。高中數(shù)學(xué)課程的目標指出學(xué)生要獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中“所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法”。把高中數(shù)學(xué)思想納入高中數(shù)學(xué)課程的目標，體現(xiàn)“雙基”向“三基”的轉(zhuǎn)變，必將對教學(xué)的有效性和創(chuàng)新教育產(chǎn)生深遠的影響。