基于SPOC的微積分混合式教學模式探索

周巧娟

(南京審計大學 金審學院，南京，210023)

隨著微課、慕課及SPOC的廣泛普及，互聯網與教學的結合越來越受到廣大教師的重視。[1]45在“互聯網+教育”背景下，大量的數學類課程充斥著學生的眼球。由于各類課程所針對的學生層次有著明顯的差別，對于獨立院校的經管類學生而言，不少課程相對偏難甚至不合適。對此，基于“愛課程”平臺所建設的私播課(Small Private Online Courses)更適合我校學生的實際情況，基于SPOC教學的微積分混合式教學有了實施與開展的平臺與空間。

2017年以來，筆者在校資源共享課《微積分》建設中負責課程的設計及主要的講解工作。自投入使用以來，近兩輪的教學實踐表明：提供單純的“資源提供型”的教學模式，可以對傳統課堂起一定的補充作用，但是效果不是太顯著，若想充分發揮在線課程的作用，需要將SPOC課程與傳統的課堂進行深入地融合，構建基于SPOC教學和面授教學的混合式教學模式。

1 混合式教學模式下微積分課程的教學目標

基于SPOC教學和面授教學的混合式教學模式應達到如下目標：

(1)將SPOC在線學習與面授教學深入融合[2]2，兩者能夠相輔相成，互相補充；

(2)學習過程中，學習的主體是學生，教師能夠通過線上線下同時參與到學生的學習中去，起到引導和監督的作用；

(3)完善的評價體系，可以對學生的學習過程有較全面的、客觀的評價，不應只注重卷面成績；

(4)在教學中充分調動學生的學習積極性，建立以教師和學生為雙主體的平等合作關系。

通過以上目標的實現，最終達到全面提升課程教學效果、培養數學思維、方法及學生綜合能力的目標。

2 混合式教學下微積分課程教學改革措施

一個有效的混合式學習過程，包括線上知識單元和教學過程的合理設計，線上線下教學資源的合理使用，以及教師的教育教學藝術和學生的自我內驅力這四個要素。[1]50因此，混合式教學下的微積分課程教學改革也應從這四個要素出發，尋找SPOC教學與面授教學的最佳融合方式。

2.1 線上知識單元和教學過程的合理設計

SPOC是基于微課的視頻教學平臺，課程的知識單元，不應是課堂教學的全程錄像，而是基于課程各個重要知識點的碎片化的教學過程，這為學生的碎片化學習提供了直接有效的學習內容。SPOC的內容分解，既要保證內容的相對完整性。又應從大大小小的知識點中提煉出重要的、學生難以理解的知識點。《微積分》課程提煉出65個重要知識點，針對每個知識點制作教學微視頻，每個微視頻的時間控制在10～15分鐘左右，并可根據內容插入多個節點。

10～15分鐘課程的設計，不應只是圍繞內容進行講解，更要加強數學思想和方法在內容中的滲透和融入，如類比的思想，劃歸的思想，數形結合的思想等等。那么如何將數學思想和方法滲透和融入到教學內容中呢？這需要從數學思想和方法的學習過程的三個階段出發，潛意識階段、明朗化階段和深刻化階段是數學思想方法學習過程的三個階段。潛意識階段中，學生注重知識的模仿學習；而明朗化階段，是學生認知數學思想和方法的重要階段，教師需要積極引導學生關注和理解教學活動中所使用的探索方法和策略，將思維過程顯化，從而為深刻化階段即數學思想和方法的應用階段作準備。因此，每一個微視頻的設計都應針對學生明朗化階段的學習，深入挖掘教學內容中所隱含的數學思想和方法，并對其探索思路和過程進行展示。

【線上知識單元教學設計】拉格朗日中值定理

在拉格朗日中值定理的講解中，除了定理內容外，關鍵就是數學中常用的兩種思想——數形結合的思想與化歸思想的講解。在微課視頻的設計中要引導學生關注到這兩種方法，并將思維的過程進行顯化。

(1)概念引入，由羅爾定理出發提出問題，第三個條件不滿足時會有什么情況出現？給出圖形演示，從中找出拉格朗日中值定理的條件結論(數形結合的思想)。圖形是一種直觀的感知，學生通過對直觀的，具體的圖形感知，得到抽象的定理的條件和結論。這種從直觀到抽象的講解過程符合學生的認知規律。

(2)教師詳細介紹定理的條件和結論，并從幾何學的角度出發解釋該定理的含義，即定理在幾何上的應用，通過這部分內容的講解可以強化學生對定理的理解，并以此作為節點在視頻處添加討論題：你知道拉格朗日中值定理在物理學上的應用是什么？學生可以在網絡交互平臺上進行討論，最后教師給予解答。

(3)引導學生思考如何證明定理：法一，與圖形結合，即數形結合的思想。引導學生從圖形出發，尋找一個輔助函數能夠滿足羅爾定理的第三個條件。法二，演繹推理，由拉格朗日中值定理的結論出發，通過解析法尋找一個輔助函數能夠滿足羅爾定理的第三個條件。在講完這部分內容后可以添加討論題：這兩種方法用到的共同的數學方法是什么？(化歸法)通過這樣的討論讓學生體會到化歸法在數學中的運用，同時化歸法也是學生在解決實際問題中常用的一種重要方法。

(4)引導學生深入地思考：拉格朗日中值定理的本質是什么？我們會運用導數的符號判斷函數的單調性，理論依據在哪？這兩個問題的討論在學生知識框架的構建中起到了非常重要的作用，拉格朗日中值定理在函數與導數之間架起了一座橋梁，是導數應用的理論基礎。

在上述在線教學單元的設計中，第二部分過程是學生學習的潛意識階段，通過從幾何到物理的類比，學生一直在模仿學習；第三部分的學習，學生對定理有了一些深入的認識，即進入學習的明朗化階段，通過對定理的兩種證明方法的學習，學生既對定理的本質有了進一步的認識，又對數學方法有了很好的理解；第四部分的學習是從知識到應用的學習過程，即深刻化階段，通過這一部分的討論，學生對中值定理中隱藏的本質有了深入的認識。

線下的教學過程，即面授教學過程應與線上的教學有本質的區別，不應是線上教學過程的重復。因此，線下的教學應該以解決重難點及幫助學生構建知識體系為主，即將碎片化的知識點系統化，網絡化，并逐步融合到學生自有的知識體系中。

2.2 SPOC教學與面授教學的有效融合方式探索

線上SPOC教學，做到了學生的學習節奏可以自控，學習時間可以自定，學習內容可以自選。看似學生的課外學習時間延長了，學習的頻率變高了，提升了單一的知識點的學習效率和資源的利用價值。然而，碎片化的學習不利于支持數學學習的邏輯性，難以解決復雜的學習任務和形成完整的個人知識體系，[3-4]這就需要SPOC教學和面授教學的有效融合。

2.2.1 SPOC教學與面授教學的融合框架

傳統的面授教學的主體是教師，教師與學生的交流僅局限于課堂，由于大班化教學模式的普遍性及課程課時的局限性，教師在課堂上與學生的交流更有限，傳統的微積分教學框架如圖1所示：

傳統的教學的不足之處在于：①不同基礎的學生接受能力不同，無法在相同的時間內接受同樣的內容；②學生接受程度的反饋很少，基本上教師是通過學生課上表情與部分學生的課堂練習了解學生對知識的接受程度。SPOC教學中每一個知識點的介紹均有相應的視頻、課件、課上練習題、課后測試題，完全可以利用SPOC教學彌補傳統教學的不足。因此可以嘗試將SPOC教學與面授教學進行深入地融合，框架如圖2所示：

圖2 融合框架

這樣的融合方式改變了傳統課堂中教師的主體地位，教師與學生的雙主體形式體現了“教”與“學”的同等重要性，通過SPOC課程的融入，學生將更多地參與到教學活動中，形式上既滿足課前時間和空間的離散性，又可以在課堂教學中實現學習時間和空間的一體化，獲取更多的課堂和課外等學習資源。[5]同時，教師與學生的交流在很大程度上有所增加，而學生對所學內容的反饋也在增多，教師可以在課前、課中和課后對學生的學習過程進行實時的監控。

“翻轉課堂”為SPOC教學與面授教學的融合提供了一定的途徑，但其更適合小班教學，對于大班化的教學，課堂上直接展開討論與研究實施有一定的困難，全部的教學過程可能只能有部分學生參與，課堂的教學效果亦無法保證。構建主義學習理論認為，“學習是構建內在心理表征的過程，學習者不是將知識從外界搬過來，而是學生憑借原有的知識和經驗，通過外界的互動，主動生成信息的過程”。借助思維導圖可以從學生的已有認知出發，幫助學生將碎片化的知識點內化到自己的知識體系中，因此借助思維導圖的部分翻轉課堂模式更適合大班的課堂教學。在部分翻轉的課堂教學模式中，教師借助思維導圖建立知識框架，將學生在SPOC教學中學習的一些碎片化的知識點鑲嵌到知識的框架中，對前后交錯的知識點進行梳理，最后利用實際問題的小組討論檢驗學生對知識點的掌握與應用情況。

2.2.3 SPOC教學與面授教學融合的過程

以洛必達法則這一節為例，SPOC教學與面授教學融合的過程如下：

(2)根據學生學習的反饋，制定新的教學重點，準備課堂教學的資料。

(3)面授教學過程：

本次課的難點講解，即洛必達法則的使用條件；

時代在不斷進步，新媒體對于傳統報紙來說是一個機遇，也是一個挑戰。在一定程度上說，新媒體占有了傳統報紙的市場，但是新媒體也給傳統報紙帶來了機遇。現在，很多媒體主動和互聯網結合，建立了具有地域性特色的門戶網站。有些報紙在積極探索自己未來的發展道路，和互聯網結合起來，促進自身的轉型。

本次課的重點講解，未定式的類型判斷及各種未定式之間的轉化；

視頻教學中課上練習題的講解，找學生演示，找出易錯點；

通過學生之間的自我探討，每組同學都會得到一些未定式之間的轉化過程。教師通過繪制思維導圖，對本次課所討論的問題進行了總結，也通過該圖將思維方法及解決問題的思路進行了顯化。本節課的思維導圖如圖3所示：

圖3 洛必達法則思維導圖

書本中很多章節的討論都可以按照這一模式展開，每章內容學完以后可以將每節內容的思維導圖連接在一起，即不斷構建出一個完整的知識體系。

將思維導圖引入課堂教學，可以對碎片化的知識點或者思維方法進行梳理和關聯，彌補了SPOC教學的不足。學生通過反復的思維導圖的構建，加深了對各個單元之間的內在聯系的理解，進一步明確了自己的不足，這才可以更充分地利用課程資源在自我構建的知識框架中加入內容、思想和方法，提高運用知識解決實際問題的能力。

(4)課后復習鞏固：在課后的學習中，學生完全可以依靠SPOC中的課件及視頻進行復習，特別是針對自己不明白或者有疑問的地方，可以反復觀看視頻學習并可以在線和老師進行探討。

(5)課后作業及在線測試：通過每節課的作業及在線測試，教師可更快、更直接地了解學生對內容、思維和方法的掌握情況，并可以在后續的授課過程中進行鞏固和深化。

2.3 教師教育教學藝術的新要求

在傳統課堂中大多數時間都是教師講，學生聽，在SPOC教學與面授教學相融合的混合式教學模式下，教師與學生之間的交流增多，對教師的教學藝術也提出了新的要求。

(1)教師要有更扎實的專業功底和業務能力。課堂教學不再是教師按照想好的思路講，學生按照板書或PPT聽的階段了。在混合式的教學模式下，學生與教師之間會有更多的交流，教師要能夠應對學生提出的各種問題，這要求教師具有更扎實的專業功底和業務能力。

(2)教師要有更強的課堂掌控能力。站得穩講臺是教師課堂掌控能力的最直接的體現。在混合式教學中，教師需要花更多的時間準備課堂教學。特別是在教學討論的環節中，學生思維是多向并發的，教師需要適應更多可能發生的情況。

(3)教師要有更豐富的課堂的表現力。教學是一種藝術，教師是這種藝術的展示者，教師需要通過各種途徑傳授自己的知識，并讓更多的學生能夠容易理解和接受。如何設計一節課的講解思路，如何設計問題，如何啟發學生，如何將數學思維進行顯化等等，這些都需要教師在課前進行更深刻的思考，并在課堂上完美地展現出來。

2.4 多途徑激發學生的自我內驅力

在混合式教學中，線上視頻的觀看，線上作業，線上討論，課后的作業和測試等等，都需要學生在課余時間內完成，雖然教師可以通過網絡交互平臺進行監督，但是仍需要學生能夠主動積極地去完成，即要能多途徑地激發學生的自我內驅力。

(1)以興趣激發內驅力。SPOC教學講解中，可添加一些數學史的內容，比如洛必達法則的第一任創造者是誰，牛頓-萊布尼茲公式的命名，數學家拉格朗日的介紹等等。這些內容既可以豐富教學內容，又可以提高學生的學習興趣，從而激發學生自我學習的主動性。

(2)以問題引導式的啟發性教學激發內驅力。問題能夠激發學生自我主動思考與探索的意識。教學過程中，利用一系列循序漸進的問題，引導學生不斷思考問題，解決問題，學生在一個又一個問題的思考和解決過程當中獲得了自信和樂趣。在課后的學習中，學生也會自發地運用相類似的方法思考與解決問題。

(3)以探究式的學習方式激發內驅力。探究式的學習，能夠激發和培養學生自主學習的能力。在教學過程中，教師可以從學生的專業領域或現實生活中選擇與所授內容相關的研究主題，發布給學生，讓學生分組討論完成。在學生間互相探討并合作完成主題的過程中，積極性會有很大地提高，解決實際問題的能力也會有一定地提升。

(4)以學習的過程性評價激發內驅力。加大平時學習過程性考核比例，以學生在線自評、互評的方式提高學生學習的主動性。

3 混合式教學下微積分課程的評價體系

混合式教學下的微積分課程的評價體系可以由以下幾個方面構成：

(1)視頻觀看及參與在線討論的情況(20%)；

(2)每節課的課上在線測試與課后的在線測試(10%)；

(3)每個單元、期中、期末的在線測試(10%)；

(4)課上討論及分組討論完成情況(20%)；

(5)期末考試成績(40%)。

這一評價體系，對于教師而言，改變了以往傳統教學一張試卷定成績的情況，大大加重了學生平時學習過程的評價；對于學生而言，這一體系也促進了學生在平時學習過程中自主學習，不斷積累，改變了以往考試前刷題、應付考試的情況。

4 結語

SPOC教學與面授教學深度融合的教學模式，既保留了傳統課堂的精髓，又結合了線上教學的優勢，并通過網絡交互平臺在教師與學生之間架起了一座緊密聯系的橋梁，雖然在微積分教學中積累了一定的經驗，但是還是遠遠不夠的。教師作為傳授者和引導者，要將傳統的教學模式和信息化教學模式進行更加充分地融合，不斷挖掘混合式教學的優勢、優化教學方式、提升自我的能力和素質，最終實現全面提升課程教學效果、培養學生數學思維及綜合能力的目標。