基于UPM-LPM的增強指數投資策略

黃金波，吳莉莉，尤亦玲

(1.廣東財經大學金融學院，廣東 廣州 510320；2.珠三角科技金融產業協同創新發展中心，廣東 廣州 510320)

1 引言

近年來，隨著我國股票市場做空機制的引入和金融衍生產品的相繼推出，量化交易已然成為當前業界和學界討論的熱點。所謂量化交易是指以先進的數學模型替代人為的主觀判斷，利用計算機技術從龐大的歷史數據中海選能帶來超額收益的多種“大概率”事件以制定策略，極大地減少了投資者情緒波動的影響，避免在市場極度狂熱或悲觀的情況下做出非理性的投資決策。量化交易離不開產生量化投資策略的各類模型，市場上存在許多基于不同理念構建的量化投資模型，其中，指數跟蹤模型在業界特別受歡迎。在國外，指數跟蹤模型很早就被養老基金、共同基金和對沖基金的管理人廣泛運用于資產配置和量化選股。指數跟蹤模型的投資理念是：市場組合的表現是最好的，投資者只需構建跟蹤組合緊跟市場的走勢，就能獲得市場平均收益。指數跟蹤模型在業界受到普遍歡迎的理論依據是：長期來看，經濟體總有持續增長的動力，反映實體經濟的股票市場也應有長期的上漲趨勢；與此同時，大量的實證研究發現，那些通過主動調整來企圖戰勝市場的投資策略，在短期內也許能取得較好收益，但長期來看絕大部分主動投資策略的表現不如市場組合，而且由于頻繁的頭寸調整產生的交易成本會消耗大量的收益[1]。

指數跟蹤模型的核心是界定跟蹤誤差。Roll[2]開創性地將跟蹤組合收益率與指數收益率之差的標準差定義為跟蹤誤差波動率(Tracking Error Volatility, TEV)，進而提出TEV最小化模型和均值-TEV模型，并指出均值-TEV有效的組合通常是均值-方差無效的。隨后，Kwiatkowski[3], Coleman等[4]及Alexander和Baptista[5]沿用了TEV的概念。但是Beasley等[1]認為TEV指標是不合理的，如果跟蹤組合收益率和指數收益率之差為常數，計算出的TEV是零，但是跟蹤誤差顯然不為零。所以，Beasley等[1]和Lobo等[6]使用跟蹤組合收益率與指數收益率之差的均方差作為跟蹤誤差，而Clarke等[7]將跟蹤誤差定義為跟蹤組合收益率與指數收益率之差的絕對值，Rudolf等[8]基于跟蹤組合收益率和指數收益率的絕對離差，給出四個不同的跟蹤誤差公式。目前，指數跟蹤模型的研究主要根據不同的理念來定義跟蹤誤差，并加入交易成本、權重約束、風險約束等各類現實約束構建指數跟蹤模型[9-11]，進一步尋找求解技術來對模型進行求解[1,12-15]。

雖然指數跟蹤投資策略的理念和模型已經非常成熟，但是增強指數投資策略是近年才被提出的新的研究領域[16-17]。所謂增強指數是指在跟蹤指數趨勢的同時，獲取超過指數平均收益的超額收益[18-19]。增強指數模型源于但不同于指數跟蹤模型。二者的相同點是無論指數上升還是下降，二者要跟蹤指數的趨勢；不同點在于指數跟蹤模型盡可能完美復制指數，而增強指數模型希望產生一個偏離指數的絕對收益。Canakgoz和Beasley[20]首次明確區分了指數跟蹤模型和增強指數模型，并對這兩方面的文獻進行了較全面評述。Roman等[16]基于二階隨機占優理論構建增強指數模型并運用割平面法 (cutting plane approach)進行求解。Valle等[21]提出三階段方法 (three-stage solution approach)來選擇絕對收益組合，并且展示該方法可以拓展到增強指數模型。Guastaroba等[22]基于Omega ratio提出兩個新的增強指數模型，并且展示每個模型都可以轉化為線性規劃問題，當加入基數約束和頭寸約束后，該模型可轉化為混合整數線性規劃問題。Filippi等[17]將增強指數模型的目標定義為最大化超額收益且最小化跟蹤誤差，并將其轉化為雙目標混合整數線性規劃問題，進而運用雙目標啟發式算法來求解。與指數跟蹤模型類似，目前增強指數模型研究的差別主要在于構建不同的目標函數和約束條件，并發展出不同的計算方法對模型進行求解[16,20]。

在本文，我們基于LPM與UPM構建不同于已有研究的增強指數模型。LPM在文獻中已經被廣泛用來構建風險對沖和投資組合選擇模型，如戴曉鳳和梁巨方[23]運用Copula函數描述資產之間相關性，用LPM度量風險，尋找最優套期保值比率。LPM是指投資收益低于目標收益部分(未達標部分)的期望值[24]，我們將UPM定義為投資收益超出目標收益部分的期望。如果取投資收益為跟蹤組合收益率，目標收益為指數收益率，則LPM度量跟蹤組合收益低于指數收益部分的平均損失，UPM度量跟蹤組合收益高于指數收益部分的超額收益。顯然，理想的投資策略是最小化LPM而最大化UPM。為了避免雙目標優化問題帶來的復雜性，我們最大化UPM與LPM的比值，從而構建基于UPM-LPM之比的增強指數模型。

由于LPM和UPM的定義中含了最大值函數和兩個待定參數，導致基于UPM-LPM之比的優化問題較難處理。在一般情況下，基于UPM-LPM的優化模型是一個復雜的非線性優化問題，我們很難得到模型的解析解[24]，當跟蹤組合的資產數量較大時，我們甚至很難得到模型的數值解。因此，為解決該模型的求解復雜性和高維投資組合選擇的“維數災難”問題，本文運用非參數估計中的核估計方法直接得到跟蹤組合的密度函數，而無需考慮組合中各資產之間的聯合分布，大幅度降低了估計的維度，克服“維數災難”問題。實際上，運用非參數估計方法對金融風險度量進行估計是近年研究的熱門話題，王江濤和周勇[25]研究了高頻波動率非參數估計中的窗寬選擇問題，而黃金波等[26]給出了非參數框架下的均值-VaR投資組合問題。進一步，基于跟蹤組合的核密度函數得到跟蹤組合的LPM和UPM核估計量，理論上，LPM和UPM的核估計量是組合頭寸的光滑函數，具有任意階導數，便于優化問題求解。最后，本文運用滬深股票市場上五個常用指數及其成份股數據，檢驗模型的實用性。

2 增強指數模型

與傳統的均值-風險投資組合選擇模型一樣，增強指數模型也要同時權衡跟蹤組合的收益與風險，與傳統的均值-風險模型不同的是，增強指數模型要在權衡收益與風險的同時兼顧跟蹤指數趨勢。因此，增強指數投資策略在建模過程中就需要將指數的表現作為參考點，來度量跟蹤組合的超額收益和損失，這一思想與LPM和UPM的定義非常契合，因此，本節構建基于LPM和UPM的增強指數模型，并運用非參數核估計方法對其進行估計。

2.1 UPM/LPM的定義與估計

Markowitz[27]提出的方差指標開啟了風險量化分析的研究。Roll[2]運用方差來度量指數跟蹤的誤差建立指數跟蹤模型，但經典的方差指標是對稱風險度量工具，既把偏離均值的下端損失看作風險，也把偏離均值的上端收益看作風險，顯然不符合人們僅把損失視為風險的心理認知。鑒于方差指標的缺陷，Bawa[28-29]和Fishburn[30]提出下偏矩來度量風險。設資產或資產組合的收益率是隨機變量X，α是預先確定的目標收益，通常根據投資者自身的風險態度或者財富水平進行設定，常用的取值為0，無風險利率或者期望收益，令Y=X-α，τ是固定的正整數，τ-階LPM可以定義為：

LPMτ,α(X)=E[max(α-X,0)]τ

=E[max(-Y,0)]τ

(1)

E[·]表示數學期望，f(y)為Y的密度函數。與方差相比，LPM僅把α以下的損失看作風險，而并不把α以上的收益看作風險，所以LPM是下端風險測度；基于LPM的最優組合不僅能有效控制投資組合的損失，而且具有不限制組合收益的特點[31]；通過設定參數α和τ，LPM指標可以退化為其它的下端風險度量指標[32]。例如設定τ=0，則LPM表示損失概率，設定τ=1，則LPM表示期望損失，設定τ=2且α=E[X]時，則LPM表示下半方差。

Markowitz[27]提出用收益率的方差度量風險的同時，也提出用收益率的均值來代表收益，在很長一段時間內得到學者的廣泛認可，但在實踐運用中卻存在困難。研究表明，最優組合頭寸對組合中各資產的平均收益率十分敏感，而實踐中平均收益率的估計通常要嚴重依賴于樣本區間的選取，不同樣本區間可能得出非常不同的估計值，從而導致得到的最優組合頭寸大相徑庭。因此，部分學者認為超過收益率均值以上的部分都應視為收益，這種界定與人們的實際投資感受更加接近。因此，Sortino等[33]提出用Higher Partial Moment來測算超額收益，本文將其定義為UPM。類似下偏矩的定義，τ-階上偏矩(UPM)可以定義為：

UPMτ,α(X)=E[max(X-α,0)]τ

(2)

同LPM一樣，通過設定參數α和τ，UPM可以退化為收益概率、期望收益和上半方差等。

在LPM和UPM的定義里，α是投資者預先設定的目標收益，通常是某個常數，低于該目標收益的部分被視為風險，而高于該目標收益的部分應視為收益。在本文，我們研究增強指數模型，投資者的目標收益應該與指數收益掛鉤，作為對傳統LPM定義的拓展，我們考慮α取指數收益率的情況，此時α為隨機變量。因此，在以下的討論中，我們將默認α可以是隨機變量。

顯然，超過目標收益的部分是是投資者喜好的，而低于目標收益的部分是投資者厭惡的，所以，投資者的目標是最大化UPM的同時最小化LPM，由此我們就定義如下的優化目標：

(3)

如果令τ=0，則上式就是上端收益發生的概率除以下端損失發生的概率，令τ=1，則上述指標就是Omega Ratio[22]，令τ=2且α=E[X]，上式就表示上半方差除以下半方差。

在現實生活中，我們需要估計出LPM和UPM，才能進一步估計出PM，根據公式(1)和公式(2)可知，如果要得到LPM和UPM的解析表達式，需要給出密度函數或分布函數，但是實際中我們事先并不知道資產收益率的密度函數或分布函數，只能根據資產收益率的歷史樣本來對其進行估計。一個可供選擇的樣本分布函數是經驗分布函數，但是經驗分布函數是分段函數，不具有通常意義上的光滑性，另一個更好的選擇是用核光滑方法得到分布函數或密度函數的核估計量，可以克服經驗分布函數不光滑的缺陷。因此，我們用核估計方法。設yt,t=1,2,…,T為Y的樣本，則f(y)的核估計式為[34]：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

為進一步得到任意非負整數j下Gj(ξt)的一般表達式，我們給出如下迭代公式

命題1：對于任意的正整數j≥2，有迭代公式：

(9)

證明：根據Gj(ξt)的定義，用分部積分法，可得：

(10)

令y=ξt，即得證。

通過公式(8)和迭代公式(9)，可以得到任意正整數j下的Gj(ξt)表達式。根據標準正態分布的性質，我們有：

(11)

因此，根據Gj(ξt)的表達式和公式(11)，可以得到Hj(ξt)的表達式。例如：

(12)

2.2 基于UPM-LPM的增強指數模型

(13)

(14)

根據公式(5)，可得窗寬h計算公式為：

(15)

將(13)式和(14)式代入(3)式中，可以得到PM的核估計式。假設投資者的初始財富標準化為1，為了防止風險過于集中，投資者對資產i的持有頭寸不超過ui，而出于交易成本考慮，投資者對持有的資產i的頭寸不低于li。在此背景下，我們定義如下的增強指數模型：

由前面的定義，我們知道UPM度量跟蹤組合的超額收益，LPM度量跟蹤組合的預期損失。最小化LPM的含義是：當跟蹤組合收益低于指數收益時，讓二者的差距越小越好，即讓跟蹤組合盡可能跟蹤指數趨勢；最大化UPM的含義是：當跟蹤組合收益高于指數時，讓二者的差距越大越好，即讓跟蹤組合盡可能獲取高于指數平均收益的超額收益。這正是增強指數策略的投資理念：在跟蹤指數趨勢的同時獲取盡可能多的超額收益。因此，投資者基于我們模型設定的目標函數可以實現增強指數投資的理念，同時不同的τ值，可以反映出不同類型的投資者。因此，該模型可以廣泛地應用到公募基金、私募基金以及養老基金的管理實踐。

3 實證分析

為考察模型在實際金融市場中的表現，本節選取我國滬深股票市場的歷史數據進行實證分析，我們主要檢驗如何運用成份股來跟蹤與之對應的指數趨勢，同時獲取超出指數平均收益的超額收益。我們選取的指數按照成份股的數量從小到大依次是上證50，深證100，滬深300，深證成指和上證綜指。五個指數中，上證50和上證綜指代表上海證券交易市場的大盤行情，深證100和深證成指代表深圳證券交易市場的大盤行情，滬深300是綜合反映滬深市場整體走勢的跨市場指數。我們選取指數及其成份股的日收益率數據，數據區間是2005年1月4日至2016年12月30日，樣本容量是2915，同時我們也基于指數的收盤價數據給出五個指數的時間趨勢(見圖1)。如圖所示，樣本區間內五個指數走勢是一致的，都經歷了兩次完整的大幅上升和下降周期。我們把2005年1月4日至2010年12月31日共計1457個收益率數據作為估計樣本，把2011年1月4日至2016年12月30日共計1458個收益率數據作為檢驗樣本，所有數據來自Wind經濟金融數據庫。

圖1 指數收盤價的時間趨勢

由于部分成份股是新近加入指數編制，而部分成份股的上市時間較短，我們剔除了數據存在缺失的成份股，而最終保留數據完整的成份股來跟蹤指數。同時出于交易成本的考慮，購買指數中的所有成份股是不合算的，通常需要在進行優化配置之前選擇部分成份股進入跟蹤組合。借鑒Ling等[36]的思想，我們基于指數和成份股的收益率數據，依次計算出所有成份股的Beta值。由于增強指數模型的首要任務是跟蹤指數的趨勢，所以選擇Beta值最接近1的成份股構建跟蹤組合的股票池。此外，Ling等[36]的研究中，還考慮了隨機Beta和最大Beta標準選擇成份股，這兩個標準與跟蹤指數趨勢的內涵相差較遠，不是本文考慮的內容。根據五個指數所含成份股的數量，最終選取的進入跟蹤組合的成份股數量分別是10、25、30、50和100。表1給出了樣本數據說明和指數收益率的描述性統計。第2列給出各指數包含的成份股數量，第3列給出進入跟蹤組合的成份股數量，第4列是樣本量。第5-10列給出了各指數收益率的描述性統計，均值顯示五個將上述五個數據集的估計樣本代入模型EIM，并設定相應的具體約束條件，求解模型可以得到最優的投資策略。由于指數編制中成份股的份額不可能為負，所以我們在約束條件中設定li=0，ui=1，i=1,2,…,n。為了比較不同τ對投資策略表現的影響，我們取六個不同參數值，即τ=0,1,2,3,4,5。為比較最優投資策略在實際中的表現，我們引入三個常用的投資績效評價指標：夏普比率 (Sharpe Ratio, SR)、信息比率 (Information Ratio, IR)和歐米茄比率 (Omega Ratio, OR)。計算公式如下：

表1 數據說明與指數收益率的描述性統計

以上三個指標的計算公式中，rp=a′r為跟蹤組合的收益率，rf為無風險收益率，設定rf=0不影響比較結論，σ(rp)為跟蹤組合收益率的標準差，rI為指數收益率。SR，IR和OR的值越大，跟蹤組合的表現越好。IR≥0表示跟蹤組合平均收益大于指數平均收益，OR≥1表示跟蹤組合收益率大于指數收益率部分的均值大于跟蹤組合收益率小于指數收益率部分的均值，即跟蹤組合收益率占優指數收益率。作為比較基準，我們將三個指標中的rp替換為rI，可以得出指數的表現測度，很顯然，指數自身的IR=0，且不存在OR。另外，我們也報告了跟蹤組合收益率與指數收益率的均值。實證結果見表2。

表2 增強指數模型的表現

注：Data1～ Data5依次表示上證50、深證100、滬深300、深證成指和上證綜指及其成份股的收益率數據集，0～5分別表示τ=0,1,2,3,4,5六個取值。

表2給出了最優投資策略的樣本內表現，靜態策略的樣本外表現和動態策略的樣本外表現。靜態投資策略的樣本外表現，即我們將最優投資策略直接運用到檢驗樣本，期間保持跟蹤組合頭寸不變，直至結束。動態策略的樣本外表現，即我們每隔50天調整一次估計樣本，每次剔除最舊的50個樣本，加入最近50個交易日的樣本，以保證每次估計樣本容量不變，將更新后的估計樣本代入模型得到最優跟蹤組合的頭寸，并將該組合頭寸應用到接下來的50個樣本外數據，依次類推，直至結束。表2的第1列是投資表現指標，第2列給出本文使用的數據集，第3列為對應指數的表現，第4-9列是模型的樣本內表現，第10-15列是靜態策略的樣本外表現，第16-21列是動態策略的樣本外表現。

從樣本內表現來看，在五個不同數據集且六個不同參數值τ=0,1,2,3,4,5下，基于模型的最優投資策略在所有指標上的表現全面占優指數。具體地，基于模型的最優投資策略的均值和SR全部大于或等于相應指數的均值和SR(部分等于是由于小數點四舍五入的結果)，基于模型的最優投資策略的IR全都大于零，而且基于模型的最優投資策略OR全都大于1。

樣本內的優良表現是模型優化的自然結果，而樣本外的表現是我們關注的重點。從靜態策略的樣本外表現來看，基于模型的投資策略僅在Data5τ=2時的表現不如指數，在其它29種情況下的表現都優于指數。SR、IR和OR的結果也肯定了這個結論(見加黑數字)。因此，從樣本外的表現來看，基于模型的投資策略表現十分穩健。從動態策略的樣本外表現來看，基于模型的投資策略全面占優指數，進一步說明，基于本文模型的投資策略非常穩健。動態調整策略的優勢在于使用最近的數據更新估計樣本，能夠適時根據變化的市場環境調整跟蹤策略，但是動態策略的劣勢在于，不斷地調整頭寸可能會帶來額外的交易成本。對比靜態策略和動態策略的實證結果，也可以看出，兩種策略的表現各有優劣。

為了更加直觀地展示本文提出的模型表現，我們給出Data3(其它四個數據集下的圖形類似)下各種跟蹤投資策略的累積收益圖(初始投入資金為1元)。圖2展示了基于模型最優投資策略的樣本內累積收益，圖3-4分別展示了靜態和動態投資策略的樣本外表現。我們在圖上同時展示了指數和六個不同參數取值τ=0,1,2,3,4,5時模型的表現。由圖可知，本文提出的模型在不同參數設定下都能夠很好地跟蹤指數的趨勢，同時獲取高于指數平均收益的超額收益，動態投資策略在樣本外能更好地跟蹤指數趨勢。

圖2 投資策略的樣本內表現

圖3 靜態投資策略的樣本外表現

圖4 動態投資策略的樣本外表現

4 結語

量化投資策略的開發依賴于量化模型，而量化模型的構建基于投資理念，本文將指數收益率作為跟蹤組合的目標收益，建立UPM-LPM之比最大化的優化模型，旨在跟蹤指數趨勢的同時，獲取超過指數平均收益的超額收益，契合當下業界熱衷的增強指數投資理念。基于滬深股票市場數據的實證分析表明，我們的模型能夠很好實現增強指數投資理念，模型的樣本外表現達到預期目標。本文的研究成果在理論上可以豐富量化投資模型和資產配置理念，實踐上可以優化業界量化投資策略和工具。當然，本文仍遺留以下問題需要解決。首先，我們沒有證明模型中目標函數的凸性。目前LPM本身的凸性證明仍然是一個較難的公開話題，雖然有些文獻在特定分布(例如正態分布或t分布)下證明了LPM的凸性，但在一般分布下是否仍然具有凸性目前還沒有被證明。雖然如此，本文建立的模型仍然能夠得到精確度很高的數值解，因為本文模型的目標函數具有很好的光滑性，特別是目標函數具有任意階導數，可以運用全局最優化技術進行求解。其次，我們的模型沒有考慮交易成本、風險配置等現實約束，然而，考慮這些約束并不會使得模型的求解更加困難，因為我們只需要數值解，而不考慮解析解。此外，我們也正在考慮將LASSO等變量選擇方法引入模型，實現在模型優化過程中選股。