例談初中生數學解題思路受阻后的反思策略

摘 要：學生在例題學習或獨立作業時，常因各種原因導致思路受阻。因此，探討解題思路受阻后的反思策略，對于提高學生解題能力及數學學習能力就顯得至關重要，下面結合自己的教學經驗，談談初中生在解題思路受阻后的反思策略。

關鍵詞：數學；思路；反思

一、 從順推和逆推兩個維度總結熟記一些普適性的思考規律

當學生解題思路受阻時，直接的原因就是因為看到題目的某個條件，或者是多個條件組合后無法進一步地進行推理，或者不善于從結論出發多途徑地去追溯所需的條件，進而找到順推和逆推的中途點，從而解決問題。因而教師可從以下兩方面去幫助學生進行反思總結。

（一） 總結熟記一些由條件推向結論的常見模式

請看下例：

例1：（1）如圖1，在△ABC中BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點O作直線EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，猜想EF和BE、CF有何關系？說明理由。

（2）如圖2，若將（1）中的“BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB”改為“BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他條件不變，則EF與BE、CF的關系又如何？請說明理由。

分析：（1）這兩個小題共同的解法都是根據角平分線性質和平行線性質推出△BEO和△CFO都是等腰三角形的結論，再根據BE=OE，CF=OF得出EF與BE、CF之間的關系。而初學時學生思維受阻的原因基本上都是沒有想到上述兩個條件組合將產生兩個等腰三角形，從而再向前推進證得結論。

（2）當在教師或同學的啟發下，學生們知道該題的解題思路后，教師應順勢幫助學生反思總結出這樣一個條件組合的規律：當一道題目的已知條件中同時出現了角的平分線和這個角的一邊的平行直線時，一定要先挖出隱含在圖形中的等腰三角形（有時還得添輔助線畫出等腰三角形）。并且要提醒學生，總結出的規律要時時加以利用，并不斷完善。隨著今后的學習，我們還會發現，其實那條平行線不僅可以是角的一邊的平行線，還可以是角平分線的平行線。

其實數學中，這種由條件組合推向結論的模式有很多，教師要善于引導學生發現和總結。如在四個代數式a+b，ab，a-b，a2+b2中，若有兩個代數式的值已知，便可以利用完全平方公式求得另兩個代數式的值。又如有這樣一個基本圖形：如果兩個頂角相等的等腰三角形具有公共的頂角的頂點，當把它們的底角頂點連接起來時，則會形成一組全等的三角形。即如圖3所示，若△ABC與△ADE都是等腰三角形，且它們的頂角∠BAC=∠DAE，則可得到△ABD≌△ACE。

（二） 總結熟記一些由結論追溯條件的常見模式

如下例：

例2：完成下列題組

（1）如圖4，已知：直線AB經過點B（4，0）和A（0，3），點P是y軸上一動點，若△ABP為等腰三角形，試求出點P的坐標。

（2）如圖5，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=4，DC=3，AD=6。動點P從點D出發，沿射線DA的方向，在射線DA上以每秒2個單位長的速度運動，同時動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設運動的時間為t（秒）。問當t為何值時△BPQ是等腰三角形？

（3）如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=45。點P、Q分別是AC、BA邊上的動點，且AP=BQ=x。若△APQ為等腰三角形時，求x的值；

（4）如圖7，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，△DEF≌△ABC，移動△DEF，在整個移動過程中，點E始終在BC邊上（點E不經過B、C兩點），且DE始終經過點A，EF與AC交于點M。若△AEM為等腰三角形，求BE的長。

分析：第（1）題中△ABP兩個頂點A和B是定點，第三個頂點P可到線段AB的中垂線或分別以A、B為圓心以線段AB為半徑的兩個圓上去找，找到點P后再進行列式或列方程求解。

第（2）題中△BPQ的三個頂點中，只有一個頂點B是定點，點P、Q都是動點，顯然（1）中的方法不適用。這時可考慮將△BPQ三邊或三邊的平方字母化，即將△BPQ三邊或三邊的平方用同一個未知數表示出來：PQ2=t2+32，BQ2=（4-t）2，BP2=（4-2t）2+32，然后分三種情況：PQ=BQ或BP=BQ或PB=PQ分類列方程即可求解。

第（3）題中顯然（1）（2）的方法都較難實現，但題目中sinA=45，可以認為∠A是一個特殊角，若△APQ為等腰三角形，則夾∠A的兩邊之比一定為1∶1或5∶6，而邊AP和AQ很容易用同一個未知數表示出來，這就使問題得到輕松解決。

第（4）題中，顯然（1）（2）的方法都不適用，盡管sin∠AEM=sinB=45，可推出若△AEM要為等腰三角形，則夾∠AEM的兩邊之比為1∶1或5∶6，但邊AE和EM很難用同一個未知數表示出來。于是可考慮從等腰三角形兩底角相等帶來的新的關系去求解。由∠B=∠DEF=∠C，易推得∠CEM=∠BAE。由∠AME>∠C，可知∠AME>∠AEF，若∠EAM=∠AME，則AE=EM時，可推得△ABE≌△ECM，易知BE=1，當AM=EM時，可知∠MAE=∠MEA=∠C，可推得△CAE∽△CBA，進而可求得BE的長。

上述題組，一般學生解題思路都會受阻，此時教師應不失時機地引導學生總結出下列動點形成等腰三角形的由結論追溯條件的思考規律：

1. 變中抓不變，分析三角形幾個頂點定，幾個頂點動，哪些邊角定，哪些邊角變，有沒有特殊角（如30°、45°、60°或某個三角函數值已知的角度）；

2. 若三角形兩個頂點定，一個頂點動，則動的頂點可到兩定點連線段的中垂線或以兩定點為圓心以兩定點連線段為半徑的兩個圓上找，找到以后再列式或列方程求解；

3. 若用2的方法較繁或三角形中至少有兩個頂點動，則考慮將三邊長度字母化，即將三邊用同一個未知數表示出來，然后分類討論列方程求解；

4. 若從邊的關系很難將三角形三邊用同一未知數表示出來，則從角的關系去突破，先看看有沒有特殊角，若有，則利用特殊角帶來的等腰三角形兩夾邊的比值列方程求解（如等腰三角形底角為30度，則夾這個角的兩邊之比為1∶3）。

5. 若無特殊角，則利用等腰三角形兩底角相等帶來的新的關系（如相似、全等、平行、新的等腰三角形等等）求解。（當然，此規律要在實踐中加以完善）

二、 從特殊到一般找到突破口

數學中有一類題依據一般條件很難找到思路，如一些規律探索題，這時可啟發學生退到一些簡單的特殊情形，通過特殊情形的解決，尋找規律，實現原問題的解決。如下例題：

例3：如圖8，已知直線l：y=-x-1，雙曲線y=1x，在l上取一點A1，過A1作x軸的垂線交雙曲線于點B1，過B1作y軸的垂線交l于點A2，請繼續操作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點B2，過B2作y軸的垂線交l于點A3，…，這樣依次得到l上的點A1，A2，A3，…，An，…記點An的橫坐標為an，若a1=2，試求出a2013的值。

分析：這個問題很難直接找到解題思路，可退到簡單的特殊情形，通過計算，不難發現：當a1=2時，a2=-32，a3=-13，a4=2，a5=-32，于是可知a1至a2013的值是三個三個循環出現的，于是問題得到了解決。

三、 把問題映射到另一數學領域中去

把問題映射到另一數學領域中去，在初中數學中更多地體現為用數形結合的思想解決問題。如下例：

例4：求代數式x2+4+（12-x）2+9的最小值。

分析：這個問題利用常規的代數方法求解很困難，但若學生習慣于用數形結合思想去思考問題，由a2+b2容易想到直角邊為a和b的直角三角形的斜邊。于是可構造幾何圖形來求解。

如圖9所示，作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，設BC=x，則AE的長即為代數x2+4+（12-x）2+9的最小值。

數學中很多的代數問題都可以通過構造圖形來解決。同樣圖形的諸如形狀，大小和位置關系的確定問題也常需要用代數的方法來解決。

四、 類比聯想出思路

當解題陷入困境時，有時可對問題做整體的觀察和分析，然后進行新舊知識和題目的聯想分析來解決問題。例如：

例5：求出函數y=x+4x（x>0）的最小值。

此題用不等式的性質可以解決，但初中學生不熟悉。而當學生利用常規的函數最值模型和構造幾何圖形無法求解時，教師要啟發學生反思回顧初中哪幾類代數式模型是可以求最小值的。同時與學生回顧用配方法求二次函數y=x2+4x+5的過程。然后啟發學生用配方法求出函數y=x+4x的最小值。

總之，如果學生在解題時思路受阻，教師要反思原因，在查漏補缺的基礎上，要引導學生認真審題、理清解題思路，更要善于反思和總結出一些普適性的順推和逆推規律。同時要善于化繁為簡，多角度地作類比聯想分析。這樣就能從根本上提高學生的解題能力及數學學習能力。

參考文獻：

[1]孫維剛.談全班55%學生怎樣考上清華北大，1999（9）.

[2]何運法.解題思路受阻時的應對策略，2005（6）.

作者簡介：

陳立順，浙江省江山市，浙江省江山市城南中學。