數形結合思想在高中數學教學的運用研究

摘 要：數形結合思想在高中數學教學中占據重要地位，其主要功能在于將抽象的數學問題用幾何圖形表示出來，以達到簡化問題的目的，同時也可用數學問題解決復雜的幾何問題。著名數學家華羅庚曾說過：數缺形時少直覺，形少數時難入微。可見，將兩者方式結合才能更有效地解決問題。本文將闡述數形結合的含義，并對數形結合在高中數學教學中的應用進行探討。

關鍵詞：數形結合；幾何問題；高中數學教學

數形結合思想可謂在數學界應用廣泛，尤其是在高中的數學教學中，數形結合思想在解方程、函數、幾何以及不等式關系問題中具有重要作用，而數形結合的重點在于“以形助數”，其目的是使問題簡單化、具體化，從而能夠優化解題步驟和途徑。而如何在高中數學教學中合理應用數形結合思想，還需教師及相關人員對其進行深度分析和探討。

一、 數形結合的概述及研究意義

數學重點在于數量關系和空間形式方面的知識點，數形結合是指在解決有關“數”的問題時，利用“形”來輔助。或者在解決“形”的相關問題時，結合“數”的關系來解決。為推行新課改，注重學生素質培養，使學生具備創新意識，并且能夠學會利用創造力來解決問題，教育者應重視培養學生好的學習方法，在新時代的教育理念中，教育者不僅要重視學生的基本知識培養，還要對知識的總體框架有足夠的了解，對知識概念、公式、公理、推理都應該理解到位。因此，研究數學思想是很有必要的。而在高中數學教學中，數形結合思想尤為重要，例如在高一集合知識點中，教師一般會利用韋恩圖來向學生進一步解釋集合的概念。還有很多內容都會利用數形結合思想來對其進行深度的理解和分析。

二、 數形結合在高中數學教學中的應用

（一） 數形結合與方程有關的應用

當前高中數學教學中有關方程方面的知識點是重點，教師在講解這方面的知識時必定會利用數形結合的方式，特別是在解方程或求兩個方程根的個數中應用廣泛，一般是將方程的函數圖象在平面直角坐標系中表示出來，然后通過圖象的形狀來判斷方程的幾何性質及交點個數，下面將舉例說明。

例：已知，a∈（0，1），則方程a|x|=|logax|的實根個數為（ ）

A. 3個 B. 1個 C. 2個 D. A或B或C

解析：根據方程y=a|x|和方程y=|logax|在坐標軸上畫出兩方程的函數圖象，然后看兩函數圖象的交點個數，交點個數即為方程a|x|=|logax|的實根個數。

上述例子可以很明顯地發現利用數形結合思想來解決判斷方程的根的問題有著簡化解題步驟的作用，也不難發現，運用該方式是解決此類問題最有效直觀的方法。

（二） 數形結合與不等式有關的應用

高中數學教學中包含不等式相關內容，且題型多變，較為復雜，但大多的不等式相關問題都可利用數形結合的方式來幫助解決，尤其是在解決不等式關系中參數的取值范圍時，利用數形結合的解題方法能有效簡化解題步驟和解題方式，下面將舉例說明。

例：已知不等式2x-x2≥kx+k的解不為空集，其中k是常數，求k的取值范圍。

解析：根據不等式2x-x2≥kx+k可以分別在平面直角坐標系上畫出方程y=2x-x2和y=kx+k的函數圖象，然后找到兩圖象只有一個交點時y=kx+k圖象的臨界位置，最后根據y=kx+k的兩條極限位置圖象找到特殊點，求出k值。k的取值范圍也可確定。

由上述例子可以看出，數形結合與不等式結合的題目是現階段命題的趨勢，很多高考真題中都有類似的考題，因此，學生應該重視數形結合的解題方式，有時候運用復雜的思維方式來計算題目中的數量關系，不如利用圖形來的簡明直觀。

（三） 數形結合與幾何問題相關的應用

在高中數學教學中，幾何的相關知識點不可忽視，高考中解析幾何的分值也占比較多，高考出題者一般是將幾何問題和函數、數列、向量等知識點結合起來，這樣綜合性的考題難度更大，更具挑戰性。例如求橢圓、雙曲線和拋物線相關的問題時，一般都采用數形結合的方式，只有少數概念性問題不用畫圖解決。數形結合思想在幾何解析問題上有著重要的參與性，且不說較難的高考題目，就是平時的基礎練習中也會常常運用到。

例：已知拋物線D：y2=4x，過點A（-1，0）的直線與拋物線交于M、N點，設AM=λAN，若點M關于x軸的對稱點為P，試證明直線PN經過拋物線D的焦點F.

解析：需設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x1，-y2）

因為AM=λAN，x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，接下來就需要將未知數代入式子中，然后在平面直角坐標系中把圖畫出來，能夠比較直觀地得到證明。

上述例子可以看出除了在數中運用形，也有在形中運用數，拋物線是形，解題應結合題中的數量關系。

（四） 數形結合與函數有關的應用

高中數學教科書乃至大學所學的高等數學中都將函數作為重點學習內容，可見函數在整個高中、大學階段都有很重要的地位，高中重點講解三角函數、二次函數以及函數的性質等，但難點在于函數的應用問題，由函數知識點為基礎可以延伸出很多高難度的知識點，包括幾何、不等式、方程的解等知識點，下面會舉例說明。

例：已知函數f（x）=ax2-c滿足-4≤f（1）≤-1和-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范圍。

解析：根據題意將x=1、x=2和x=3分別代入到函數中，可以得到-4≤a-c≤-1、-1≤4a-c≤5和f（3）=9a-c，由-4≤a-c≤-1和-1≤4a-c≤5可以在平面直角坐標系上畫出圖象，得到平行四邊形區域，而f（3）=9a-c也可在坐標系上以斜率為9的平行直線表示出來。剩下的可以看f（3）=9a-c的圖象在平行四邊形區域上找出來使f（3）值最大和最小的點，那么f（3）的取值范圍即可確定。

函數應用題型較多且難度較大，大都需要根據函數圖象來解題，這也是數形結合的一方面應用。

三、 結束語

通過本文對高中數學教學中數形結合思想的探討，可以發現其實數形結合在整個高中數學教學中有著不可替代的作用，數形結合與方程、不等式、幾何解析、函數以及本文還未展開闡述的集合問題都有廣泛的應用，以形助數旨在解決由上述問題延伸而來的復雜問題，教師應通過對學生傳授數形結合的思想，讓學生能夠獨立運用所學知識來解決數學難題。只有努力培養學生數形結合思想，才能更有效地達到素質教育的目的。

參考文獻：

[1]張艷.數形結合思想在高中數學教學中的應用研究[J].中國校外教育，2016（31）：55-55.

[2]董曉萍.高中數學教學中如何滲透數形結合思想[J].中學生數理化（學習研究），2013（5）：55-55.

作者簡介：

韓其力木格，內蒙古自治區扎蘭屯市，內蒙古扎蘭屯市第一中學。