關于有限群的p-冪零性與超可解性判別準則

霍麗君，王麗麗

(重慶理工大學 理學院， 重慶 400054)

本文所考慮的群均為有限群，所使用的群論理論的符號和術語都是標準的，可參考文獻[1-3]。記G為一個有限群，|G|為它的階，π(G)為|G|的所有素因子的集合，Gp為G的Sylowp-子群，Φ(G)為G的Frattini子群，即G的所有極大子群的交。

在有限群論中，利用子群的某些性質來刻畫群結構是群論中的經典且重要的研究方法之一。 從廣義正規性或可補性的角度去研究群的結構成為該研究方向的一種重要方法，得到許多有深刻意義的結果。1970年，Buckley利用子群的正規性條件證明了如果奇數階群G中的每一個極小子群是都是正規的，則G是超可解的。 2000年，Ballester-Bolinches等[4]給出了c-可補子群的概念，子群H在G中是c-可補的，如果存在G的一個子群T使得G=HT，且H∩T≤HG，這里HG是包含在H中的G的最大的正規子群，作者對所有子群為c-可補子群的有限群的特性及其在群構造方面的應用進行了研究。許多學者對其在群結構方面的影響進行了進一步的研究[5-6]。 子群H在群G中是類正規的，如果對任意x∈G，H和Hx在〈H,Hx〉中是共軛的。G的子群H是G的H-子群，如果對G的任意元素g，有Hg∩NG(H)≤H。 群G的子群H在G中是弱正規的[7]，如果對任意g∈G，當Hg≤NG(H)時必有g∈NG(H)。易知每一個類正規子群和H-子群都是弱正規子群，利用弱正規子群去研究群的構造是一個有效的工具，人們得到了一些有意義的結果[8-10]。作為該研究課題的深化，利用群的可補性及弱正規性，本文定義了一類新的子群，稱為弱正規可補子群。

定義1 群G的子群H在G中是弱正規可補的，如果存在G的一個子群T使得G=HT，且H∩T是G的弱正規子群。

顯然，類正規子群、H-子群和弱正規子群都是弱正規可補子群。 本文在第2節先列出一些有用的引理，在第3節考慮用有限群中某些子群的弱正規可補性去研究群的結構，得到有限群的p-冪零性以及超可解性等的若干判別準則。

1 預備知識

引理1(參考文獻[8]引理2.1,2.2) 設N、H、K是群G的子群。

1) 如果H≤K≤G,且H在G中是弱正規的，則H在K中是弱正規的；

2) 如果N在G中是正規的，且N≤H，則H在G中是弱正規的當且僅當H/N在G/N中是弱正規的；

3) 如果H在G中既是次正規又是弱正規的，則H在G中是正規的；

4) 如果N在G中是正規的，P是G的正規p-子群滿足(|N|,p)=1，則PN和PN/N分別在G和G/N中是弱正規的。

引理2 設N、H、K是群G的子群。

1) 如果H是G的弱正規可補子群，且H≤K≤G，則H是K的弱正規可補子群；

2) 如果N在G中是正規的且N≤H，則H在G中是弱正規可補的當且僅當H/N在G/N中是弱正規的；

3) 設N是G的正規子群，且H與N滿足(|N|,|H|)=1。若H在G中是弱正規可補的，則HN/N在G/N中是弱正規可補的。

證明

1) 如果H是G的弱正規可補子群，則存在G的一個子群T使得G=HT，且H∩T是G的弱正規子群。顯然K=H(K∩T)，且H∩(K∩T)=H∩T在G中是弱正規的。 由引理1的1)可知,H∩(K∩T)=H∩T在G中也是弱正規的。

2) 首先設H在G中是弱正規可補的，即對G的某個子群T有G=HT，且H∩T是G的弱正規子群。由于N(H∩T)在G中是弱正規的，因此由引理1的2)有N(H∩T)/N在G/N中是弱正規的。顯然G/N=(H/N)(TN/N)，且(H/N)∩(TN/N)=N(H∩T)/N在G/N中是弱正規的，從而H/N在G/N中弱正規可補。反之，如果存在一個G/N的子群T/N使得G/N=(H/N)(T/N)且(H/N)∩(T/N)=(H∩T)/N在G/N中是弱正規的，進一步由引理1的2)可得，H∩T在G中是弱正規的。 注意到G=HT，于是H在G中是弱正規可補的。

3) 設H在G中是弱正規可補的，即存在G的某個子群T有G=HT，且H∩T是G的弱正規子群。 易知N≤T，且N(H∩T)=HN∩T在G中是弱正規的。 則由引理1的2)有(HN∩T)/N在G/N中弱正規。 由于G/N=(HN/N)(T/N)且(HN/N)∩(T/N)=(HN∩T)/N在G/N中是弱正規的，于是HN/N在G/N中是弱正規可補的。

引理3(參考文獻[2]的定理7.4.5) 群G有正規p-補子群當且僅當下列條件之一成立：

1) 對每一個G的非單位p-子群H，NG(H)/CG(H)是一個p-群；

2) 對每一個G的非單位p-子群H，NG(H)有一個正規p-補。

引理4[11]設G的每一個真子群超可解，但G本身非超可解， 則

1)G恰有一個正規Sylow子群P；

2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的一個極小正規子群，且P/Φ(P)是非循環的；

3) 對于p>2，P的方次數為p，對于p=2，其方次數最多為4。

引理5[12]

1) 如果G/H和G/K都是超可解的，則G/(H∩K)是超可解的[12]；

2) 如果G/H是超可解的，且H是循環的，則G是超可解的[12]。

引理6[11]G是超可解的當且僅當G/Φ(G)是超可解的。

引理7[13]設P是一個p-群，則

1)P/Φ(P)是初等交換群；

2) 如果|P/Φ(P)|=pn，那么存在x1,…,xn∈P使得P=〈x1,…,xn〉。

2 主要結論

定理1 設p是整除|G|的最小素因子，如果G的每一個p階子群和4階(當p=2時)循環子群在G中是弱正規可補的，則G是p-冪零群。

證明假設G為非p-冪零群且G是一個極小階反例。 若任意G的每一個p階子群和4(當p=2時)階循環子群在G中是弱正規的，設q是一個不同于p的|G|的素因子，Q是一個正規化P的一個q-子群，顯然P?PQ。 設H是P的p階(4階，當p=2時)循環子群，由引理1的1),H在PQ中是弱正規的。 由于H??P，故H??PQ。根據引理2.1的3)，H正規于PQ。此外，由于H是p(4，當p=2時)階循環群，則有|Aut(H)|=p-1(=2，當p=2時)，但p是|G|的最小素因子，q>p(q>2，當p=2時)，故q不整除|Aut(H)|。 所以Q中心化H。 再由文獻[2]的定理5.3.10以及文獻[11]的定理5.12，可得Q中心化P，從而NG(P)/CG(P)是一個p-群。由引理3可知，G是冪零的，矛盾，因而必存在P的p階或4階(當p=2時)子群H在G中不是弱正規的。 首先令p為奇數，由假設H是G的弱正規可補子群，即存在G的子群T使得G=HT且H∩T是G的弱正規子群。易知H∩T=1，于是T?G。 由引理2的1)可知，T滿足定理的條件，則T是p-冪零的，進而G是p-冪零的，矛盾。 假設p=2，由于G為非2-冪零群，于是G中存在一個極小非2-冪零群，不妨設為K。 由文獻[11]第Ⅳ章定理5.4可知，K是G的一個極小非冪零群，且K=[K2]Q，這里K2是K的正規Sylow-2子群，Q是K的非正規Sylowq-子群，q≠2，且K2的方次數至多為4。 由上面的證明可知，K2中有2階或4階的循環子群H不是弱正規而是弱正規可補的。由引理2 的2)可知，H在K中也是弱正規可補的。 于是存在K的子群T使得K=HT，且H∩T在K中是弱正規的。由于H不是弱正規的，K≠T。 如果|H|=2，則H∩T=1。顯然Q≤T，且T?K。 又因為T是K的冪零子群，易得Q?K，矛盾。現設|H|=4。 如果|H∩T|=2，則|K∶T|=2，從而T是K的正規冪零子群，又可得Q?K，矛盾，所以H∩T=1，令H1是H的2階子群，如果H1在K弱正規，則由引理1的3)可知,H1在K中是正規的，因此H1T是K的正規冪零子群，于是Q?K，矛盾。 由假設H1在K中是弱正規可補的，則存在子群T1使得K=H1T1且H1∩T1=1。 由于T1是K的正規冪零子群，易得K是2-冪零群，矛盾。 定理證畢。

定理2 設p是整除|G|的最小素因子，H是G的正規子群使得G/H是p-冪零的。 如果H的每一個p階子群和4階(當p=2時)循環子群在G中是弱正規可補的，則G是p-冪零的。

證明由引理2的1)可知，H滿足定理的條件。由定理1知H是p-冪零的。令Hp′是H的正規p-補，則易推得Hp′正規于G。 假設Hp′≠1，對G的階|G|運用歸納法，由引理2的3)可知，G/Hp′滿足定理的條件，從而G/Hp′是p-冪零的，于是G是p-冪零的。 現設Hp′=1， 則H是一個p-群。因為G/H是p-冪零的，設K/H是G/H的正規p-補。由Schur-Zassenhaus定理可知，存在K的Hallp′-子群Kp′使得K=HKp′。再應用引理2及定理1可得，K是p-冪零的， 從而K=H×Kp′，由此可得Kp′是G的正規p-補，于是G是p-冪零的。 定理證畢。

推論1 對任意p∈π(G)，假如群G的每一個p階子群和4階循環子群(當p=2時)在G中是弱正規可補的，則G是超可解型的Sylow塔群。

證明設|G|的素因子個數n≥2，對n運用數學歸納法，反復運用定理1及引理2可得此結論。

定理3 設G是一個群，p∈π(G)，P是G的一個正規p-子群。若G/P是超可解的，并且P的每一個p階子群和4階(當p=2時)循環子群在G中是弱正規可補的，則G是超可解的。

證明假設G不是超可解的，并令G是一個極小階反例。通過以下步驟進行證明：

1)G的每一個真子群K是超可解的

設K

2)P是G中唯一一個非平凡正規Sylow子群

由引理4知，G有唯一一個非平凡正規Sylow子群，不妨設為Q，并設q是一個素數使得Q是一個q-群。 由Schur-Zassenhaus定理知，存在G的一個補群K使得G=QK。 顯然，K?G/Q，從而由步驟1)知G/Q是超可解的。 根據條件，G/P是超可解的，由引理5 的1)，得到G/(P∩Q)是超可解的。由于G是極小非超可解的，P∩Q≠1，進而p=q，且P≤Q。 由Frattini子群的性質知，Φ(Q)≤Φ(G)。 因為Φ(Q) charQ?G，所以Φ(Q)?G。由引理6，判斷G/Φ(G)不是超可解的。 由引理4可得，Q/Φ(Q)是G/Φ(Q)的極小正規子群。易知，PΦ(Q)=Φ(Q) 或者PΦ(Q)=Q，如果PΦ(Q)=Φ(Q)，即P≤Φ(Q)，則由

G/Φ(Q)?(G/P)/(Φ(Q)/P)

知G/Φ(Q)是超可解的。 由于Φ(Q)≤Φ(G)，又由

G/Φ(G)?(G/Φ(Q))/(Φ(G)/Φ(Q))

得到G/Φ(G)是超可解的，矛盾。從而P不在Φ(Q)中，即有PΦ(Q)=Q，于是P=Q。

3) 導出矛盾

如果P是循環群，則由引理5的2)知，G是超可解的，矛盾。 于是P是非循環群，設|P/Φ(P)|=pn。由引理7知，P/Φ(P)是一個初等交換群，從而P/Φ(P)由n個元素x1Φ(P),x2Φ(P),…,xnΦ(P)生成，這里x1,x2,…,xn∈P，而x1,…,xn恰好為P的生成元，即有P=〈x1,x2,…,xn〉。由引理4的3)可知P的方次數是p或者4， 從而對P的任意p階或者4階子群H，H在G中是弱正規可補的，即存在G的子群T使得G=HT，且H∩T在G中是弱正規的。又因為(H∩T)??P?G，由引理1的3)得(H∩T)?G，從而H在G中是c-可補的，再由[6]的定理1.3可知，G是超可解的，矛盾。 定理證畢。

定理4 設H是群G一個正規子群，假設G/H是超可解的，并且H的每一個素數階子群和4階循環子群在G中是弱正規可補的，則G是超可解的。

證明假設定理不真，并設(G,H)是一個使得|G|+|H|為最小值的反例。 由G的極小性易知G的每一個真子群是超可解的。根據引理4,在G中存在唯一非平凡正規Sylow子群，設其為p-群P。 由Schur-Zassenhaus定理可知，在G存在子群K使得G=PK，且P∩K=1。 顯然，K?G/P是超可解的，進而G/(P∩H)是超可解的。 如果P∩H