將斯特恩—蓋拉赫實驗引入大學物理教學

汪亞平 寧長春 次仁尼瑪 劉當波

(1西藏大學理學院實驗中心，西藏 拉薩 850000；2西藏大學理學院物理系，西藏 拉薩 850000；3上海交通大學物理與天文學院，上海 200240)

斯特恩-蓋拉赫實驗，簡單地說：就是讓銀原子通過非均勻磁場，觀察其磁矩在非均勻磁場中的受力和偏轉情況。該實驗所包含的物理概念有：原子的結構(盧瑟福的原子核式模型、玻爾氫原子模型、玻爾-索末菲理論)、原子中價電子的軌道角動量、原子中價電子的軌道角動量磁矩、電子的自旋、電子的自旋磁矩、原子的總磁矩、磁矩在非均勻磁場中的受力分析、薛定諤方程、不確定性關系、波粒二象性等。

斯特恩-蓋拉赫實驗原本是屬于原子物理、量子力學的教學內容。通行的各種大學物理教材中，都不會講述這個實驗。我們嘗試按照時間順序，從1916年索末菲提出“空間量子化”的概念(實驗的最初動機)，1922年“斯特恩-蓋拉赫實驗”得出實驗結果(正確的實驗給出了錯誤的解釋)，1927年“電子自旋”概念提出(實驗的最終解釋)，一一展開其中的物理概念的教學。讓學生體會到經典理論走向半經典半量子的舊量子理論，再了解量子力學的物理思想變化。讓學習大學物理的非物理專業學生對該實驗有一比較全面的了解。

1 載流線圈的磁矩以及載流線圈在磁場中的受力和運動

1.1 載流線圈磁矩的概念

對于一個載流線圈，將：

m=IS=ISen

(1)

定義為它的磁矩。其中，I是線圈中的電流強度；S是載流線圈包圍的面積；en是載流線圈平面的法線單位矢量，規定其方向與線圈中電流的環繞方向滿足右手螺旋定則。圖1給出了一種最簡單的載流線圈，亦即平面圓形載流線圈的磁矩。

圖1 閉合回路具有的磁矩

1.2 載流線圈在均勻磁場中的受力和運動

將上述的載流線圈放在均勻磁場當中，其所受力矩為

M=m×B

(2)

圖2 載流線圈放入均勻磁場

1.3 載流線圈在非均勻磁場中的受力和運動

圖3 載流線圈放入不均勻磁場

1.4 無限小的載流線圈在非均勻磁場中的運動軌跡

為了與之后的敘述銜接，我們假設：第一，我們所討論的載流線圈，是無限小的載流線圈，尺寸在原子的尺度，并且質量忽略不計，不受重力影響；第二，進入磁場的無限小的載流線圈，只具有上下兩種磁矩方向。如圖4所示，無限小且不受重力影響只具有上下兩種磁矩方向的載流線圈，從S2處進入非均勻磁場，磁場的寬度為d,D表示載流線圈受到磁場力開始偏轉到屏P的距離。z1是無限小載流線圈在磁場的出口處，偏離中軸線的垂直距離，z2是無限小載流線圈在P處偏離中軸線的垂直距離。

圖4 無限小載流線圈在非均勻磁場中的運動軌跡

非均勻磁場的設置，讓磁場梯度的方向沿著z軸，在x和y方向均為零。亦即：

(3)

所以無限小載流線圈受力只在z方向：

(4)

無限小載流線圈以速度v進入磁場區域，垂直方向受到力Fz的作用，做拋物線運動，運動方程是：

(5)

無限小載流線圈在經過磁場區(長度為d)時，已經偏離x軸z1距離。此時與x軸的偏角是

(6)

出了磁場，無限小載流線圈將沿直線運動，一直落在屏幕上面，偏離x軸的距離為

(7)

根據前述假設，進入磁場的無限小載流線圈的磁矩方向只能取上下兩種，也就是cosθ=±1，所以按運動學的分析，可知無限小的載流線圈在經過磁場后，磁矩方向向上的，將會落在屏P的上方，磁矩方向向下的，將會落在屏P的下方。

2 氫原子的磁矩以及氫原子在磁場中的受力和運動

2.1 玻爾氫原子模型

如果研究的是一個帶電粒子沿閉合回路運動(或者自旋)，也可以按照式(1)來計算它所具有的磁矩，用式(2)來計算其在磁場中所受的磁力矩，以及用式(4)來計算它在非均勻磁場中的受力。這樣，就可以將先前對于載流線圈的分析方法，用來分析氫原子。氫原子中的價電子圍繞原子核(1個質子)做圓周運動。而這個價電子的閉合圓周運動，恰恰構成了一個閉合回路。下面討論“將載流線圈放入非均勻磁場”轉化為“將氫原子放入非均勻磁場”的情況。

玻爾氫原子模型中，有3個重要的假設。其一，定態假設；其二，躍遷假設；其三，軌道角動量量子化假設。其中軌道角動量量子化假設，實際上是將量子化條件從能量的數值擴展到軌道角動量的數值。玻爾明確指出：

(8)

2.2 氫原子的電子軌道角動量和電子的軌道磁矩的關系

下面給出氫原子的軌道角動量與其磁矩之間的關系。需要說明的是：在大學物理教材中，載流線圈的磁矩是用m表示，但是通行的教材里，原子的磁矩均是用μ表示。下文將用μ來表示原子的磁矩。

圖5 電子的軌道角動量和磁矩的關系

如圖5所示，如果原子中電子繞原子核旋轉的頻率是ν，軌道半徑為r，則磁矩為

(9)

μ=-γL

(10)

(11)

式中μB為玻爾磁子。

由以上討論可知，按照玻爾模型，氫原子中的價電子將沿閉合軌道運動，從而具有一個角動量，而這個角動量將會產生一個磁矩。于是，對于無限小的載流線圈的在磁場中的運動分析，可用于氫原子在非均勻磁場中的運動。

2.3 玻爾-索末菲理論

1916年，索末菲和德拜各自獨立地對氫原子模型進行了修正，形成了“玻爾-索末菲理論”。亦即將玻爾氫原子模型的圓形軌道推廣到橢圓形軌道，并且相應地，將玻爾原先的量子化條件從1個擴展到3個。

玻爾原先對于他的圓軌道提出的量子化條件中的n(n=1,2,3，…)，被保留下來，后來被稱為主量子數。另外又引入了兩個新的量子數，一個是l(l=1,2,…,n),l和n一起，決定了橢圓形軌道的大小和形狀(l=n時，橢圓軌道成為圓軌道)。一個是m(m的取值范圍從-l到+l,不能等于零)，被稱為投影量子數(projection quantum number)。假如n=1，軌道是圓形軌道，索末菲和德拜的理論指出，這時m只能取+1或者-1，亦即軌道角動量在空間上只能取兩個特定的方向。這個結論是驚人的！亦即索末菲和德拜在玻爾氫原子模型中角動量數值量子化條件和一個平面內軌道不連續之外，又加了一個空間取向上的量子化。這也就是當時所謂的空間量子化。

索末菲同時指出：在他的模型里，如果忽略相對論效應以及沒有外加電場和外加磁場的前提下，能量取決于主量子數n，與l和m無關。但是如果考慮到相對論效應，l將對能量有微小的影響。而這種理論，居然恰恰能夠很好地解釋氫原子光譜的精細結構。

但是問題依然存在：既然氫原子中電子的能量和m無關，也就是說氫原子光譜和m無關，在不加外加電磁場的情況下，我們就無法感知到空間量子化的存在。索末菲的觀點是：m所決定的離散的空間取向，在空間上是等價的,如果在空間當中沒有一個相應的選定的參考方向，就無法感知。但是如果一個外加的電場或者磁場，來給予這樣一個參考方向，不同的空間方向將會在能量上顯示出差異。(電子的運動路徑的法線方向與外加磁場的方向之間的夾角，決定電子與磁場之間的相互作用。)圖6給出了玻爾氫原子模型與玻爾-索末菲氫原子模型的差別。

圖6 索末菲對于玻爾理論進行的修正

圖7 氫原子在非均勻磁場中的受力

2.4 氫原子在磁場中的受力分析

(12)

其中，θ指的是氫原子的磁矩方向與磁場方向的夾角。

注意式(12)來自于式(4)，只是為遵從原子物理以及量子物理中的習慣，用μ這個符號來表示氫原子的磁矩。

需要注意的是：載流線圈磁矩的空間取向，可以取任意一個方向，亦即是連續的。這就意味著：cosθ可以在-1和+1之間取任意值。那么一個載流線圈進入非均勻磁場之后，可以朝向任意方向運動。但在玻爾-索末菲理論中，氫原子的角動量，空間取向卻是量子化的，亦即意味著氫原子的磁矩取向也是量子化的，進入外加磁場的氫原子的磁矩方向，只能取“上”或者“下”兩個方向。亦即在非均勻磁場中，磁矩向上的氫原子只能往上運動，磁矩向下的氫原子只能往下運動。

3 斯特恩-蓋拉赫實驗以及對之的幾種解釋

下面介紹斯特恩-蓋拉赫實驗的實驗裝置和實驗原理。

3.1 實驗裝置

圖8 斯特恩-蓋拉赫實驗裝置

實驗裝置如圖8所示。第一，這個實驗裝置中，采用的不是氫原子，而是銀原子。銀原子從爐子內被蒸發出來，要經過狹縫狀的兩個準直器，進入非均勻磁場。第二，非均勻磁場是由兩塊特殊形狀的磁鐵構成(如圖所示，磁場梯度沿z軸正向)。第三、銀原子經過非均勻磁場之后，繼續前進，會打在一塊冷卻的玻璃板上，銀原子將沉積在玻璃板上，形成一定的沉淀形狀。

假設在理論上，銀原子和氫原子在磁場中表現一模一樣，那么氫原子究竟是否存在空間量子化的問題，恰如斯特恩所說：只要觀察玻璃板上的沉積形狀即可。

3.2 經典理論對于實驗結果的預期

基于上述基本物理概念很容易理解經典理論對于這個實驗結果的預期。如果進入磁場后，氫原子價電子的軌道角動量取向任意，磁矩取向自然也是任意方向。讓氫原子進入斯特恩-蓋拉赫實驗裝置，外加磁場的方向在z軸上，磁場梯度的方向在z軸正方向上，那么氫原子磁矩μ的取向任意，如圖9所示，使得磁矩和z軸的夾角可以取任意數值，則cosθ的取值自然可以從-1到+1之間取任意值，于是磁矩在z軸方向上的投影μz=μcosθ可以取任意值。

圖9 經典理論對于實驗結果的預期

進入磁場的氫原子的價電子的磁矩，具有隨機的空間取向，μz=μcosθ的數值將會大小不同，數值連續分布，按照式(12)，每一個氫原子所受的向上或者向下的力，也應該大小不同，但在數值上是連續分布。就大量的氫原子而言，向上運動和向下運動，從而與y軸(中軸線)偏離的角度也應該連續取值，并且總數量在任意一個角度上平權。這樣偏轉并在前進一段距離之后，最后打在玻璃板上，只是原先的分子束形(狹縫)被在z軸上展寬而已。飛行距離越遠，分子速度越小，展寬越厲害。所以經典理論對于這個實驗結果的預期是：將會在玻璃板上出現被展寬的連續分布的分子束形。

3.3 舊量子理論對于實驗結果的預期

按照玻爾-索末菲理論，因為進入磁場的氫原子天然地感知到了磁場的方向，于是其價電子的軌道角動量只能取上下兩種方向，式(12)當中的cosθ只能取+1或者-1，于是氫原子在z方向上，也只能感受到上下兩種方向的力。于是，一切分析變得和1.4節中的敘述一致。也就是說，在氫原子經過非均勻磁場，然后繼續飛行，抵達P(玻璃板，見圖10)時，按照式(7)，z2只能有兩個取值。(實際上這時，我們會感受到玻爾-索末菲理論在n和l之外，提出m的驚人之處。因為如果沒有這個m，即便n和l是量子化的，也只能導致角動量數值上的量子化，因為cosθ依然可以取連續值，從而導致μz=μcosθ依然可以取連續值，從而影響到z2也會取連續的值，而不會出現量子化的結果。也就是說：只有當μ在z方向的投影是量子化的，z2的數值才可能是分立的。z2的數值分立，反過來可以證明μz是否量子化。)

斯特恩認為這個實驗結果的確是驗證了空間量子化的概念。因為按照玻爾-索末菲理論，如圖11所示，預設一個方向(通過外加磁場實現)，相對于這個方向，氫原子的角動量只能有兩個方向，亦即磁矩只能有上下兩個方向。這樣，氫原子在磁場中，只能有1/2的氫原子向上運動，1/2的氫原子向下運動。于是玻璃板上只能出現一個分裂的分子束形。

圖10 舊量子論對實驗結果的預期

圖11 舊量子論對于氫原子磁矩的判斷

3.4 量子力學對于實驗結果的解釋

實際上，1922年的實驗結果出來之后，斯特恩的確認為這個實驗驗證了空間量子化的概念。但是現在我們知道，這個正確的實驗，驗證了一個錯誤的理論。因為對于這個實驗正確的解釋，要根據量子力學來處理。為了完成這個事情，我們按照楊福家教材里的敘述方法，給出量子力學對于這個實驗結果的一個大體解釋。之后將介紹大學物理通行教材中量子力學的基本知識，再用這些量子力學的基本概念，對該實驗結果給出更為詳盡的量子力學解釋。

3.4.1 量子力學對于實驗結果的大體解釋

(13)

而式(13)是由量子力學的計算得到的(氫原子的薛定諤方程的解.說明不僅軌道角動量的z分量Lz是量子化的，L本身也是量子化的。l稱為角動量量子數。)

于是，在量子力學中，將式(13)代入式(10)，氫原子磁矩大小的表達式為

(14)

(用μl，原因是認為氫原子的磁矩全部是由價電子的軌道角動量貢獻的)再次用到氫原子薛定諤方程的一個求解結果：

Lz=m，m=0,±1,±2,…,±l

(15)

(此式表示的是角動量在z方向上的投影大小。形式上與玻爾氫原子模型中的角動量量子化條件一樣，但是，這個公式出現在這里，卻是求解薛定諤方程得到的，m稱為磁量子數。)

下面，將式(15)用到式(14)中，便得到磁矩在z方向上的投影：

(16)

(為了區分電子的質量和式(15)中的磁量子數，此處用ml表示磁量子數)。這樣又有：

式(17)、式(18)兩式，表明氫原子的磁矩及其z分量的大小是量子化的，來源于電子的軌道角動量L及z分量Lz的大小的量子化。而Lz的量子化表明了角動量在空間取向的量子化。即角動量量子數為l時，角動量在空間有2l+1個取向，它對應有2l+1個投影值ml。

到此，問題是：斯特恩-蓋拉赫實驗盡管證明了原子在磁場中的空間量子化，但是卻不能解釋氫原子在磁場中只有兩個取向的事實。空間量子化認為，l一定，ml=2l+1.也即是說：l是整數，2l+1一定是奇數。這說明我們對原子的描述仍然是不完備的。

實際上，這個實驗結果出現偶數分裂，說明要2l+1為偶數，只有角動量為半整數才可以。軌道角動量不可能出現半整數。烏倫貝克1925年提出：電子不是點電荷，除了軌道角動量，還有自旋運動，固有的自旋角動量為S：

(19)

Sz=ms,

(20)

有了這個假設之后，便有了與自旋相聯系的磁矩：

(21)

由于這兩個式子與實驗事實不符，再次假設電子的磁矩為1個玻爾磁子，也就是經典數值的2倍。磁矩的方向與自選的方向相反。(這個假設，與電子自旋概念一起，可以由狄拉克相對論量子力學嚴格導出)這意味著，式(17)、式(18)兩式，在原子體系中并不嚴格成立。于是定義一個g因子，使得對任意角動量j所對應的磁矩，以及在z方向的投影，可以表示為

只考慮到軌道角動量時，j=l,則gl=1

重新回到式(17)、式(18)。這是借助于經典的軌道概念再加上量子化條件得到的。

只考慮電子的自旋時，j=s,則gs=2。到此為止，g只是一個假設。稱為朗德因子。

(以上，將小寫的j,l,s分別表示電子的總角動量，軌道角動量，自旋角動量。目的是區分多電子原子所用的角動量的符號。)

電子的總磁矩，在引入電子自旋磁矩的概念后，可以用圖12計算。(暫不考慮原子核的貢獻，原子核的質量，比電子的質量大3個數量級，磁矩是與質量成反比。那么原子核的磁矩要比電子的磁矩小3個數量級。原子核磁矩對于原子的貢獻，在于超精細相互作用。)

圖12 電子磁矩與角動量的關系

從圖12中可以看出，μ不是一個具有確定方向的量，可分解為兩個量。一個沿著j的沿線，叫做μj,這是有一定方向的恒量。另一個垂直于j，由于繞著j轉動，對外平均效果抵消了。因此，對外發生作用的是μj，即電子的總磁矩。

如果將電子的自旋也考慮進去，實驗結果的解釋應該是(如果不考慮電子的自旋，無法解釋偶數分裂)：原子的磁矩應該用式(23)。于是式(7)變成：

(24)

由于mJ=J,J-1,…,-J,共有2J+1個數值。相應有2J+1個分立的z2數值。那么具體到處于基態的氫原子：

3.4.2 大學物理中的量子力學基本概念

1) 薛定諤方程

給出薛定諤方程

i

(25)

其中,Ψ=Ψ(x,y,z,t)叫做波函數。其一維形式是：

i

(26)

大學物理中的知識，至少可以讓同學明白，在量子力學中上述方程就相當于經典力學中的牛頓第二定律。對保守體系，力可以表示成勢能函數的導數，F=-?V/?x，V表示的就是勢能函數。

以一維波函數為例，略去求解的過程，可以直接寫出方程的解為

(27)

之前用到的式(13)，就是氫原子薛定諤方程的解。而式(22)和式(23)，是由狄拉克相對論量子力學導出。

2) 電子自旋

量子力學中，電子自旋會賦予電子一個內稟自旋磁矩:

(28)

另外，在量子力學中，薛定諤方程和海森堡的矩陣力學是等價的。也就是說，薛定諤方程中的算符也可以用矩陣算符來代替。而對于電子自旋這樣的雙能級系統而言，這無疑是更方便的處理方式。令式(27)當中的N=2，我們可以用矩陣的算符去描述電子的自旋體系：

(29)

其中，

(30)

(31)

則σz的本征態可以表示成：

(32)

于是↑和↓就分別表示z方向上的上和下。利用式(27)，可以寫出電子自旋的波函數：

(33)

E↑和E↓分別代表H的本征值，對應著ψ↑和ψ↓。

3.4.3 量子力學對于實驗結果的嚴格解釋框架

根據以上知識，對于斯特恩-蓋拉赫實驗進行解釋。

首先，這個實驗當中，哈密頓算符是：

(34)

利用式(28)、式(29)、式(30)，也可以寫成：

(35)

設氫原子進入磁場的時間為T，有：

(36)

由此可以得出：

(37)

再次用式(33)，有：

(38)

上式即離開磁場后的原子的狀態(t≥T)。

將這式與下式比較：

(39)

我們可以得出：

(40)

其中，±意味著電子自旋的兩個指向在z方向采取了上和下兩種狀態。注意其與磁場梯度b正比。也就是說，如果電子自旋取向隨機，進入我們設計的磁場，將會在離開磁場的時候，只具有上下兩種自旋方式，因為自旋的表現χ↑↓與±pz糾纏在一起。由此，斯特恩-蓋拉赫實驗從量子力學得到嚴格解釋。

4 將斯特恩-蓋拉赫實驗引入大學物理的主要困難

文章的源頭，是從一個無限小的載流線圈講起，之后，在用無限小的載流線圈來比擬銀原子的磁矩，到此時，才覺得為了形象地讓同學理解這個實驗，導致了另外的一些風險。這風險就在于試圖用經典物理的思維方式，去理解與經典物理完全不同的量子力學的物理概念。有必要將這個風險告知學生。

第一，這個實驗的解釋，在本質上，根本與經典物理的概念不沾邊(歸因于經典物理和量子力學完全是兩種知識體系)。也即是說：這個實驗只能用量子力學的基本原理去說明。當然這也意味著為了讓學生真正的洞察斯特恩-蓋拉赫實驗的物理本質，離不開量子力學所需要的基本的物理概念和數學工具。第二，因為認知的需要，原子物理教材當中敘述這個實驗，也有用到半經典半量子的敘述方式去講述這個實驗，所以從電子軌道的概念引出電子的軌道角動量，進而引出電子磁矩的概念等做法，一直沿用至今。實際上需要給同學講清楚，這種做法僅僅是為了促進認知和理解，實際上已經偏離了物理本質。費曼說：我們必須用一種抽象的或想象的方式，而不是把它與我們的直接經驗聯系起來的方式去學習量子力學。本文另外一個期望，就是在讓學生明白這個事實的前提下，以大學物理教學內容中的基本物理概念為基礎，盡可能走進氫原子的內部，更深入地理解斯特恩-蓋拉赫實驗，以及以理解這個實驗為手段，了解量子力學的一些基本原理，以引發學生學習量子力學的興趣。

還需要交代清楚疊加態和混合態的問題。假設送入斯特恩-蓋拉赫實驗裝置的是許多個角動量只有上下兩種取向的無限小載流線圈，這與送入斯特恩-蓋拉赫實驗裝置的許多個銀原子，本質的區別在于：許多個角動量只有上下兩種取向的無限小載流線圈，每一個載流線圈在送入實驗裝置之前，其實都有確定的磁矩方向(要么上，要么下)，但是由于其總體數量巨大，在空間上下兩個方向上均有50%的分布，在進入非均勻磁場之后，亦會出現上下分裂的兩束。但是許多個銀原子，與無限小的載流線圈的區別在于，在測量之前，每一個銀原子的價電子的自旋，并不確定。只是向上自旋和向下自旋這兩種態的疊加。而是測量本身，使得銀原子分裂為上下兩束，亦即使得銀原子價電子自旋上下兩種狀態得到了明確的確定。

5 結論

本文緊扣大學物理的基本物理概念，從一個小的載流線圈所具有的磁矩講起，將之放入非均勻磁場，探討其受力和運動。之后引入玻爾-索末菲模型，讓氫原子價電子的軌道角動量和磁矩建立聯系，引入軌道角動量量子化的概念(角動量數值的量子化、軌道大小的量子化、軌道角動量空間取向的量子化)，從半經典半量子的方式，說明角動量量子化會導致磁矩量子化，氫原子將如同一個無限小的載流線圈一樣(只不過空間取向量子化)，在磁場中產生離散的偏轉。然后提出斯特恩-蓋拉赫實驗的實驗背景和實驗原理，在此基礎上，進一步講解經典物理對于斯特恩-蓋拉赫實驗結果的預期、舊的量子力學對實驗結果的解釋，以及量子力學對于實驗結果的最終解釋。在這之后，以解釋斯特恩-蓋拉赫實驗為導向，簡單梳理了大學物理教學內容中量子力學的基本知識點并稍有拓展(主要是電子自旋)。并且指出量子力學和經典力學是完全不同的兩種知識體系，這種將無限小的載流線圈和氫原子的磁矩(實際上是與電子自旋)相比擬的講解方法，純屬形象化的教學所需，著重強調了疊加態和混合態的區別。文章結尾，對于將斯特恩-蓋拉赫實驗引入大學物理存在的困難進行了簡要的提及，以供有興趣的老師進行進一步的追究。