利用數字模擬預測干板全息成像質量的實驗設計

王 卓 張澤華 王 菁

(北京航空航天大學 1 航空科學與工程學院; 2 物理學院 北京 100191)

全息照相作為經典的三維成像技術，已廣泛用于教學和科研中[1-5]，然而其所成像的清晰度(成像質量)受曝光量影響很大，而曝光量又受諸多因素影響，如：激光器功率、曝光時間、擴束鏡到干板光程等[1]，初學者很難自行確定成像清晰的合適條件。

計算全息作為一種數字模擬方法采用計算機編碼生成全息圖，具有噪聲小、重復性高、成本低等優點[6-8]。采用該技術預測傳統干板全息的成像質量無疑是一個不錯的想法．依據采集原理，當采集過程中沒有發生失真時，傳統干板和數字采集兩種方法獲得的衍射再生像的光強分布均與原物光強分布成正比，兩者的清晰度可線性比擬[9，10]。而當采集介質或元件不能準確記錄原物信息時，再生像就出現了差別。傳統干板記錄的是物光和參考光干涉的光強分布，當CCD局部出現“過曝”(超過閾值)/“曝光不足”(噪點影響明顯)時，失真區域會出現在干涉場曝光量較強/較弱的地方；而計算全息中CCD直接采集物光光強，失真區域則為物光曝光量較強/較弱的地方，兩者所對應的區域不同，還原出的衍射再生像也不同。 由于物光光強分布較為復雜，理論上很難通過公式推導獲得兩種模式在失真時得到的再生像清晰度的關系。

本文將提出一種定量預測傳統全息成像質量的實驗方案，對計算全息中的博奇編碼進行改進，設計易于對照的實驗光路，取曝光時間為自變量，探究合適的數據處理方法，力求通過數字模擬很好地預測傳統干板實驗的成像質量。

1 實驗原理

1.1 干板成像原理

根據全息成像基本原理[1]，照射到全息干板上物光和參考光的相干光強分布為

(1)

其中，O(x,y)、R(x,y)分別為物光和參考光復振幅的空間分布。

以參考光為再現光照射沖洗后的干板時，干板的透過率函數與干涉光強成正比，衍射場復振幅空間分布即為

(2)

其中β為比例常數。從等式最右邊第三項中，即可提取出物光的信息。

1.2 數字模擬成像原理

本實驗采用博奇編碼算法[11]生成再現像，具體原理如下。

先用CCD只采集目標物體的像(以硬幣像為例)，CCD結構特性決定了采集到的是離散的物理光場振幅f(x,y)。

對二維離散函數f(x,y)(其中x=0,1,2,…,P-1;y=0,1,2,…,Q-1)進行傅里葉變換，即：

(3)

其中，F(μ,v)為物光振幅頻域信息。將參考光振幅和相位均設為1，物光振幅設為1，干涉場和衍射場復振幅空間分布將變為

其中φ(μ,ν)為物光的頻域相位。濾去直流項，再經過傅里葉逆變換

(6)

圖1 (a) CDD直接采集的物像； (b) 數字模擬的干涉像； (c) 數字模擬的衍射像

即可還原出目標物體的全部信息，如圖1(b)、(c)分別為目標物體的干涉像和衍射再現像(包括共軛像在內)[11-16]。式(3)和式(6)中，空域變量由x和y表示，頻域變量由μ與v表示[12]。

將離散的物理光場進行FFT和博奇編碼處理即可得到同時具有“振幅信息f(x,y)”和“頻率信息ψ(x,y)”的信號。需要指出，頻率信息ψ(x,y)雖然不等于相位信息φ(x,y)，但二者的差別僅在于有無“初相φ0(x,y)”，而“初相”只影響成像的深度，即再現像的立體感，不會對清晰度的評價造成影響，詳見1.3節清晰度評價原理部分。

1.3 清晰度評價原理

一幅圖像是否清晰，反映為空域上圖像的邊界及細節部分是否清晰，因此可以在空域上對圖像灰度進行微分來獲取圖像的邊緣及細節信息。圖像的邊緣是指其周圍像素灰度有階躍變化的那些像素的集合，邊緣點的個數可以直觀地反映出圖像的聚焦程度，因此可以使用邊緣檢測算子[16，17]來計算圖像的邊緣點數，以此作為聚焦的判據。

圖2為9個像素點組成的小單元，其中心紅色像素點的清晰度評價計算公式如下：

(7)

圖2 清晰度計算示例

由于本實驗所有需要評價的圖像分辨率均一致為256×256，所以只需把各個像素點得到的計算值相加，作為評價值就可以反映整幅圖像的清晰度[17，18]。因此邊緣灰度變化越劇烈，反映出圖像的清晰度越高。

2 “數字模擬”類比“傳統干板”實驗設計

為了探究采集失真時兩種模式獲得的衍射再生像的清晰度的關系，我們設計了類比實驗。影響成像清晰度的重要原因之一是曝光量，而影響采集介質或元件曝光量的因素有很多種.考慮到曝光量是光強關于時間的積分[9，10]，且“曝光時間”更便于查詢與實驗，因此固定干板/CCD處的激光光強(功率)，取曝光時間作自變量為例進行探究。

2.1 “干板全息實驗”光路設計

如圖3所示，與傳統的透射式干板全息實驗光路布置類似，利用快門控制曝光時間，在全息防震實驗臺上使用相干性良好的He-Ne激光器作為激光源，出射的激光被M1反射后經過分束鏡(記透射光為物光、反射光為參考光)，其中物光再次被M2反射，經過一焦距為25mm的擴束鏡(為觀察簡潔圖中未標出)后，被物體(一元硬幣)反射在RSP-I型紅敏光致聚合物全息干板[1,18]上；而參考光則經分束鏡反射后再被M3反射，經過焦距同樣為25mm的擴束鏡(為觀察簡潔圖中未標出)擴束，照射到全息干板上。與傳統透射式干板全息實驗不同，本文在干板后方增設一CCD以便收集成像(像素尺寸5.2μm×5.2μm，分辨率1280×1024，實際使用分辨率256×256)，受限于CCD采集圖像的面積，需要匯聚光線，因此在CCD與干板連線的延長導軌上布置凸透鏡組合(焦距均為50mm)和CCD，并適當調整二者距離，使得顯示終端可以接收到物體清晰的像。

圖3 物光與參考光在全息干板上發生干涉(虛線激光表示CCD處于未采集狀態)

為實現精確化與定量化，本文通過導軌調整物光與參考光光程接近(從分束鏡至干板光程均為120cm，其中擴束鏡至干板光程為15cm)、照射干板的物光與參考光夾角為30°、激光器功率為20mW的前提下，使干板上物光和參考光的光斑重合(直徑約2cm)。為獲得較適宜的物光強度，選擇一元硬幣作為被采集物體，利用了其反射光方向性好、光束非明顯發散的特點。通過快門控制干板曝光時間，完成顯、定影后將干板放回原處，如圖4所示，拿走原物并以遮光板代之(虛線表示原有硬幣位置)。僅在參考光的照射下，根據全息干板的衍射特性，無需調整光路便可在CCD中收集到清晰的衍射再生像。根據實際需要控制不同曝光時間重復前述步驟即可得到多組衍射再生像。

圖4 CCD收集僅參考光照射下的衍射再生像(虛線物體表示硬幣被遮光板替代)

2.2 “數字模擬實驗”光路設計

如圖5所示，在“干板全息實驗”光路的基礎上，只需將參考光遮住(圖中虛線光路)，并取走全息干板，即為“數字模擬實驗”光路。很好地保證了與“干板全息實驗”光路的一致性，避免了由于調整、改變光學元件及其位置引入的實驗誤差，為實驗結論的可靠性提供了保障。在顯示終端可以設置CCD的曝光時間，根據需要可以高效、快速地獲得大量待處理的原始物像[20，21]。

數字模擬實驗的特點在于只收集物光而不需收集參考光，再利用Matlab進行FFT與“博奇編碼”的運算處理即可得到模擬的干涉圖和衍射再生像(如圖1(b)、(c))。

圖5 數字模擬實驗光路(只收集物像)(圖中虛線表示被拿走/遮擋)

3 數據結果分析

3.1 數據處理

在干板全息實驗中，對不同曝光時間條件下得到的衍射再生像進行清晰度評價，從而得到一系列對應于傳統干板曝光時間的、量化的干板清晰度評價值；在數字模擬實驗中，對CCD采集軟件設置的不同曝光時間條件下模擬的衍射再生像進行清晰度評價，從而得到一系列對應于數字曝光時間的、量化的清晰度評價值。

圖6 實驗曲線

針對傳統干板實驗和數字模擬實驗分別繪制得到兩條“清晰度-曝光時間”曲線，如圖6(a)、(b)所示?？梢钥闯鰞蓷l曲線變化趨勢相似，都存在一個峰值，峰值附近可取最佳曝光時間，兩側清晰度較低的區域，即為“過曝”或“曝光不足”[19,22]。由于兩條曲線較復雜，難以直接用單一數學方程描述，而將兩條曲線以峰值點為界分割為左右兩部分，在保證最高點完全重合的前提下，分別沿x、y軸方向進行平移和壓縮變換，分段進行擬合，效果較好。擬合效果如圖7(a)、(b)所示?？梢钥吹阶?、右兩組曲線能夠很好地擬合在一起，擬合的相關指數分別接近0.9999和0.999。

圖7 擬合效果

左段中兩條曲線表達式分別為

右段中兩條曲線表達式分別為

其中，y代表清晰度(縱坐標);x代表曝光時間(橫坐標)。

在擬合圖像中并未將雙橫、縱坐標全部標出，而是取橫坐標為干板實驗的曝光時間，縱坐標為數字實驗的清晰度，此舉將更方便本實驗結果的應用：即給定光路參數的前提下，讀者可根據數字模擬的衍射再生效果圖選擇自己滿意的一系列圖片，每張圖都對應一個清晰度評價值——即可給出清晰度的最低標準，進而根據圖表(或根據第4節的查詢軟件)找到符合要求的曝光時間范圍，取此范圍的下限(容許清晰度的最短曝光時間)作為制作全息干板的指導曝光時間和學生實驗的參考時間，也可以為全息商業化生產節省時間(以本文實驗條件為例，相比保守的參考時間[18]制作單塊干板可節省至少60s曝光時間)，從而大大提高效率以及實驗成功率。特別指出，相同條件下，由于干板清晰度高于數字清晰度，因此最后實際獲得的產品比預期會更加清晰，盡可能避免由于系統或隨機誤差導致成像結果不合預期的情況。

3.2 數據預測

首先對3.1節中提到“分段擬合”過程中的“平移”和“壓縮”變換進行進一步闡述：對于某一確定曲線方程，若僅進行平移和壓縮變換，可由式(12)～式(15)描述：

即任何曲線的平移、壓縮變換都可以由4個變量a、b、c、d唯一刻畫.對于本實驗，考慮到由最高點截斷得到的左右曲線，則整個擬合過程將由8個擬合參數a1～d1和a2～d2唯一確定。

多次改變實驗條件(如利用導軌控制擴束鏡到干板光程、激光器輸出功率等)，重復前述實驗過程，可以得到對應離散實驗條件下的擬合參數。需要指出，對于任意指定實驗條件下的擬合參數，可以由與其實驗條件鄰近的兩組實驗的參數進行線性插值得到，再結合對應數字模擬的曲線結果即可反演預測任意指定條件下的傳統干板“清晰度-曝光時間”曲線.由于數字模擬實驗速度快、自動化程度高，因此可以預先通過大量實驗將數字模擬結果儲存在數據庫中，而由于傳統干板實驗耗時耗力，因此只存儲少量實驗條件下的數據(需要實驗驗證每兩組實驗之間恰當的條件差別，如表1所示，以擴束鏡到干板光程為例驗證預測曲線與真實干板曲線的相關指數)，其余任一條件下的曲線將由數字模擬實驗曲線結合插值得到的擬合參數進行反演預測。

表1 線性插值間隔合適性驗證

3.3 不確定度分析

根據清晰度評價函數的原理，可在一幅黑色圖片中加入一些環境因素導致的噪點，用清晰度評價函數對其處理，從而得到在此種干擾條件下清晰度的不確定度。

因為干板實驗所需的曝光時間較長，而激光器功率又在一個固定值以較小的幅度波動，所以可以認為其相對時均值的正負脈動偏差可以相互抵消.因此激光器功率波動主要影響的是曝光時間很短的數字模擬實驗，即采集數字模擬方法所用物像的過程和采集干板衍射再生像的過程。

3.3.1 干板全息實驗的不確定度分析

實驗表明，矩陣內諸如0#0#0#交錯分布時，由評價函數得到的波動值最大。所以根據原圖像大小建立一個與實驗采集分辨率相同的矩陣(256×256)，取灰度中間值0.5作為浮動基準，假設因功率波動引起的灰度值變化范圍為±0.1，矩陣內為如圖8排列，通過公式(7)進行清晰度評價得到的不確定度經修約后為9×103。

考慮到實際情況中出現這樣密集、規律分布的可能性很小，所以真實條件下的變化范圍要小得多，例如若按圖9分布，則通過式(7)進行清晰度評價得到的不確定度經修約后僅為3×103。

常用的清晰度指標數量級都在106以上，即不確定度小于實驗值的1%，故干板成像判斷清晰度的過程中的誤差是可以接受的。

3.3.2 數字模擬實驗的不確定度分析

通過與上述相同的方法可以計算數字模擬方法的不確定度。通過圖8所示方法,計算得到的不確定度經修約后為104；通過圖9方法，所得不確定度經修約后為5×103。

經大量實驗數據驗證，數字模擬清晰度的不確定度波動在103到104之間，而實驗數據分析時所取的清晰度有效結果均大于106，因此不確定度為實驗值的1%以下，證明數字模擬及清晰度評價過程是可靠的。

圖8 經驗證的最大波動

圖9 實際波動情況舉例

4 軟件化查詢

在實際應用過程中，使用圖7(a)、(b)所述的圖表進行人工反演預測過于繁瑣，因此本文將數據集成在一款軟件中，可以輸入目標實驗參數直接查詢：如圖10所示，選擇所使用的干板類型、激光波長、擴束鏡到干板光程、激光器功率及照射到干板的物光與參考光夾角，單擊“確定”即可直接得到預測的傳統干板清晰度曲線?？梢赃M一步定量化分析反演預測曲線：單擊“分析曲線”可見圖11界面，可以輸入曝光時間，得到對應的清晰度值；也可以輸入預期清晰度，獲得能實現該效果的最短曝光時間，從而大大簡化了使用者的操作，提高了查詢的速度和精確度。

圖10 軟件查詢界面

圖11 定量化“分析曲線”功能

5 結論

本文針對再現像失真時推導成像清晰度的理論局限問題，提出了一種類比預測的方法，即將干板實驗光路和計算全息術中的部分關鍵技術(快速傅里葉變換算法、博奇編碼法)結合，類比預測傳統干板全息的成像質量。實驗中保持傳統干板和數字模擬實驗采集光路的一致性，對得到的具有雙橫、縱坐標的“清晰度-曝光時間”曲線進行分段擬合，其擬合相關指數左半段接近0.9999、右半段接近0.999，提出了“擬合參數”，并基于插值得到的擬合參數提出能夠預測任意實驗條件下傳統干板的“清晰度-曝光時間”曲線的方法。進而提出一款查詢軟件，集成現有實驗數據，實現快速預測以及定量化查詢，避免了人眼讀數誤差，提高了查詢的精確度和效率。本文旨在給出通用的研究方法，對于未提及實驗條件的探究方法類似，可以根據實際需要完善數據庫。該方法可對實驗教學和干板批量化生產提供指導。