雨滴下落的形狀和收尾速度

高德文 趙 昶

(北京石油化工學院數理系，北京 102617)

關于雨滴收尾速度的計算，文獻[1]給出了在大雷諾數情況下，雨滴的收尾速度；文獻[2]給出了雨滴下落過程中質量變化時的收尾速度。兩個文獻在討論雨滴下落時，都假設雨滴呈球型，并且設定阻力系數為常數。

雨滴在重力、浮力和阻力的共同作用下，其運動方程為

(1)

雨滴的收尾速度為

(2)

式中，ρ=1.00×103kg·m-3；ρ0=1.293kg·m-3，η=17.1×10-6kg·m-1；Cd=0.4。

筆者按照式(2)對球模型雨滴進行了收尾速度計算，計算結果如表1所示，計算結果與實驗結果對比如圖1所示。

由圖1可以看出，由文獻[1]和文獻[2]得出的結果與實驗結果有較大差別。筆者認為，問題出現的原因包括兩個方面：一是空氣阻力系數選取問題；二是雨滴模型問題。

1 本文解決辦法

由文獻[3，4]，本文采取空氣阻力系數的Park公式和Wallis公式，并嘗試用球型、近似橢球模型(以下簡稱PP模型)以及漢堡模型(即半球形)進行計算對比，找出最佳雨滴模型，并給出雨滴收尾速度的計算方法。

1.1 預備知識

1) 橢球知識[5]

如圖2所示，設橢球x、y、z軸的長度分別為a、b、c；

(2)r表示同樣體積的球形半徑(以下稱等效半徑)，由橢球PP[4]模型得:

(3)

2) 雷諾數

(4)

3) 常見的空氣阻力系數公式[6]：

Park公式：

表1 球模型，Cd=0.4時雨滴收尾速度計算值與實驗結果[8]對比表

圖1 雨滴球模型C=0.4時收尾速度與實驗結果對比

圖2 旋轉橢球(設a=b)

Wallis公式：

1.2 雨滴模型

由文獻[7]知，當雨滴等效半徑r≤0.05mm：雨滴呈球型下落，空氣阻力遵守斯托克斯公式，此部分內容本文不再討論，本文將討論雨滴等效半徑在0.05mm

(9)

1) 球模型

由圖1可知，當Cd=0.4時計算結果誤差較大，所以球模型的空氣阻力系數本文采取Park公式進行計算。

(1) 當Re≤1000時，將式(4)、式(5)代入式(9)得：

(10)

式中，ρ=1.00×103kg·m-3，ρ0=1.293kg·m-3，g=9.8m·s-2，η=17.1×10-6kg·m-1。

當Re≤1000，解得：r≤0.982849mm，取r=0.15,0.20,0.25,0.30,0.35,0.40,0.45,0.50,0.60,0.70,0.80,0.90mm，將r值(SI制)代入式(10)計算雷諾數Re，進而由式(11)計算雨滴收尾速度v，計算結果如表2所示。

(11)

(2) 當Re>1000時，將式(4)、式(6)代入式(9)得：

(12)

當Re>1000，解得：r>0.9826mm

取r=1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9,2.0, 1.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9mm。

將r(SI制)值代入式(12)計算雷諾數Re，進而由式(11)雷諾數公式計算收尾速度v，計算結果如表2所示。

2) 橢球PP模型[4]

空氣阻力系數采取Park公式和Wallis公式進行計算，對于雨滴的PP模型，由體積相等，即：

將式(3)代入上式，得

(13)

(1) 當Re≤1000時，Park公式和Wallis公式的空氣阻力系數相同，將式(4)、式(5)代入 式(9)得：

當Re≤1000，解得r≤0.982849mm，取r=0.15,0.20,0.25,0.30,0.35,0.40,0.45,0.50, 0.60,0.70,0.80,0.90mm，將r值(SI制)代入 式(10)計算雷諾數Re，進而由式(13)、式(14)計算雨滴收尾速度v，計算結果如表2所示。

(14)

(2) 當Re>1000時,

Park公式：將式(4)、式(6)代入式(9)得：

此式與式(12)相同.

當Re>1000，解得：r>0.9826mm，取r=1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0, 1.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9mm。

將r值(SI制)代入式(12)計算雷諾數Re，進而由式(13)、式(14)計算收尾速度v，計算結果如表2所示。

Wallis公式：將式(8)代入式(9)得：

計算結果如表2所示。

雨滴的球模型、PP模型計算結果與實驗結果[8]對比如表2及圖3所示。

由圖3可以看出，當雨滴等效半徑r<0.8mm時，球模型、PP模型(Park公式)計算結果與實驗結果都比較吻合，當雨滴等效半徑r>0.8mm開始與實驗結果不吻合；而對于PP模型(Wallis公式)當雨滴等效半徑r<2.2mm，計算結果與實驗結果吻合較好，而當雨滴等效半徑r>2.2mm開始與實驗結果不吻合。

那么，當雨滴等效半徑r>2.2mm時，雨滴呈什么形狀下落呢？收尾速度又該如何計算呢？

3) 漢堡模型

參考文獻[3]，我們假設雨滴等效半徑r>2.2mm時以漢堡模型(即半球模型)下落，如圖4所示，由體積相等，即：

得

(15)

由

采用Wallis公式：Cd=0.44

表2 雨滴下落時收尾速度的計算值與實驗結果[8]對比

圖3 球模型、PP模型與實驗數據對比圖

圖4 漢堡模型

計算結果見表3，與實驗結果對比如圖5所示。

由圖5可見，空氣阻力系數采用Wallis公式的漢堡模型，雨滴等效半徑r越大，收尾速度v越趨近于實驗結果，當r=2.9mm時，收尾速度v的計算值與實驗結果基本吻合。

這說明，當雨滴等效半徑r=2.2～3.0mm時，雨滴模型逐漸由PP模型向漢堡模型過渡，模型下表面逐漸趨于平坦，同時半長軸A逐漸變長，如圖6所示。在雨滴等效半徑r=3.0mm附近，雨滴收尾速度的計算值與實驗值吻合得比較好，此結果與文獻[3]相一致。

由雨滴收尾速度的實驗值(見表2)，空氣阻力系數取Cd=0.44(Wallis公式)反算出雨滴由PP模型向漢堡模型過渡時的半長軸A，A與雨滴等效半徑r的變化關系如表4及圖7所示。

半長軸長度A與雨滴等效半徑r關系為

A=1.28613+1.69617r

(16)

這樣，對等效半徑r>2.2mm的雨滴，通過式(16)求出A值，并代入下式：

表3 漢堡模型Re>1000時，雨滴收尾速度(Wallis公式：Cd=0.44)

表4 PP模型向漢堡模型過渡時半長軸長度A與雨滴等效半徑r關系

圖5 漢堡模型Wallis公式收尾速度計算結果以及實驗結果與雨滴等效半徑r的關系

圖6 雨滴由PP模型向漢堡模型過渡

圖7 PP模型向漢堡模型過渡時半長軸長度與雨滴等效半徑r關系曲線

式中阻力系數采用Wallis公式：Cd=0.44

整理得：

(17)

由式(17)即可以求出雨滴由PP模型向漢堡模型過渡時的收尾速度。

2 結語

綜上所述，可以得出結論：當雨滴等效半徑r<0.1mm時，雨滴呈球型下落；當雨滴等效半徑r=0.15～2.2mm區間時，雨滴呈近似橢球模型(PP模型)下落，并且空氣阻力系數遵循Wallis公式；當雨滴等效半徑在r=2.2～3.0mm區間時，雨滴模型由PP模型向漢堡模型過渡，此時可以采用通過實驗數據擬合的關系式求出雨滴的收尾速度。