橢圓曲率半徑的四個公式及兩種力學推理方法

邵 云

(南京曉莊學院電子工程學院，江蘇 南京 211171)

赤峰學院李景琴老師曾在文獻[1,2]中分別利用：(1)橢圓規尺[3]上任一點的運動，(2)光滑水平面上內含豎直光滑圓形軌道的滑塊內質點的下滑運動，(3)相互垂直的兩簡諧運動的合成，來構造不同情形的橢圓運動，計算出各自的速度矢量和加速度矢量a，分解出法向加速度分量an，進而利用公式an=v2/ρ推算出橢圓的曲率半徑ρ。鄂爾多斯第一中學的宋輝武老師則是通過構造勻速率橢圓運動來推算橢圓的曲率半徑[4]，并將此勻速率構造方案推廣至其他一些曲線曲率半徑的推算[5]?；幢钡谝恢袑W的王化銀老師將以上運動學推理方法簡化成一個統一的矢量計算公式：省去了矢量投影的麻煩，使得推算過程簡單了許多。諸位老師采用的運動學推理思路基本相同，ρ的結果均為直角坐標形式，因此顯得思路不夠開闊。本文首先根據高等數學中二維曲線曲率半徑的計算公式，逐步推得橢圓曲率半徑的兩種直角坐標和兩種極坐標形式的公式；然后分別應用力學中勻速率圓周運動投影的運動學方法和行星沿橢圓軌道運動時的動力學結論——能量守恒定律與角動量守恒定律，結合法向加速度分量公式，分別推導出橢圓直角坐標和極坐標形式的曲率半徑。

1 應用曲率半徑的數學公式推導橢圓的曲率半徑

在高等數學中，二維曲線y=y(x)的曲率半徑公式是

(1)

(2)

圖1 正橢圓及其準線

其中a、b分別為橢圓的半長軸、半短軸，圖中c為半焦距，下同。將式(2)兩邊對變量x求導，經整理可得

(3)

將式(3)兩邊對變量x求導，并將式(3)代入可得

(4)

將橢圓方程式(2)代入即得

(5)

于是，將式(3)、式(5)代入式(1)即得該正橢圓的曲率半徑：

(6)

若將橢圓方程式(2)代入式(6)，消去y后又可得

(7)

這時ρ顯示為x的一元函數。式(7)中的e=c/a是橢圓的偏心率。

參見圖1，由準線知識知，橢圓上任一點距離右焦點的距離

(8)

將式(8)代入式(7)消去x后可得

(9)

這便是極坐標形式的橢圓曲率半徑公式，ρ由極坐標r唯一地確定。

此外，參見圖1，由于2a-r=r′，所以式(9)又可改寫成

(10)

這即為橢圓曲率半徑的最簡公式，它兼具對稱性，因此最方便記憶。

式(6)、式(7)、式(9)、式(10)是橢圓曲率半徑的四個公式，其中式(6)最為常見，式(7)、式(9)最方便使用，式(10)則最便于記憶。

2 應用勻速率圓周運動投影的方法求橢圓的曲率半徑

如圖2、圖3所示，將圖2中斜面上的勻速率圓周運動在水平面內投影，即得一變速率橢圓運動，見圖3。斜面的傾角θ滿足cosθ=b/a。

圖2 斜面上的勻速率圓周運動

圖3 水平面內的投影橢圓運動

在圖2的坐標系O′-x′y′中，運動質點P的位置矢量r′可表示成

r′=a(-cosφi′+sinφj′)

(11)

其中i′、j′分別是兩坐標軸正方向上的單位矢量。質點P的速度矢量′和加速度(即法向加速度)矢量a′分別可表示成

設圖3中坐標系O-xy的單位矢量分別為i、j。分析可知：斜面上的單位矢量i′在水平面內的投影就是i，而j′在水平面內的投影則是cosθj。于是斜面上質點P的r′、′和a′在水平面內的投影分別為

這些便是質點P在水平面內的投影點Q的位矢、速度、加速度的矢量表達式，見圖3。雖然Q并非質點，但其運動學方程式(14)～式(16)具有與式(11)～式(13)相同的意義，只是對應量的夾角有所變化，如圖3中所示。

由式(15)可得

(17)

從圖3可見，投影點Q的法向加速度分量(圖中未畫出)為

an=|a|sinδ

(18)

其中將加速度大小記作|a|是為了與橢圓半長軸a區別。利用矢量矢積的知識知

(19)

將式(15)、式(16)代入式(19)，并將結果代入式(18)后可得

(20)

由式(17)和式(20)即得圖3中Q點處的曲率半徑：

(21)

(6)

綜上可見，這里采用勻速率圓周運動的速度、加速度投影的方法來計算橢圓的曲率半徑是可行的。與其他文獻中情形類似，投影點Q的速度、加速度能被計算出來是必要的前提。此處方法的優點在于思路簡單，圖像清晰，便于掌握和記憶。

3 應用行星的橢圓軌道運動知識求橢圓的曲率半徑

3.1 行星的橢圓軌道運動相關知識

如圖4所示，設太陽位于橢圓軌道的右焦點F2處，質量為M；設行星P的質量為m，其相對于力心F2(即太陽)的位置矢量r、速度及相關夾角如圖4所示；設行星在近日點的速率為v1，遠日點的速率為v2，則根據能量守恒定律和對力心F2的角動量守恒定律有

圖4 行星的橢圓軌道運動

其中E、J分別為行星橢圓軌道運動的機械能、角動量。聯立式(22)和式(23)可解得

進而求得

對于圖4中任意位置的行星，同樣有能量守恒定律和角動量守恒定律：

成立，其中vsinδ是行星相對于力心F2(即太陽)的橫向速度分量大小。將式(26)、式(27)分別代入式(28)、式(29)，經計算可得

3.2 行星橢圓軌道曲率半徑的計算

(32)

鑒于圖4中δ+ψ=90°，因此有

(33)

聯立式(30)、式(31)和式(33)，并應用法向加速度分量公式，即得橢圓軌道的曲率半徑：

(34)

這與前文用數學公式算得的式(9)一致。

需要指出的是，本節采用的基本是動力學的推理思路，它與第2節的運動學推理思路有所區別。另外，需要說明的是，雖然行星橢圓軌道的曲率半徑僅通過以上的初等數學就能推算出來，但是行星橢圓軌道本身的論證卻依賴于復雜的微積分運算[3]。

4 力學中曲率半徑的由來及其幾何與代數表達式的等價性

鑒于質點在任意時刻的三維瞬間運動總可被看作此刻密切平面(注：所謂“密切平面”是指三維曲線上某位置處無限接近的相鄰的3個點所確定的極限平面。)內的一小段二維圓弧運動，且加速度a僅在此密切平面內有分量[3]，因此一般的力學教科書都是通過圖5對作二維曲線運動的質點P的加速度進行推理，然后再將結果推廣至三維曲線運動。圖5中已建立了平面直角坐標系O-xy、平面自然坐標系et-en及自然坐標軸O′s，同時也標出了質點P的平面自然坐標s和θ，等效短圓弧運動的弧長ds和圓心角dθ，以及切向單位矢量et的無窮小增量det。

圖5 質點平面曲線運動的微分析圖

根據力學知識，質點P的加速度為

(35)

由圖5可見，det的方向總是沿著法向單位矢量en的方向，且有

det=|dθ|·en

(36)

這里|dθ|是較嚴格的寫法。將式(36)代入式(35)，稍加變換即得質點在平面(或空間)自然坐標系中的加速度：

(37)

由圖5又可見，

對式(39)兩邊微分得

sec2θdθ=dy′=y″dx

(40)

將式(39)代入式(40)得

(41)

(1)

由此可見，力學中ρ的幾何定義式與高等數學中ρ的代數表達式是等價的。

5 結語

應用力學知識推導二維(或三維)曲線的曲率半徑，向來都是通過法向加速度分量公式an=v2/ρ進行的，只要能夠將曲線上某一(或任一)位置質點(或某種數學點)的運動速度、法向加速度分量an求出來，即可通過該公式求出某點(或任一點)處的曲率半徑。該力學方法對曲線的形狀、曲線上質點(或幾何點)的運動狀況均沒有特殊的要求。

從上文第4節可見，法向加速度分量公式中所引入的曲率半徑正是數學意義上的曲率半徑，換言之，曲率半徑這個數學量已經有機地融入到牛頓力學的體系當中。我們既可以借助于質點運動學的知識求出軌跡的曲率半徑(屬多數情況，如文獻[1,2,4-6]及本文第2節等)，又可以借助于質點動力學的某些實際結論求出之(如本文第3節等)。

最后，需要說明的是，牛頓力學是建立在微積分和矢量幾何基礎上的一門物理學科，利用它推理一些數學公式或結論，本質上是利用牛頓力學內在的物理邏輯和幾何邏輯去推證另一些數學邏輯或結論，這正體現了數理體系內在的一致性和自洽性。