重視解題反思 提高應(yīng)對(duì)能力

安徽淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (235000) 謝舒婷 張 昆

高考數(shù)學(xué)作為高考中的重點(diǎn)科目之一，在每一年的“高考季”都會(huì)引起社會(huì)各界的廣泛關(guān)注，這與數(shù)學(xué)在人類社會(huì)中的地位是分不開的.數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用.但由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的抽象性，數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語言的特殊性都決定了思維正處于發(fā)展階段的中學(xué)生不可能一次性地直接把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，必須要經(jīng)過多次反復(fù)探究、深入思考、自我調(diào)整，即堅(jiān)持反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才可能洞察數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征.[1]那么，如何在解題學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中提高自己獨(dú)立解題能力，從而應(yīng)對(duì)新的問題呢？

一、反思解題活動(dòng)中涉及的知識(shí)

就大多數(shù)學(xué)生而言，對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，不是在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中就能完成的，每一次數(shù)學(xué)活動(dòng)都可能提供對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象提高認(rèn)識(shí)水平的機(jī)會(huì).特別是，雖然同一數(shù)學(xué)對(duì)象在不同的情境下表現(xiàn)出的非本質(zhì)特征不盡相同，但是其本質(zhì)特征確實(shí)不變的.經(jīng)過多次內(nèi)容類似的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，對(duì)于已得到的某些結(jié)論的正確性會(huì)更加的自信，這種自信得益于在解題活動(dòng)中得到的“實(shí)驗(yàn)性證據(jù)”.換句話說，在幾次遇到相似的題目，通過對(duì)解題過程的反思，學(xué)生也許會(huì)察覺出潛藏在其中的一些普遍的方法.下面來看兩道高考數(shù)學(xué)中的函數(shù)壓軸題.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：若a<5，則對(duì)任意x1，x2∈(0,

考題分析：上述兩道題目中，(1)均是討論函數(shù)單調(diào)性問題；(2)均是以中值定理為背景，雖然題目不是完全相同，但確實(shí)是屬于同一類經(jīng)典題型的展現(xiàn).反思整個(gè)解答過程，并聯(lián)系以往解決類似問題的經(jīng)驗(yàn)，可以總結(jié)出解答(1)類問題的四步驟：

①在求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，判斷導(dǎo)函數(shù)的類型；②判斷此導(dǎo)函數(shù)方程根的存在性；③如果導(dǎo)函數(shù)方程的根存在且有兩個(gè)，則判斷兩根的大小關(guān)系；④觀察定義中是否涉及到區(qū)間端點(diǎn)，則判斷根與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系.

兩道題目的(2)問，在解題時(shí)均是對(duì)目標(biāo)等式進(jìn)行移項(xiàng)、通分、構(gòu)造出新函數(shù)；再關(guān)注新函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)遞減)，最后利用(1)中參變量的取值范圍就可以快速破解.

函數(shù)的多種性質(zhì)中，單調(diào)性是其最重要的性質(zhì)之一，高考的壓軸題也常常是以考察函數(shù)單調(diào)性為中心.在其他的高考函數(shù)壓軸題上多是以考察函數(shù)性質(zhì)為基點(diǎn)，再為其加上一些美麗的“包裝”，無論是極值點(diǎn)偏移問題、雙變量問題或雙零點(diǎn)問題，其方法都是相通相似的.

在解答過例1再解答例2時(shí)，會(huì)自然的想到“這里有一道題目和你的題目有關(guān)并且以前解過”，應(yīng)用某道之前解過的題目的意圖會(huì)影響到對(duì)新題目的考慮，因此會(huì)試圖將新舊兩道題目聯(lián)系起來，根據(jù)舊題目中某些重要的因素為新題目引入類似的因素.比如在尋找例2(2)問的解題思路時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)完成去分母，移項(xiàng)后得到了“f(x1)+x1>f(x2)+x2”，此時(shí)根據(jù)對(duì)例1中知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用的反思，而想到接下來依然可以通過構(gòu)造新函數(shù)，將題目轉(zhuǎn)化為判斷新函數(shù)單調(diào)性的問題.這時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)“g(x)=f(x)+x”的想法自然而然的就會(huì)迸發(fā)出來.因此，數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的基礎(chǔ)，而解題過程也正是展示知識(shí)之間聯(lián)系的有效途徑，反思解題中所用知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，有助于加深對(duì)知識(shí)間關(guān)系和聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，使頭腦中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)向橫縱向展開，知識(shí)結(jié)構(gòu)得到擴(kuò)充，以此提高解題活動(dòng)中的應(yīng)對(duì)能力.

二、反思解題活動(dòng)中對(duì)題意的理解過程

就學(xué)生的解題活動(dòng)而言，“理解題意”無疑是首先要學(xué)習(xí)的.很多學(xué)生找不到解題途徑的根本原因，正是”理解題意“這一環(huán)節(jié)存在問題.信息論觀點(diǎn)提出理解題意就是從問題的情境中“如何獲取信息”和“如何加工信息”，因此要求學(xué)生對(duì)自己理解題意的過程進(jìn)行反思，實(shí)際就是要求他們對(duì)自己“獲取信息”和“加工信息”的過程進(jìn)行思考.

例3 (2018全國(guó)Ⅰ卷20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率為p(0

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(ⅰ)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值作為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

(1-p)17(1-10p).令f′(p)=0，得p=0.1.當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí)，f′(p)>0；當(dāng)p∈(0.1,1)，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1.

(2)由(1)知，p=0.1.

(ⅰ)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ⅱ)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于EX>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

考題分析：首先，(1)問解題的關(guān)鍵點(diǎn)就在于是否能清晰的理解題意所述內(nèi)容，判斷出其為二項(xiàng)分布還是超幾何分布.通過對(duì)題意分析可知，本題為二項(xiàng)分布，接著便可以根據(jù)二項(xiàng)分布的特點(diǎn)列出關(guān)于p的函數(shù)式.其實(shí)概率統(tǒng)計(jì)類型題目與“二三四”是分不開的：“二”即兩大概型：古典概型、幾何概型；“三”即三大分布：二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布；“四”即四個(gè)圖表：頻率分布直方圖、散點(diǎn)圖、莖葉圖、列聯(lián)表.用這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)概括出的結(jié)論構(gòu)成了概率統(tǒng)計(jì)的核心骨架.

其次，此題的概率統(tǒng)計(jì)還同導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，當(dāng)涉及“何時(shí)取得最大值”，自然想到要對(duì)關(guān)于p的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，其實(shí)(1)的本質(zhì)也是對(duì)極大似然概率思想的考察.最后，(2)的問法相對(duì)比來說也較為傳統(tǒng)，與2016年全國(guó)Ⅰ卷19題(3)中“判斷在哪一點(diǎn)處期望值最優(yōu)”思想如出一轍.

反思理解題意的過程，一般從熟悉題目到深入理解題目，在這兩個(gè)環(huán)節(jié)中都應(yīng)抓住以下幾個(gè)關(guān)鍵問題：

(1)“我應(yīng)該從哪里開始？”當(dāng)出現(xiàn)間隔一段時(shí)間不去看題目都不會(huì)忘掉它時(shí)，便說明對(duì)題目的敘述已經(jīng)很清楚了，并能在頭腦中留下深刻的印象；

(2)“我能做什么？”將題目的主要部分分離出來.“證明題”中尋找前提和結(jié)論，“求解題”中則尋找未知量、已知量和條件，依次對(duì)它們進(jìn)行考慮，并以不同的方式組合起來加以考慮，把每個(gè)細(xì)節(jié)同其他一些細(xì)節(jié)以及每個(gè)問題同整個(gè)題目聯(lián)系起來；

(3)“這樣做我能得到什么？”此處可能會(huì)產(chǎn)生一個(gè)可以直接解答的念頭，但是也可能需要產(chǎn)生更多有用的念頭，在這些念頭中有些可能會(huì)將思路引入歧途，但是這些念頭無論是次要的、模糊的，還是明確的，它們都可能使你對(duì)題目的概念有一個(gè)更完整、更有條理、更和諧或更平衡的看法.

因此尤其要對(duì)那些有過反復(fù)曲折過程的問題，進(jìn)行反思.通過這樣的反思，學(xué)會(huì)在理解題意方面尋找規(guī)律，積累更多的經(jīng)驗(yàn).

三、結(jié)語

“沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.”[2]每一次數(shù)學(xué)活動(dòng)都可能提供對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象提高認(rèn)識(shí)水平的機(jī)會(huì)，通過對(duì)每一次數(shù)學(xué)解題活動(dòng)的反思，將認(rèn)識(shí)“活”起來，使其成為能夠遷移的認(rèn)識(shí)，能在新的問題情境下加以運(yùn)用的認(rèn)識(shí)，這才是真正有用的認(rèn)識(shí).