二次函數中與動點相關的最值問題

王樹寶

摘要：初中函數學習時，動點相關問題在二次函數中是學生大多感覺較為困難的問題，怎樣按照題目給出的信息，根據變化的動點特點，找到對問題進行解決的關鍵，達到化繁為簡，獲得問題巧妙的解決辦法.本文針對初中二次函數中動點相關最大值問題進行分析探討，給出實際案例進行說明，剖析對常見困難問題的分析思路，找出巧妙解決的關鍵所在，旨在為大家起到事半功倍觸類旁通的作用。

關鍵詞：初中；二次函數；動點；最值問題；分析

引言

二次函數含有字母系數的最值求解，一般遇常遇到的題目中函數求最值的系數是常數，但往往實際中考選題時會出現字線為系數的問題。需要在解答時進行討論系數的取值問題，因為類似的題目頗有難度較為復雜，常會將很多學生在試卷中因此丟失。其實對這種題目基本的解決思路，可以將系數當作常數來思考，因為常數的二次函數是學生一般都較為熟悉的題型，再給合在自變量變化范圍內頂點的不同變化位置，展開對函數分類的討論，得出各種不同情況條件下的題目結論。

二次函數區間范圍內最值的求解

初中數學函數學習時，二次函數最值在區間范圍內類型的問題，在學生中普在普遍的難度，學生除了要對二次函數的性質熟練地掌握，同時函數解題時的應用技巧也需要具備。通常來說，對于一個二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當x=-- 這種情況下的解題過程比較簡單，很容易求得它的最值為f（-- ）。而如果x的取值范圍被限定了，當x=[a，b]時，求解最值的方法就顯得十分的困難。基于此，必須要針對性的分情況進行討論，求解時要根據二次函數的性質和提供的圖象來分析。

1.定軸定區間

函數的區間和對稱軸均固定是指的為定軸定區間，求解種類題目時較為簡單，一般結合函數圖象分析就能判斷最小或是最大值。

例1：求函數y=x2-2x-3在區間[-2，2]上的最大值.

解析：二次函數的最值在閉區間上，也許會在閉區間的端點上出現，也可能在函數的頂點上出現.此二次函數的開口向上，有可能在兩個頂點上或兩個端點均取得.按照函數對稱軸或是區間范圍可以該作出函數的草圖，進行對草圖的觀察或獲得最小值和最大值的位置.對稱軸為x=1是原方程式提供的信息，通過草圖的觀察分析出應在x=1處取得最小值，即ymin=-4；而在x=-2處取得最大值，即ymax=5。.

2.定軸動區間

可以確定函數的對稱軸是為定軸動區間，但其不確定的是閉區間，有變量區間內的函數存在.對稱軸之間和函數的區間的相對位置關系是這類問題主要考查的。

例2：求在區間[t，t+1]上時，y=-x2+2x-2，其最小值和最大值。

解析：與例1的不同的是，這一例題是關于變量的函數區間，對稱軸和區間端點值不能采取直接對應值大小的比較，具體的函數圖象不能起草畫出而供分析參考，無法直接進行問題的求解。需要在解題時分類討論.最大、最小值的取值點按照對稱軸和區間端點的距離關系來進行分析確定。

函數圖象的對稱軸根據原函數可知為x=1.當在區間的左側函數的對稱軸時，即t+1< 1時，ymax=y（t + 1 ） = -t 2 -1；當函數的對稱軸在區間右側時，即t≤1時，ymax=y（t）=-t2+2t-2；當在區間范圍內的對稱軸函數時，即t≤1≤t+1 0≤t≤1時，ymax=y（1）=-1.

3.定區間動軸

函數的區間固定即為定區間動軸，它是變化著的對稱軸，這種情況下，需要討論二次函數的最值。與定軸動區間有著相似的討論情況。

例3：求函數在區間[-1，2]上y=x2+2ax+1的最小值.

解析：該函數的對稱軸根據函數方程可知x=-a.當在區間的左側函數的對稱軸時，即-a<-1時，Ymax=y（-1）=--2a+2；當在區間范圍內的對稱軸函數時，為-1≤-a≤2時，Ymax=y（2）=4a+5.

4.軸定區間變問題

例4：求在區間[t，t+2]上時，二次函數f（x）=x2-2x-3的值域.

分析：隨著改變的區間位置，函數值域因為對稱軸和區間的相對位置的變化影響顯而易見。

①當位于區間的左側的對稱軸位置時，即t≥1時，在區間[t，t+2]上的函數f（x）為增函數，此時取值f（x）的范圍為f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②當位于左半區間的對稱軸位置時，即t≤1≤t+1時，在區間[t，t+2]上的函數f（x）變化是先減后增，距離對稱軸右端點t+2較遠，此時取值f（x）的范圍為f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③當位于右半區間的對稱軸位置時，即t+1≤1≤t+2時，在區間[t，t+2]上的函數f（x）也是先減后增，此時距離對稱軸是左端點t較遠，因而是f（1）≤f（x）≤f（t）f（x）的取值范圍；

④當位于區間的右側的對稱軸時，t+2≤1時，在區間[t，t+2]上的函數f（x）為減函數，此時取值f（x）的范圍是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

有些學生很可能只會進行三種情況的討論，而合并②③，這是求解思路是容易造出錯的普遍原因。

結束語

總之，想要加強求解二次函數最值問題的練習，需要從不同角度對問題進行分析的探討，綜合培養學生思考問題的維度，促使學生能夠分析出最快捷方便的解題技巧，從而幫助學生對初中二次函數關于動點最值問題有更深入的理解和掌握。獲得數學知識能力的有效提升。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（ 2011 年版）[M].北京： 北京師范大學出版社，2012.

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