中學數學概念教學的反例探究

雙 鸝，詹 鈺

（1.上饒師范學院 數學與計算機科學學院，江西 上饒 334000；2.上饒中學，江西 上饒 334000）

目前，有關學生數學核心素養發展的討論已開展得如火如荼，且有較多的研究成果，給一線教師提供了一個學習、借鑒的平臺。如楊九詮主編的《學生發展核心素養三十人談》中，眾多知名學者從核心素養的概念與本質、核心素養的教學價值以及如何落地等方面進行了闡述，為教師的教學改進提供了有益的參考［1］。研究表明數學概念教學是助力學生核心素養發展的關鍵［2］。正如李邦河所說：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”［3］。可見數學學習的成敗取決于對概念理解與掌握的程度。而在數學概念教學中，反例能使學生更深層次地理解、領悟、掌握概念。鑒于此，筆者擬對概念教學中反例的應用加以探討。

一、應用反例凸顯概念的本質屬性

數學概念的學習，是數學學習的重中之重。教師在概念教學時應花大功夫、濃墨重彩地教，而不是蜻蜓點水、程序式地“定義+注意”了事。有些概念采用正面教學法學生不容易理解，而構造反例能使其透過現象看本質，及時糾正謬誤，凸顯概念的本質特征。反例是概念教學的一種行之有效的方式。

例1 設A,B是坐標面上的兩個點集，Cr={(x,y)|x2+y2≤r2}，若對?r＞0 都有 Cr∪A?Cr∪B，則必有 A?B。此命題是否正確？

分析：此命題要求對集合概念的本質屬性理解透徹，構造反例可輕松解決。

反例：取 A={(x,y)|x2+y2≤1}，B={(x,y)|0＜x2+y2≤1}，容易看出Cr∪A?Cr∪B但A不包含在B中，故原命題不成立。

例2 判斷：若{an}是等比數列，Sn是其前n項和，則 Sk，S2k-Sk,…Snk-S(n-1)k，…也是等比數列［4］。

分析：此命題考查的是等比數列的有關概念，很多參考資料都認為是一個正確的結論，其實不然。

反例：設{an}的公比q=-1，當k為偶數時，數列Sk，S2k-Sk,…Snk-S(n-1)k，…是各項均為零的一個數列，顯然它不是等比數列，由此可見公比不為零是等比數列的一個本質屬性。

例3 f(x)在點x=x0的導數定義的等價形式為：，其中 α=α(Δx)，當 Δx→0時，α→0；對嗎？

分析：導數定義形式的理解是中學生的薄弱環節，甚至部分大學數學專業的學生對此定義的各種等價形式也含混不清。中學教師講授該內容時應多花功夫，精心設計教學環節，從不同視角對導數概念進行深刻地剖析。

反例：設 f(x)=|x|，若令 α=|Δx|，則當 Δx→0 時，有，即在x=0處可導，與已知f(x)=|x|在x=0處不可導矛盾，故上述命題不正確。錯誤原因是 α=α(Δx)，當 Δx→0時，α→0的方式不是任意的（只是單側趨于零），使學生明白導數定義的本質屬性是以任意方式趨于零。

二、應用反例防止概念的負遷移

學習概念時，容易產生消極的“慣性思維”方式，嚴重影響學生對新概念的認知。此時教師可運用典型反例，引導其從本質特征上分析并理解概念，明晰概念之間的聯系與區別，沖出思維定勢的“牢籠”。

例如，學習了“不可能事件的概率為零”后，受“慣性思維”左右，學生可能會認為“概率為零的事件一定是不可能事件”，教師可引導學生舉出如下反例：

在幾何概型中，設Ω={(x,y)|0≤x2+y2≤6}，A={(x,y)|x2+y2=3}，Ω為圓域，而A為圓周，可求得P(A)=；顯然事件A是可能發生的。

又如，受初中階段“圓的切線定義”的影響，到高中學習利用導數求曲線的切線時，學生會毫不猶豫地認為“曲線上任意點的切線與該曲線有唯一的公共點”。教師在講授上述問題時，一般只強調切線的求法，而對曲線的切線的概念匆匆帶過，導致學生的錯誤認識沒有得到及時糾正。筆者認為教師應引導學生構造反例，以加深其對該概念的理解。

反例：設曲線方程為y=x3，易求該曲線在點（1,1）處的切線方程為y=3x-2，解這兩個方程組成的聯立方程組得兩曲線的交點為（1,1）與（-2,-8），由此說明曲線上點的切線與該曲線的公共點不一定惟一。

再如，復數概念是中學教學的一個難點，其原因是學生易將它與實數概念混淆，把實數集的有關性質全部“打包”給復數集。比如當x∈R時，|sinx|≤1及|cosx|≤1恒成立。學習了復數后，有些學生會認為當x∈C時，|sinx|≤1及|cosx|≤1仍然成立。其實不然，可構造如下反例：

由歐拉公式 eiθ=cosθ+isinθ得：e-iθ=cosθ-isinθ，易求 得設 θ=2i，則 cos2i=＞1，即 cos2i＞1。

由此知x∈C時，|sinx|≤1及|cosx|≤1不一定成立。

三、應用反例剖析概念間的關系

概念的內涵與外延密切相關，兩者之間成反比。學生往往搞不清概念外延之間的關系，把鄰近的概念混為一談。教師也可通過反例進行剖析，使學生明確相鄰概念間的聯系和區別。

例4 函數y=f(x)在(a,b)的極大值必定比極小值大？

學生對“大”、“小”的理解已經根深蒂固，因此會不假思索地認為上述命題是正確的。教師應給出反例澄清謬誤：如易求函數 f（x）=x+2sinx在（-∞，+∞），極大值為=。由此使學生明白函數的極值是個局部性概念，它是在極值點的某一個小領域內“最大”或“最小”。

例 5 若 P（ABC）=P（A）P（B）P（C），則 A,B,C 兩兩獨立，反之亦然。

這是中學概率統計中的一個重要概念，許多教師只是強調此命題是不正確的，但卻沒有講清為何不成立的理由，此時應引導學生構造反例，以加深對該概念的辨析。

反例：（1）設有一均勻正八面體，第一面涂了紅、黃、藍三色，第二、三面均涂了紅、黃兩色，第四面只涂了紅色，第五面只涂了黃色，第六、七、八面均涂了藍色。現投正八面體一次，記A={頂面出現紅色}，B={頂面出現黃色}，C={頂面出現藍色}，則 P（A）=P（B）=

故 P（ABC）=P（A）=P（B）=P（C），而 P（AB）≠P（A）P（B），P（BC）≠P（B）P（C），P（AC）≠P（A）P（C）。說明由 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不能得到 A,B,C 兩兩獨立。

（2）投擲一枚均勻的硬幣兩次，設出現正面為H，出現反面為T；若“第一次出現正面”記為事件A，“第二次出現正面”記為事件B，“只出現一次正面”記為事件 C；則 A={（H,H）,（H,T）}，B={（H,H）,（T,H）}，C={（T,H）,（H,T）}，AB={（H,H）}，AC={（H,T）}，AC={（H,T）}，ABC=?。

例6 數集的集合表示與區間表示等同嗎？

函數的定義域常用集合或區間表示，許多同學認為這兩種表示方式毫無區別，是完全等同的，甚至有極少數教師也持相同意見。其實不然，比如函數y=cos x在區間是嚴格遞減的，而若將此區間用集合表示，即k∈Z}，則結論不成立。理由如下：

由此說明區間與集合都可以用來表示數集，但它們不一定等同。

三、構造反例提升概念應用的效能

數學概念學習的終極目標是應用，即在具體問題中運用概念，在運用中加深理解。比如數學選擇題中有大量的問題與基本概念有關，此類問題常用的方法是構造反例去排除錯誤選項。部分學生在解決此類問題時頗感困難，毫無頭緒，教師應給予指導，讓學生體會到反例的“威力”，使其發揮最大效能。

例 7 設{an}，{bn}，{cn}均為非負數列，且

A、an＜bn對任意 n 成立；

B、bn＜cn對任意 n 成立；

分析：極限概念是學生學習道路上的“攔路虎”，本題若直接考察困難重重，用反例排除法就簡便多了。

例8 已知下列命題：

（1）函數f（x）與其反函數的圖像若有公共點，則公共點必在直線y=x；

（2）函數 f（x）若存在反函數，則它一定是單調函數；

（3）函數 f（x）若存在反函數 f-1（x），則必有 f［f-1（x）］=f-1［f（x）］；

（4）函數與它的反函數有相同的單調性；

其中正確命題的個數為（ ）。

A、2 B、2 C、3 D、4。

分析：本題考察的是函數與反函數的概念，亦可利用反例說明命題（1）、（2）、（3）均不正確。

（3）設 f（x）=x2-4,x∈(0,2)，則它的反函數為 f-1（x）x∈(-4,0)；因為 f-1［f（x）］=f-1(x2-4)=x,x∈(0,2)，則有 f［f-1（x）］≠f-1［f（x）］，故應選 A。

A、sin(sinφ)＜cosφ＜cos(cosφ)；

B、sin(sinφ)＞cosφ＞cos(cosφ)；

C、sin(cosφ)＞cosφ＞cos(sinφ)；

D、sin(cosφ)＜cosφ＞cos(sinφ)。

分析：本題的難點是對 sin(sinφ)、sin(cosφ)、cos(sinφ)、cos(cosφ)概念的理解，可利用反例這一“精良武器”，使問題迎刃而解。

反例在概念教學中的作用不可小覷，它與正面教學相得益彰，形成有機互補。但反例教學也不是完美無缺的，應用不當也會產生負效應。反例呈現太早，會分散學生的注意力，導致概念學習變成了“夾生飯”；構造的反例難度系數偏高，學生理解困難，達不到預期效果，等等。因此，教師在概念教學時應把握時機，恰到好處地應用正、反例子。這樣概念教學才能產生一加一大于二的效度，才能使發展學生核心素養的目標平穩落地，綻放出美麗的花朵。