雙向梯形夾芯板柱面彎曲成形回彈分析

梁曉波，蔡中義，張 曦

(吉林大學 輥鍛工藝研究所，長春 130025)

夾芯板由兩塊很薄的高強度面板和中間輕質夾芯組成。常見面板材料有金屬、纖維鋪層、復合材料等，夾芯材料除了傳統的蜂窩夾芯、泡沫夾芯，還出現了桁架、梯形等拓撲夾層結構[1-4]。由于夾芯板具有高比強度和比剛度、良好的抗振性能，并能有效地吸收沖擊載荷，是航空航天工程中重要的結構材料。隨著材料成本不斷降低，成形工藝日趨成熟，夾層板的應用已遍及航空、航天、船舶、建筑、交通、風電系統等領域[5-6]。

夾芯板一般為多層異種材料結構，彎曲成形過程比單層材料復雜。石珊珊等[7]通過三點彎曲和面內壓縮實驗研究了碳纖維/鋁蜂窩夾芯結構的Kevlar短纖維界面增韌試件的載荷位移曲線、破壞模式等特征。鄭吉良等[8]分析了等腰梯形蜂窩芯玻璃鋼夾芯板面外壓縮的破壞機理，并研究了夾芯板結構參數對其面外壓縮強度的影響及蜂窩芯層數對其面外壓縮抗壓強度的影響。Katsuhiko等[9]采用線性強化Mises屈服準則描述復合層板面板，研究了復合層板彎曲回彈殘余應力分布及回彈量。Corona等[10]研究了鋼/聚合物復合層板折彎時鋼板的厚度、屈服應力、夾層聚合物剪切模量等參數對復合層板彎曲回彈的影響。Aghchai等[11]分析了鋁合金/聚氨酯復合板在不同溫度下的彎曲回彈。Liu等[12]提出了結合直梁與曲梁模型解析法預測鋼-聚合物夾層板在壓邊彎曲時的回彈和側壁卷曲。Yuen[13]通過對拉形過程中各層應力應變關系的研究，推導出多層板回彈的廣義解，并提出了簡化的封閉形式的解。除解析模型，有限元法也應用在夾層板抗彎性能和回彈的研究[14-15]。目前大部分研究集中于夾芯材料為聚合物的夾層結構，這種夾層結構力學性能受限于膠粘劑，容易發生脫膠和老化。焊接金屬夾芯板實現接頭的冶金連接，具備更優異的力學性能，然而普通金屬夾芯板具有典型的難成形特點，應用多限于平面結構，成形方面的研究較少，嚴重限制了焊接金屬夾芯板的應用潛力。

鋁合金-雙向梯形夾芯板是一種新型夾芯結構的焊接金屬夾芯板，在成形方面有諸多優點，尤其是成形過程中能延緩受壓面板屈曲的發生，但對其彎曲成形及回彈的研究還鮮見報道。

本工作采用半解析法[16]獲得夾芯等效力學性能參數，分析計算夾芯板在柱面成形過程中面板與夾芯的變形及受力情況，建立夾芯板彎曲回彈的理論分析模型；利用有限元軟件ABAQUS分析柱面成形過程面板應力分布及卸載回彈；并應用多點柔性成形技術進行柱面彎曲實驗；最后采用建立的模型預測鋁合金-雙向梯形夾芯板彎曲回彈量，并與數值模擬及實驗結果進行對比。

1 雙向梯形夾芯板

本工作研究的雙向梯形夾芯板由上、下面板和雙向皆有梯形凸凹波紋的鋁合金夾芯通過氮氣保護釬焊連接在一起，如圖1(a)所示。上、下面板采用5050-0鋁合金板材，夾芯為5083鋁合金。圖1(b)為夾芯的胞元，由一個梯形凹臺、四個1/4梯形凹臺及四個1/2梯形凸臺組成，梯形臺的各斜平面間通過四邊形曲面過渡。四個梯形凸臺的上平面F1，F2，F3，F4與上面板焊接，五個梯形凹臺的下平面G1，G2，G3，G4，G5與下面板焊接。胞元長度方向記為l方向，寬度方向記為w方向。胞元的主要尺寸參數為：長度l=47mm、寬度w=47mm，梯形凹臺在方向的上口寬度l1=24mm、下底寬度l2=8mm，在方向的上口寬度w1=39mm、下底寬度w2=23mm，夾芯相對密度=0.13。圖1所示的坐標軸的z向為夾芯板厚度方向，x向為柱面的軸線方向，y向為柱面彎曲方向。夾芯板胞元的方向與y向一致，胞元的方向與x向一致。夾芯板的面板和芯板的材料力學性能參數如表1所示。

Typeρ/(kg·m-3)E/GPaEp/GPaμσs/MPaσb/MPa5050-02800691.590.334514750832720710.33128361

2 夾芯的彈性常數等效

雙向梯形夾芯板的夾芯結構復雜，難以通過完全解析法獲得等效彈性常數。本工作采用結合有限元的半解析法對夾芯進行等效分析，得到夾芯的等效彈性常數，無須考慮夾芯的復雜結構。

2.1 有限元方法計算等效彈性常數

對于正交各向異性板，反對稱彎曲變形時，主要承受中面彎矩Mx,My和扭矩Mxy以及橫向剪切力Px,Py，彎曲內力與應變分量的關系如下：

(1)

(2)

式中:D11,D22,D12為抗彎剛度；D66為抗扭剛度；C1,C2為剪切剛度。

剛度常數與彈性常數的關系如下：

(3)

式中：Ecx，Ecy為x，y方向夾芯的等效彈性模量；vcx，vcy為兩個方向的泊松比；Gcxy，Gcxz，Gcyz為不同方向的剪切模量；h為夾芯的高度。

由彈性力學理論可知，式(1)，(2)中的應變分量與位移之間的關系如下：

(4)

利用式(4)對夾芯單元各個側面的節點施加位移來實現不同應變分量的邊界條件；從數值模擬結果中提取節點力，通過計算得到5種獨立應變下的彎曲內力Mx，My，Mxy，Px和Py；最后利用式(3)得出夾芯的等效彈性常數。

2.2 等效彈性常數的計算過程

選取夾芯的一個胞元，使用有限元軟件Hypermesh對胞元劃分C3D8R實體單元類型。夾芯單元劃分的網格如圖2所示。

圖2 胞元的網格Fig.2 Mesh of core cell

利用式(4)分別實現5種獨立應變邊界條件，即應變分量{χx,χy,χxy,γxz,γyz}T只有一個分量不為零，獨立應變值取為a，其在彈性變形范圍內。

當χx=a時

(5)

同理可得χy=a的邊界情況。

當χxy=a時

(6)

當γxz=a時

(7)

同理可得γyz=a的邊界情況。

另外，為了得到等效泊松比vcx和vcy，再增加一種有限元模型。將εx設為a，可得模型邊界上節點的位移自由度的約束情況如式(9)，最后利用式(10)得到vcy。

(8)

(9)

D11vcy=D22vcx

(10)

通過對上述獨立應變的有限元模擬，可從結果中提取側面上節點的節點力(Fx，Fy，Fz)，再分別乘以該節點到中面的距離可以得到節點力矩。

(11)

式中：l1表示單元側壁的邊長；n表示胞元側面上的節點數；m表示該面上的某一節點。

分別施加5種不同的獨立邊界條件，聯立式(1)，(2)和式(3)，可得彈性常數的表達式如下：

(12)

由于夾芯具有對稱結構，將夾芯等效成橫觀各向同性板。從模擬結果中提取εy，代入式(8)即可得到等效泊松比vcx=0.26；將式(11)得到的Mx,Mxy,Px代入式(12)中計算得到等效彈性模量Ecx=1.56GPa，Gcxy=0.7GPa，Gcxz=0.77GPa。

雙向梯形夾芯結構的模型為精細有限元模型，等效有限元模型是由上、下面板與等效夾芯組成的三明治夾層板。為驗證等效參數的可靠性，通過有限元算例進行分析，取夾芯板的長、寬分別為188mm和94mm，寬度方向一邊側面施加固支約束，上面板表面施加0.01MPa的壓強。圖3所示為精細模型與等效模型位移分布云圖對比，可看到兩種模型最大位移分別為0.738mm和0.746mm，相對誤差僅為1.0%。沿長度方向提取上面板中心節點的位移數值，得到如圖4所示的撓度曲線，圖中可以看到兩種模型撓度曲線基本重合，等效精度較高。

圖3 有限元模型位移分布對比Fig.3 Comparison of displacement distribution of finite element model

圖4 有限元模型撓度曲線對比Fig.4 Comparison of deflection curves of finite element model

3 夾芯板回彈分析模型

夾芯板彎曲示意如圖5所示。圖中ρi,ρo分別為夾芯板的彎曲內徑和外徑，ρn為應力中性層曲率半徑，ρc為夾芯中面半徑。為了簡化夾芯板彎曲過程的理論分析，本工作對其變形做如下假設。

(1)夾芯板面板寬厚比很大，近似平面應變狀態，即面板寬度方向上應變為零，εx=0；

(2)夾芯板彎曲變形服從 Kirchhoff 假設；

(3)夾芯板彎曲過程中各層板料之間無擠壓，即厚向應力σr=0；

(4)夾芯板面板為各向同性等向強化材料，忽略表層鋁合金板材變形的“包申格”效應。

圖5 夾芯板彎曲示意圖Fig.5 Bending diagram of sandwich panel

3.1 夾芯板橫截面應力計算

圖6為夾芯板彎曲橫截面應力及應變分布示意圖。圖中Ai為應力中性層距夾芯中心的距離，hb為下面板厚度，ht為上面板厚度，且hb≥ht，hc為夾芯厚度，hs為夾芯板總厚度，y為任意曲率半徑到夾芯中面ρc的距離。

圖6 夾芯板彎曲應力-應變分布示意圖Fig.6 Bending stress and strain distribution schematic diagram of sandwich panels

根據Kirchhoff假設，夾芯板彎曲截面任意曲率半徑ρ處，其切向的線應變為:

(13)

式中，y=ρ-ρc，ρn=ρc+Ai。

彎曲成形過程中，該夾芯板夾心層較厚且面板較薄，面板發生完全塑性變形。

設面板的塑性變形服從線性應力應變強化關系，由平面應變假設可得到彎曲截面上切向應力應變的關系為:

(14)

式中:σs是面板屈服應力；Ep是塑性切線模量；η=Ep/Ef；Ef是面板彈性模量；E*是平面條件下面板彈性模量。

由于中間層夾芯變形一般比較小，且雙向梯形夾芯的彈性變形能力遠大于面板，由此假設夾芯板彎曲成形及回彈時，夾芯只在彈性范圍內變形。處于平面應變狀態夾芯的橫向應力為

(15)

3.2 加載與卸載應力中性層計算

根據外加彎矩在橫截面產生的拉應力與壓應力合力為零，設加載應力中性層與卸載應力中性層相對于夾芯中心層的z向坐標為A1,A2。

由加載時橫截面合力為零，聯合式(14)得

(16)

式中:ρ1是加載應力中性層曲率半徑。得到加載時應力中性層z向坐標A1

(17)

假設卸載時面板不發生反向屈服，由卸載時橫截面合力為零，聯合式(14)得

(18)

式中:ρ2是卸載應力中性層曲率半徑。得到卸載時應力中性層z向坐標A2

(19)

3.3 彎曲成形橫截面加載彎矩

夾芯板彎曲橫截面彎矩及抗彎剛度由上、下面板和夾芯彎矩三部分組成

(20)

式中:Ms為夾芯板彎曲成形截面總彎矩;Mt為上面板彎矩;Mb為下面板彎矩;Mc為夾芯彎矩；Ds,Dt,Db,Dc為對應的抗彎剛度。

根據式(17)解得加載應力中性層位置，則下面板加載彎矩為

(21)

上面板加載彎矩為

(22)

夾芯加載彎矩為

(23)

3.4 彎曲成形橫截面抗彎剛度

根據式(19)解得卸載應力中性層位置，則下面板的抗彎剛度為

(24)

上面板的抗彎剛度為

(25)

夾芯的抗彎剛度為

(26)

3.5 回彈計算

若卸載不引起反向屈服，且忽略板料卸載過程中的包申格效應，則卸載過程相當于對板料施加一個反向彎矩所引起的彈性變形，利用公式(20)～(26)，曲率變化可用下式來表示

(27)

表2比較了相同長、寬尺寸下夾芯板的等厚度單層板及等剛度單層板不同柱面成形半徑ρ1與卸載回彈后半徑ρ2，設回彈比ξ=ρ2-ρ1/ρ1。夾芯板上、下面板厚度分別為ht=1.0mm和hb=1.5mm，板料尺寸為282mm×94mm。通過計算，等剛度單層板的厚度為7.6mm，其質量是夾芯板的2.3倍；等厚度單層板的質量是夾芯板的2.73倍。從表中可以看出，夾芯板的回彈比略小于等剛度單層板，而略大于等厚度單層板，隨著成形曲率半徑的增大回彈比逐漸增大，夾芯板回彈量與中厚板十分接近，回彈量較小，易于控制成形精度。

表2 計算回彈結果對比分析Table 2 Analysis of calculated springback results

4 夾芯板柱面成形數值模擬

采用有限元軟件ABAQUS對夾芯板柱面成形及回彈過程進行數值模擬分析。圖7所示為多點成形模型，由多點模具、彈性墊和夾芯板組成，彈性墊為邵氏硬度A79的聚氨酯，模具采用R3D4殼體單元劃分網格，彈性墊和夾芯板采用C3D8R實體單元劃分網格，下多點模具完全固定約束，上多點模具以10mm/s的速度下壓。

圖7 夾芯板柱面成形的有限元模型Fig.7 Finite element model of forming sandwich plate cylinder

圖8 不同成形半徑柱面件切向應力對比Fig.8 Comparison of tangential stress of cylindrical parts with different forming radius

圖8為夾芯板不同成形半徑柱面件橫截面的面板中心層切向應力模擬值和計算值對比。在柱面彎曲成形過程中，上面板受拉，下面板受壓，壓應力取絕對值?？梢钥闯觯S著曲率半徑的增大，上、下面板切向應力計算值和模擬值均逐漸減?。挥嬎愕玫綉χ荡笥谀M值，這是由于忽略剪切變形等簡化假設使得剛度增大造成的；上面板應力相對誤差在2.9%以內，下面板應力相對誤差在6.5%以內，隨著曲率半徑的增大誤差減小。二者變化規律基本相同，一定程度說明了計算模型的正確性。

圖9為夾芯板柱面成形后卸載回彈量分布，由于對稱截取二分之一進行分析。網格部分顯示為回彈前的柱面，色譜面顯示的為回彈后的柱面?？梢钥闯?，夾芯板柱面件回彈后曲率半徑變大，回彈量從中心到邊緣均勻增大，而最大回彈量遠小于單層薄板。也可觀察到雙向梯形夾芯板成形件的面板和夾芯都保持很好的平滑度，沒有出現面板凹窩、夾芯屈曲及焊接處斷裂等缺陷。

圖9 夾芯板成形后卸載回彈量分布Fig.9 Springback distribution of sandwich panel after unloading

5 夾芯板柱面成形實驗

利用多點成形壓機對夾芯板進行柱面成形實驗。通過計算機控制系統調整離散基本體高度構成目標模具型面，將夾芯板成形為不同曲率半徑的柱面件，圖10為夾芯板柱面件成形實驗與掃描，其中圖10(a)為多點壓機柱面彎曲成形過程，圖10(b)為成形半徑分別為500,600,800mm實驗件，圖10(c)為PRO-CMM系統三維光學掃描儀。利用三維光學掃描儀對實驗件的表面進行掃描得到試驗件外形輪廓點云數據。

圖10 多點柱面成形及掃描(a)多點模具成形;(b)彎曲試驗件;(c)3D光學掃描儀Fig.10 Multi-point pressure cylindrical forming and scanning(a)multi-point die forming;(b)bending test samples;(c)PRO-CMM system

圖11給出了夾芯板不同成形半徑柱面件通過計算、模擬及實驗得到回彈后的下面板二分之一縱向截面輪廓線對比圖?？梢钥闯?，不同成形半徑柱面件回彈的模擬輪廓線與實驗輪廓線基本重合，只在邊緣處實驗值略大于模擬值，這是由多點模具成形的直邊效應導致；計算回彈略微偏大，由于忽略剪切變形等情況造成，與面板應力情形一致；同樣可以看到，模擬和實驗輪廓線平滑，沒有發生凹陷、屈曲等缺陷，圖中ρ1=500mm實驗件縱向截面局部放大圖顯示面板和夾芯都沒有發生凹陷、屈曲、焊縫斷裂等缺陷，與數值模擬一致，表明該種夾芯板具備很好的成形性能。

圖11 不同成形半徑夾芯板回彈后縱向截面輪廓線Fig.11 Longitudinal cross section line of the sandwich plate after springback with different forming radius

將理論計算值得到的柱面與實驗件點云數據導入Geomagic Qualify進行誤差分析。圖12給出了夾芯板不同成形半徑回彈的計算值與實驗值縱向中心截面線誤差。可以看出，誤差從中心到邊緣逐漸增大，只在邊緣處由于直邊效應有小幅的降低，不同成形半徑變化趨勢一致；隨著成形曲率半徑的增大，誤差逐漸減小；其中ρ1=500mm時最大誤差為0.97mm，ρ1=600mm時最大誤差為0.73mm，ρ1=800mm時最大誤差為0.42mm，不同成形半徑柱面件計算值與實驗值的誤差均在1.0mm范圍內，回彈預測精度較高，說明本工作建立的理論分析模型可以較好地預測雙向梯形夾芯板的彎曲回彈。

圖12 計算值與實驗值縱向截面線誤差Fig.12 Error along the section line of measured values and analytic values

6 結論

(1)釬焊雙向梯形夾芯板的夾芯結構復雜，難以通過完全解析法獲得等效彈性常數。采用結合有限元的半解析法對夾芯進行力學參數等效推導，通過對夾芯胞元邊界施加位移條件實現彎曲時的獨立變量，獲得彎曲內力，再由本構關系得到夾芯的等效彈性常數，無須考慮夾芯的復雜結構。

(2)對上、下面板不等厚的雙梯形夾芯板彎曲成形時面板和夾芯的變形特點進行分析，提出合理的簡化假設。推導了夾芯板彎曲成形應力中性層的變化，在此基礎上建立了夾芯板平面應變彎曲成形回彈的理論計算模型。

(3) 理論計算表明：夾芯板的回彈比略小于等剛度單層板，而略大于等厚度單層板，隨著成形曲率半徑的增大回彈比逐漸增大，夾芯板回彈量與中厚板十分接近，回彈量較小，易于控制成形精度。

(4)不同成形半徑夾芯板理論解析法計算的應力比數值模擬偏大，從而回彈也偏大，隨著成形半徑的增大，應力相對誤差逐漸減小，其中上面板應力相對誤差在2.9%以內，下面板應力相對誤差在6.5%以內；計算與實驗的下面板縱向中心截面線誤差在1.0mm范圍內，各項誤差均在很小范圍內，驗證了回彈計算模型的準確性。