面向最小EEOI的船舶航速矩不確定分布魯棒優(yōu)化

徐海軍， 李 偉， 盧昌宇， 劉 勇

(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院， 遼寧 大連 116026)

國際海事組織(International Maritime Organization,IMO)規(guī)定標(biāo)志船舶能效的重要指標(biāo)——船舶能效營運指數(shù)(Energy Effciency Operation Index,EEOI)于2011年強制實施。[1]該指數(shù)表示每單位船舶運輸所創(chuàng)造的社會效益(貨運量)而產(chǎn)生的環(huán)境成本(CO2排放量)。EEOI的強制執(zhí)行促使航運業(yè)加快節(jié)能減排工作的步伐，也對船舶的管理和操作提出更高要求。從營運的角度出發(fā)，主機轉(zhuǎn)速與航速直接相關(guān)，而航速與船舶的航行阻力、燃油消耗和營運效率等因素相關(guān)。因此，通過尋找最優(yōu)主機轉(zhuǎn)速來實現(xiàn)航速優(yōu)化是降低EEOI的重要方式。

陳前昆等[2]考慮水流速度對油耗的影響，利用實測數(shù)據(jù)確立主機油耗與航速關(guān)系模型，進行基于EEOI的內(nèi)河船舶航速優(yōu)化研究。霍得利[3]通過航線分段和分段航速優(yōu)化，以追求航次總油耗量最低為目標(biāo)的方法來研究船舶航次內(nèi)的節(jié)能性。HOU[4]從船型優(yōu)化的角度考慮航速攝動的影響，對低EEOI的最小船型設(shè)計方法進行研究。NORLUND等[5]考慮航速、時間表與船隊規(guī)模等3個要素對最優(yōu)能效的影響，對補給船進行節(jié)能減排研究。這些研究表明:EEOI與航速、主機及水道環(huán)境等因素密切相關(guān)，通航環(huán)境作為船舶自身條件以外的客觀因素構(gòu)成的系統(tǒng)，水深與風(fēng)、浪、流的強弱等要素都會直接或間接地影響船舶的運動狀態(tài),從而改變EEOI數(shù)，然而現(xiàn)有做法是將各參數(shù)作為確定值直接參與計算，未考慮參數(shù)波動引起的影響。

由于受到河道寬窄及河床沖淤等條件影響，河道水流速度通常是不穩(wěn)定的變化值[6]，仍將其作為定值參與計算將使結(jié)果產(chǎn)生誤差，該誤差雖然在多數(shù)情況下數(shù)值較小，但在優(yōu)化計算中，持續(xù)的迭代與相互耦合可能使最終結(jié)果產(chǎn)生較大的偏差。因此，將流速以不確定性的隨機變量形式參與計算更具合理性，且應(yīng)考慮其分布的期望和方差的不確定性。該方法在以高能效為目標(biāo)圖像的航速優(yōu)化領(lǐng)域尚屬空白。

魯棒優(yōu)化方法是常用的不確定性問題處理方法[7]，其假設(shè)不確定參數(shù)組成一個集合，針對集合內(nèi)最惡劣的情況構(gòu)建一個min-max優(yōu)化模型，但此類方法沒有利用可獲取的概率統(tǒng)計信息。近期數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展的矩不確定分布魯棒優(yōu)化方法(Distributional Robust Optimization under Moment Uncertainty, DRO-MU)[8]假設(shè)隨機變量的矩(期望、方差等)屬于一個盒式或橢球式的不確定集，以此為基礎(chǔ)建立魯棒優(yōu)化模型，采用拉格朗日對偶原理將NP難min-max問題轉(zhuǎn)換為半定規(guī)劃問題以便求解，并通過在電力系統(tǒng)的應(yīng)用驗證其有效性。[9]侯遠杭等[10]將DRO-MU模型引入船舶艙室布局設(shè)計問題中，較好地處理環(huán)境載荷等不確定參數(shù)的確定性轉(zhuǎn)化與分析。

本文以文獻[2]推導(dǎo)的EEOI模型為基礎(chǔ)，考慮多航段內(nèi)水流速度的不確定性分布，以各航段的主機轉(zhuǎn)速作為設(shè)計變量，航程時間與航速限閾作為約束條件，構(gòu)建以最小EEOI為目標(biāo)的優(yōu)化模型，其中明確主機轉(zhuǎn)速與單位時間油耗量、對水航速等的對應(yīng)關(guān)系。引入DRO-MU理論，采用拉格朗日對偶原理將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)為確定的半定規(guī)劃問題以便求解。算例驗證本文方法的合理性與優(yōu)越性，該方法針對性地用于解決含矩不確定參數(shù)的最小EEOI航速優(yōu)化設(shè)計問題。

1 矩不確定分布魯棒優(yōu)化方法

魯棒優(yōu)化通常面向優(yōu)化模型中的約束條件或目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的不確定性，是解決內(nèi)部結(jié)構(gòu)或外部環(huán)境不確定情況的一種優(yōu)化方法，常規(guī)的魯棒優(yōu)化模型[8]為

(1)

式(1)中：x為設(shè)計變量;ξ為隨機變量;S為不確定集，即隨機變量的分布空間；f為目標(biāo)函數(shù);g為約束條件。

魯棒優(yōu)化方法將參與計算的不確定參數(shù)描述為不確定集，常見的有盒式不確定集和橢球式不確定集等。DRO-MU將隨機規(guī)劃與魯棒優(yōu)化相結(jié)合，本文以隨機變量的兩個重要距(期望和方差)的不確定集為基礎(chǔ)進行優(yōu)化求解，可構(gòu)建為一個min-max問題，模型為

(2)

式(2)中：F為隨機變量ξ的分布;B為隨機變量矩的不確定集;E為求期望。式(2)是一個典型的NP難min-max問題，求解較為困難，可利用拉格朗日對偶原理將其轉(zhuǎn)換為確定性的凸半定規(guī)劃問題。

2 EEOI推導(dǎo)與確定性優(yōu)化

2.1 公式推導(dǎo)

EEOI用船舶CO2排放量與貨運能力的比值來描述，與船舶的燃料消耗、主機功率、載重噸和航行里程等因素相關(guān)。計算為[1]

(3)

式(3)中：i為航段標(biāo)號;j為燃料種類；FCij為船舶在航段i中消耗燃料j的總量；CFij為CO2排放因子，mcargo為載貨(人)量；Di為航段i的航行里程。

IEEOI值越小表示在特定航行里程與載貨量的情況下，船舶能耗越低，即船舶的營運能效越高。為推導(dǎo)方便，忽略次要因素，可將航段i的燃料消耗FCi近似取為主機油耗，可表示為

(4)

式(4)中：Q為單位時間的主機油耗量;Ti為該航段的航行時間；vsi為船對地速度;v0為船對水速度，vw為水流速度;用“±”來區(qū)分上下水；C1為系數(shù)，表示為

(5)

式(5)中：Ct為船體總阻力系數(shù);ρ為水密度;S為船體濕表面積；ηd為船舶推進效率;ηs為軸系傳動效率;be為主機燃油消耗率。

C1可通過船舶出廠時的設(shè)計參數(shù)獲得，也可由實測數(shù)據(jù)進行擬合而求得。航段i內(nèi)的船舶對水速度v0i存在與主機轉(zhuǎn)速ni的函數(shù)關(guān)系，通常可由線型擬合來表示[2]

v0i=αni+β

(6)

式(6)中：α、β為擬合系數(shù)。

綜上，可推導(dǎo)出IEEOI與主機轉(zhuǎn)速的關(guān)系式為

(7)

式(7)中：m為航段總數(shù)。

2.2 確定性優(yōu)化

通過對各航段的船舶主機轉(zhuǎn)速ni的優(yōu)化選取，來實現(xiàn)對應(yīng)的EEOI最小化，因此優(yōu)化設(shè)計變量確定為ni(i=1,2,…,m)。考慮船舶主機的運轉(zhuǎn)條件需求，轉(zhuǎn)速須在一合理區(qū)間內(nèi)變化：[nmin,nmax]，即形成設(shè)計空間。

1) 優(yōu)化目標(biāo)Min IEEOI2) 設(shè)計變量各航段的主機轉(zhuǎn)速ni(i=1,2,…,5),[400,720](r/min)3) 約束條件總航程時間 ti≤t0=130(下水) or 240(上水) (h);船舶航速 6.9≤vsi≤21(km/h)4) 確定性參數(shù)水流速度 vwi:[5.6,4.9,4.3,3.6,2.8](km/h);航程距離 Di:[671,612,433,305,330](km);擬合系數(shù) C1:0.043,α:0.025 3,β:1.326 3;載貨量 mcargo:325(TEU);碳轉(zhuǎn)換系數(shù) CF:3.2065) 算法和參數(shù)ASA預(yù)設(shè)迭代步數(shù):1 000;相對退火速率:1.0;相對淬火速率:1.0;初始溫度:1.0;再退火方案數(shù):100

為保證船舶運行安全與營運效益，需考慮如下兩方面約束條件：

(1) 整個航程的時間不可超出預(yù)定限制T0；

(2) 船舶的航速要介于極限功率航速vmin與最大設(shè)計航速vmax之間。

利用自適應(yīng)模擬退火算法(Adaptive Simulated Annealing,ASA)[11]進行尋優(yōu)計算，將各參數(shù)作為確定性指標(biāo)，以文獻[2]的參數(shù)值為參考，建立EEOI確定性優(yōu)化模型。

分別考慮下水和上水兩種工況，經(jīng)約1 000步迭代計算求得最優(yōu)方案，目標(biāo)值的優(yōu)化進程曲線見圖1。由圖1所知:兩種工況的前200步迭代目標(biāo)值波動較大，處于全空間探索狀態(tài)，之后漸趨平穩(wěn)，到達預(yù)設(shè)的約1 000步時已達收斂穩(wěn)定狀態(tài)，從而得出較為可信的最優(yōu)方案。

a) 下水工況

b) 上水工況圖1 兩種工況的EEOI確定性優(yōu)化迭代進程曲線

將初始方案與求得的最優(yōu)方案對比(見表1)。

由表2所知:優(yōu)化前后的航行時間均在限定的范圍內(nèi)，經(jīng)過尋優(yōu)計算可將EEOI降低，從而可由確定性的角度提高船舶營運能效水平，但該過程未考慮參數(shù)的不確定性影響，使結(jié)果對參數(shù)波動的穩(wěn)健性無法保證。

3 DRO-MU建模

3.1 靈敏度與隨機性分析

在實際情況下，由于水流速度通常是不穩(wěn)定的變化值，仍將其作為定值參與計算將使結(jié)果產(chǎn)生誤差，為探尋其對優(yōu)化目標(biāo)EEOI影響的靈敏度，采用拉丁超立方法(LATIN H,LH)進行各航段的水流速度vwi對EEOI的靈敏度分析。水流速度vwi的取樣空間設(shè)定為前述固定值的10%擾動鄰域，即[90%vwi,110%vwi]。LH取樣方案數(shù)為5 000，經(jīng)過相應(yīng)次數(shù)的計算，得到兩種工況下各參數(shù)對目標(biāo)EEOI的影響效應(yīng)曲線見圖2；兩種工況下各參數(shù)的Pareto貢獻率見圖3。

a) 下水工況

b) 上水工況

圖2 兩種工況的各參數(shù)影響效應(yīng)曲線

a) 下水工況

b) 上水工況

圖3 兩種工況的各參數(shù)Pareto貢獻率

參考長江航道枯水季與豐水季水流速度的統(tǒng)計規(guī)律，可假設(shè)上水(下水)的水流速度近似服從正態(tài)分布，且其標(biāo)準差與均值直接相關(guān)，為簡化計算，將設(shè)定模擬參數(shù)水流速度vwi服從正態(tài)分布，均值為確定性優(yōu)化模型中設(shè)定的固定值，標(biāo)準差為均值的1%。兩種工況的Monte-Carlo模擬結(jié)果見圖4。

a) 下水工況

b) 上水工況圖4 兩種工況Monte-Carlo模擬結(jié)果

由圖4可知:兩種工況的EEOI均存在于均值附近波動的情況，且分布規(guī)律亦大體服從正態(tài)。由此水流速度的隨機擾動構(gòu)成對設(shè)計目標(biāo)的不確定性影響，繼而增強結(jié)果的不穩(wěn)定性，因此,考慮不確定性參數(shù)的影響對于尋求最優(yōu)EEOI的優(yōu)化問題具有重要意義。

3.2 水流速度的DRO-MU表達

考慮水流速度vwi的不確定性，將其看作期望與方差為不確定集的隨機變量，分別建立期望的橢球不確定集與方差矩陣不等式限定的半定錐不確定集為

(8)

式(8)中：μi為表征流速分布的隨機變量的期望列向量;σi為方差矩陣；γ1為期望的橢球不確定集半徑限制參數(shù)，且γ1≥0;γ2為方差的半定錐不確定及范圍限制參數(shù)，且γ2≥1。

3.3 目標(biāo)的DRO-MU表達與對偶轉(zhuǎn)換

DRO-MU方法建立在隨機規(guī)劃求期望基礎(chǔ)上，由于優(yōu)化模型中水流速度為隨機變量，故先要對目標(biāo)函數(shù)求期望。然后應(yīng)用魯棒優(yōu)化原理構(gòu)建一個min-max問題，體現(xiàn)參數(shù)期望和方差的不確定集范圍內(nèi)，最大期望目標(biāo)函數(shù)所做的一個最小的優(yōu)化計算，即在最惡劣的情況下進行的最優(yōu)化計算為

(9)

目標(biāo)函數(shù)式(9)是一個NP難的min-max模型，采用拉格朗日對偶原理可將其轉(zhuǎn)換為確定性的凸半定規(guī)劃問題，可有效求解[9]為

(10)

式(10)中：Q、q為對偶變量，滿足Q≥0；r、t為松弛變量；“·”為Frobenius積；“≥”為半定。即通過對偶轉(zhuǎn)換，將目標(biāo)函數(shù)含隨機變量的魯棒優(yōu)化轉(zhuǎn)換成了求解松弛變量r、t之和的最小值，方便求解。

4 DRO-MU求解

相關(guān)的參數(shù)設(shè)置為：水流速度矩不確定性分布的μi與σi取為第3.1節(jié)Monte-Carlo模擬的設(shè)定值，橢球與半定錐不確定集參數(shù)γ1、γ2分別取0.5、0.3。利用ASA算法求解式(10)。

經(jīng)過優(yōu)化計算，得到最小EEOI的DRO-MU航速優(yōu)化結(jié)果，將確定性與不確定性優(yōu)化結(jié)果進行對比(見表2)。

表2 航速優(yōu)化方案對比

由表2所知:采用確定性優(yōu)化與DRO-MU優(yōu)化均能在約束范圍內(nèi)改善船舶EEOI能效特性，但仍存在差異：

1) 兩種不同不確定集半徑(γ1、γ2)取值的DRO-MU優(yōu)化結(jié)果均稍劣于確定性優(yōu)化結(jié)果，原因在于前者考慮了流速的隨機波動與其矩的不確定性，使設(shè)計工況更接近真實情況，得出的結(jié)果雖較確定性優(yōu)化差，但具有更強的環(huán)境魯棒性。

2) 不確定集半徑值(γ1、γ2)的變化對結(jié)果亦有影響，由于該值表達為不確定集的范圍限制參數(shù)，因此其越小，所包含的不確定性信息越少，即所能描述的不確定集越精確，從而設(shè)計工況越接近確定性優(yōu)化。因此,較小的半徑會得到較優(yōu)的EEOI，但相應(yīng)的魯棒性會變差。

5 結(jié)束語

本文考慮水流速度的不確定性影響，針對其隨機性對設(shè)計目標(biāo)進行靈敏度與隨機性分析，然后采用DRO-MU進行最小EEOI航速優(yōu)化設(shè)計。計算結(jié)果表明:該方法能在約束范圍內(nèi)有效改善船舶的EEOI能效特性，且能更好地反映真實情況，更具合理性與優(yōu)越性。然而，所應(yīng)用的流速分布為單純的參數(shù)化概率模型，未以實際水道環(huán)境為背景采集與分析數(shù)據(jù)，與實際情況尚有一定偏差。因此，對實際環(huán)境的真實水流速度進行監(jiān)測、提取，通過數(shù)據(jù)挖掘、建模等手段建立精準的概率分布模型并參與到計算中可作為下一步研究思路。