基于蒙特卡洛法的武器系統標定誤差分析

謝瑞煜，趙建軍，蔣 濤

(1.海軍航空大學， 山東 煙臺 264001; 2.中國人民解放軍91912部隊， 福建 寧德 352000)

按照戰術技術的要求，武器系統在陣地部署時，必須先進行標定。由于地面作戰系統的各設備在陣地上是分散布置的，為完成各車間的目標坐標的傳輸、變換和修正等，作戰裝備間應進行方位、距離和高度差的標定，即確定各車之間的相對距離、相對方位角度和相對高度差。

傳統的標定方法是采用激光測距儀測出相對距離，瞄準望遠鏡加數字羅盤測相對方位角。該方法易受到環境的制約，視線遮擋等限制。為了克服這些缺點，本文采用陀螺儀[1-2]測載體與正北夾角，北斗定位系統(BDS)[3-4]測相對方位角、相對距離和高度差的新方法[5]。在實際標定過程中，由于各種測量手段存在不同程度的誤差，這些誤差會不斷積累[6-9]，會使得武器系統打擊精度下降，影響戰斗力。作為一種隨機抽樣方法，它是通過計算機來產生滿足要求的隨機測量數據來取代實際測量，在產生大樣本的同時減少了工作量，提高了測量可信度中難以得到的數據，從而解決存在的問題。

1 標定誤差分析建模

1.1 相對方位角的標定

1.1.1 相對方位角的標定分析

相對方位角標定是通過兩載體獲得各自北斗定位數據進行計算得到的，具體過程如下：

通過車載差分BDS定位，可以求得載體定位值，即各車的經緯度高程，將定位的兩個載體設為A載體和B載體。

設載體A為當前位置，載體B為目標位置，B與A的連線與正北的夾角即為方位角。Aj為A點經度；Aw為A點緯度；Bj為B點經度；Bw為B點緯度。

北緯為正，南緯為負；東經為正，西經為負；經緯度單位使用度。R為地球平均半徑；Azimuth：方位角。

圖1中A，B，C即表示點，又表示球面上“弧線”在這些點的夾角；a，b，c表示A，B，C三點的對“弧”兩端點與地心連線所夾的角；O為球心；L為AB兩點間球面距離。

圖1 球面示意圖

首先需要用到三面角余弦公式：

cos(c)=cos(a)×cos(b)+sin(a)×sin(b)×

cos(A-OC-B)

(1)

式(1)中,A-OC-B是面AOC與面BOC的二面角，即兩點經度之差。

將已算得AB點經緯度代入式(1)，得：

cos(c)=cos(90-Bw)×cos(90-Aw)+

sin(90-Bw)×sin(90-Aw)×cos(Bj-Aj)

(2)

將角c的余弦值轉換成正弦值，得：

(3)

將角c轉換成角a,需要用到球面正弦公式：

(4)

將式(3)代入式(4)，得：

(5)

需要注意的是：式(5)計算得到的方位角數據有時與方位角的定義不一致，因此要根據相應位置進行討論處理。假設A點固定于原點，則：

B點在第一象限，Azimuth=A；

B點在第二象限，Azimuth=360+A；

B點在第四象限，Azimuth=180-A。

1.1.2 相對方位角的標定誤差源分析

在這個過程中，所測得的數據中存在誤差。首先BDS定位數據受到衛星部分、信號傳播部分以及接收機部分的影響，每一部分中，比如鐘差、電離層對流層折射、多徑效應等都會影響定位的精度。同時接收機的安裝位置也會影響，在實際安裝時，接收機不可能安裝在載體的中心位置，而計算相對距離或方位角都將車體的中心作為計算點，因此在誤差計算時，需要將安裝偏差轉換到經緯度高程中，具體過程如下：

首先建立載體坐標系，在以車體的中心為原點，水平縱向為x軸，水平橫向為y軸，垂直車體為z軸，設接收機的坐標點為[xbybzb]，通過載體坐標系到地理坐標系的轉換公式，得到地理坐標系上的點。

[xnynzn]T=[cosθcosθ1]-1·[xbybzb]T

(6)

式(6)中，[xnynzn]T是轉換到地理坐標系上的坐標θ為載體縱向與正北的夾角，即尋北儀的尋北值，這也是標定中的一項誤差源。

然后轉換到大地直角坐標系，有：

(7)

(8)

式(7)中[xgygzg]T是轉換到大地直角坐標系上的坐標；式(8)中J0、W0是地理坐標系坐標原點的經緯度。

接著轉換到大地直角坐標系，有：

(9)

式(9)中，J′為經度值誤差；W′為緯度值誤差；H′為高程誤差；R為地球半徑。

1.2 相對距離和高度差的標定

經過1.1節的計算，其中式(2)的結果先經過反余弦函數計算得c的度數，再利用角度到弧度的計算公式，化為弧度值，最后與地球半徑的乘積就是AB兩點間的球面距離，公式為：

c=arccos(cos(90-Bw)×cos(90-Aw)+

sin(90-Bw)×sin(90-Aw)×cos(Bj-Aj))

(10)

(11)

L=R×c(弧度)

(12)

式(12)中，L為相對距離。

將式(10)、式(11)代入式(12)得到相對距離值。

相對距離標定的誤差源分析與方位角的類似，這里不再贅述。

高度差即為BDS定位數據中的高程值之差：

H=|HB-HA|

(13)

式(13)中，HA、HB為載體A、B的高程值。

其誤差源為定位誤差和接收機安裝位置偏差，根據式(13)，右邊為定位的高程值，高程值誤差直接導致高度差產生誤差；同時接收機的安裝位置偏差屬于系統誤差，導致接收機的高程值產生系統誤差，從而影響高程差。

2 基于蒙特卡洛法的標定誤差處理

蒙特卡洛法基于伯努利定理及大數定理，在使用其解決問題時，需要通過以下步驟進行：

步驟1 建立該問題的數學模型。

步驟2 按照概率分布進行隨機變量抽取。

步驟3 通過反復抽取的模擬實驗，對獲取的數據進行統計、分析，最終得到問題答案。

在分析標定誤差時，需要知道影響最后標定結果的各個測量值，建立誤差模型為：

ΔY=G(x1+Δx1,x2+Δx2,…,

xn+Δxn)-G(x1,x2,…,xn)

(14)

式(14)中，xi為標定步驟中的各參數真實值；Δxi為各參數的誤差；G為標定計算過程。

設標定求解過程為：

[L,A,H]=G(X)

(15)

式(15)中，L、A、H分別為相對距離、相對方位角和高度差。

則標定誤差模型為：

[ΔL,ΔA,ΔH]=G(X+ΔX)-G(X)

(16)

式(16)中，ΔL、ΔA、ΔH為各自的誤差。

標定誤差計算流程如圖2所示。

圖2 標定誤差流程

3 仿真與分析

3.1 測量及標定結果的仿真

根據實際情況，武器系統在標定過程中涉及到的誤差源設定如表1所示。設定載體B與載體A同型號，安裝的接收機與尋北儀相同，載體A、B接受機和尋北儀誤差相同。設定載體A大地坐標系中的定位坐標為(110,20,10)，尋北值為30°；載體B定位坐標為(110.01,20.01,13)，尋北值為32°。根據表1中各個參數的概率形態生成隨機序列長度為1 000隨機序列。

表1 仿真計算采用的數據

通過仿真計算，得到基于蒙特卡洛法的1 000次測量值分布圖如圖3所示。

圖3 車載接收機和尋北儀測量值

根據標定模型計算得到相應的標定值，即相對方位角、相對距離和高度差。如圖4所示。

圖4 相對方位角、相對距離和高度差

由圖4可以看出，相對方位角、相對距離和高度差的誤差服從于μ=0的正態分布，相對方位角誤差在-0.16°～0.18°之間，相對距離誤差在-0.14～0.17 m之間，高度差誤差在-0.32～0.39 m之間。

3.2 各部分誤差和偏差對標定結果影響的仿真

1) 接收機信號誤差對標定誤差的影響

接收機信號誤差對標定誤差的影響圖圖5、6所示。

圖5、6中顯示接收機接收的經緯度誤差從-1×10-6度增加到1×10-6度，高程誤差從-0.2 m到0.2 m，標定誤差的變化。隨著接收機的經緯度誤差的增大，標定的誤差絕對值呈上升趨勢。在方位角標定中，經度是正相關，誤差平均上升1×10-7度，方位角誤差增加3×10-4度；緯度是負相關，誤差平均上升1×10-7度，方位角誤差絕對值增加3×10-4度。在距離標定時，經度誤差平均上升1×10-7度，距離誤差增加7.2×10-3m；緯度誤差平均上升1×10-7度，距離誤差絕對值增加8.2×10-3m；高程誤差的影響小于定位隨機誤差，出現散點，可以忽略不計。在高度差標定時，高程誤差平均上升0.02 m，高度差誤差增加0.2 m。

圖5 經緯度誤差對方位角和距離的影響

圖6 高程誤差對距離和高度角的影響

2) 接收機安裝位置偏差對標定誤差的影響

接收機安裝位置偏差對標定誤差的影響如圖7所示。

圖7 接收機位置偏差對方位角、距離和高度差的影響

圖7中顯示接收機安裝位置x軸、y軸和z軸偏差從 -2 m增加到2 m，標定誤差的變化。隨著接收機安裝位置偏差的增大，標定的誤差絕對值呈上升趨勢。在方位角標定中x軸是正相關，偏差平均上升0.2 m，方位角誤差增加5.5×10-3度；y軸是負相關，偏差平均上升0.2 m，方位角誤差絕對值增加5.1×10-3度。在距離標定時，x軸偏差平均上升0.2 m，距離誤差增加0.137 m；y軸偏差平均上升0.2 m，距離誤差減小0.125 m；z軸偏差平均上升0.2 m，誤差可以忽略不計。在高度差標定時，只有z軸偏差有影響，偏差平均上升0.2 m，高度差誤差增加0.2 m。

3) 尋北儀誤差對標定誤差的影響

尋北儀誤差對標定誤差的影響如圖8所示。

圖8中顯示尋北儀誤差從-0.2°增加到0.2°，標定誤差的變化。隨著尋北儀誤差的增大，標定的誤差絕對值呈上升趨勢。在方位角標定中，尋北儀的誤差是負相關，誤差平均上升0.02°，方位角誤差絕對值增加1×10-5度。在距離標定時，尋北儀誤差的影響小于定隨機誤差，出現散點，可以忽略不計。

圖8 尋北儀誤差對方位角和距離的影響

按照上述的仿真結果，尋北儀的誤差可以忽略不計。將測量誤差的范圍統一到米級,經緯度誤差范圍為-1×10-5度到1×10-5度(1×10-5度的誤差距離為1 m左右)，經、緯度誤差導致的方位角誤差為0.03°，接收機x、y軸安裝位置偏差則為0.027 5°；經、緯度導致的距離誤差為0.72 m，接收機x、y軸安裝位置偏差則為0.685 m；高程誤差與接收機z軸安裝位置偏差都為1 m。因此影響相對方位角和相對距離的主要因素是經緯度誤差和接收機x、y軸安裝位置，但前者影響均稍大于后者；而高程和接收機z軸安裝位置影響高度差相同。

4 結論

1) 采用陀螺儀加衛星定位進行標定的方法能有效降低標定誤差；

2) 影響相對方位角和相對距離的主要因素是經緯度誤差和接收機x、y軸安裝位置，但前者影響均稍大于后者；影響高度差的主要因素是高程和接收機z軸安裝位置，兩者影響相同。