立體幾何中的易錯題歸類剖析

■河南省沈丘縣第一高級中學 趙向前

一、求幾何體的外接球時，易忽視球的幾何性質

考點指南：球的問題是平面圖形圓的立體化、空間化問題,圓的考點在高中側重解析幾何問題的考查,即與圓的方程有關的問題,高中圓的幾何特性(幾何圖形的外接圓)主要體現在空間幾何體的外接球的知識方面,即求解與幾何體的外接球有關的問題時,需要把立體球轉化為平面圓進行分析,考查層次屬于有難度的問題。

例1 一個幾何體的三視圖如圖1所示,求該幾何體外接球的表面積。(單位：c m)

圖1

解題分析：根據題意知該幾何體是一個圓錐,其軸截面是邊長為2c m的正三角形,則幾何體及其外接球的直觀圖如圖2所示。由題可知軸截面△PAB為正三角形,球心O為正三角形的重心,根據三角形重心的知識,則PO∶OO'=2∶1。又O'為AB的中點,所以在R t△PAO'中,所以

圖2

因為△PAB是正三角形,PO=AO,則外接球的半徑為所以圓錐的外接球的表面積

考查意圖：本題主要考查同學們的空間想象能力、空間問題平面化能力及計算能力。雖然本題是求解外接球的表面積,但是在求解球的半徑時,需要逐步進行,故對運算邏輯也是有考查的。

復習建議：由于高考是選拔性考試,考題定位“源于課本,考查分析問題與求解問題的能力”,學習中,應立足教材,對教材中的核心題型,比如求三棱錐的外接球,只有做好歸納總結,步驟細化,有了基本方法的掌握,才能在解決柱體、錐體的問題中做到熟練掌握與應用。

變式練習1：如圖3,在四棱錐P-ABCD中,面PAB⊥面ABCD,△PAB是等邊三角形,四邊形ABCD為矩形,邊長AB=2,AD=4,求四棱錐P-ABCD的外接球的體積。

圖3

解題分析：如圖4,構造四棱錐P-ABCD的外接球O,因為△PAB為正三角形,正△PAB的外接圓為☉O2,根據三角形重心的知識,則PO2∶O2E=2∶1。

圖4

因為AB=2,所以則

在矩形ABCD中,AO1是對角線的一半,所以R t△OO1A中,,即四棱錐P-ABCD的外接球O的半徑為

二、判斷線面關系時，易忽視幾何載體或空間幾何常識的應用

考點指南：有關線面關系的問題,屬于考題中的小題部分,出題靈活,考查點線面的空間位置關系,在分析過程中,需要借助不同的幾何體或線面關系去呈現,考生在做題時,由于線面垂直、平行及判定性質(八大定理)同時出現,易脫離幾何載體或忽略幾何常識。在簡易邏輯問題上,條件的考查對考生來說比較抽象,特別是p是q的什么條件,或p的什么條件是q等知識的考查,屬于基礎題型中易于出錯的部分。

例2 設m,n是平面α內的兩條不同直線,l,s是平面β內兩條相交直線,則α⊥β的一個充分不必要條件是( )。

圖5

解題分析：本題給出空間中兩線兩面,從線面關系去證明面面垂直,需要考慮證明面面垂直的基本方法,就是線面垂直的判定定理或直二面角知識。如圖5中,α,β斜交,知A,D選項錯誤,直線l⊥a。圖6中,α,β斜交,m⊥l,n⊥s,知C選項錯誤。B選項是線面垂直的判定定理,故B選項正確。

圖6

考查意圖：簡易邏輯中的條件結合空間點線面知識,屬于基礎問題的綜合,體現知識的交叉情況,立足空間幾何直觀和幾何載體,注重對考生基礎能力、基本方法應用能力的考查。

復習建議：在基礎問題方面,緊扣數學核心知識及考點,準確掌握概念,平時注重常規問題的分析,簡單不出錯,拿準分才是考生應該鍛煉的。

變式練習2：已知不同的直線l,m,n,平面α,β,γ,則下列關于線面關系的說法中正確的是( )。

解題分析：A選項中的直線l與直線n之間還存在平行、相交、異面的情況;B選項正確,直線重合的情況,在本題不會出現,考生不用糾結;選項C、D中的兩個平面可能存在平行、垂直、相交的情況。

三、證明平行問題時，易忽視經典平行證明方法的應用

考點指南：線面的平行問題,是高考立體幾何問題中的核心證明問題,與線面垂直處于同樣重要的地位。在人教A版《數學必修2》中,關于線面平行有兩個判定定理與兩個性質定理。雖然可以用向量證明平行與垂直問題,但高考中的立體幾何解答題,其第一問一般考查平行與垂直,主要用定理去證明,應用時,結合具體問題,平行因素體現在比例或中點問題上。方法一,構造面面平行;方法二,通過中位線、比例、平行四邊形證明線線平行。

例3 如圖7,P是平行四邊形ABCD平面外一點,M,N分別是PA,BD上的點,且求證：MN∥平面PDC。

圖7

解題分析：由題知,該圖形可看作四棱錐

如圖8,在AD上取一點Q,滿足,即Q是AD的三等分點,連接MQ,NQ。在△ADP和△DAB中,MQ∥PD,NQ∥AB。

圖8

在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,所以NQ∥CD。

又MQ∩NQ=Q,CD∩PD=D,所以面MNQ∥面PCD。

又MN?面MNQ,所以MN∥面PCD。

考查意圖：本題通過比例給出條件去求證平行,對比中點問題,考生易構造中位線在面內尋找線線平行,但通過構造面面平行,用面面平行的判定定理是比較好的方法。本題考查考生對平行問題的常見證明方法的理解與應用情況。

復習建議：立體幾何是高考的必考點,在解答題型中證明問題與求解問題屬于中等難度題型,對比圓錐曲線與函數問題,考生易得分,復習時要熟練掌握基本定理,解題時步驟要寫詳細,保證得分點突出。注意經典題型與構造問題,做好積累歸納。

變式練習3：如圖9,在四棱錐P-ABCD中∠BAD= ∠ABC=90°,E是PD的中點。證明：直線CE∥面PAB。

圖9

解題分析：如圖10,在四棱錐P-ABCD中,取AD的中點F,連接∠ABC=90°,則四邊形ABCF為正方形,所以AB∥CF。

圖10

在△PAD中,EF是中位線,故PA∥EF。

又AB∩PA=A,EF∩FC=F,所以面PAB∥面EFC。

又直線CE?面EFC,所以直線CE∥面PAB。

四、應用向量法求空間角時，易忽視坐標系的建立

考點指南：立體幾何屬于高考中等難度的問題,考生易得分,空間問題的求解比證明復雜一些,在2010年之前,求解空間角常采用直接構造,對空間想象能力要求比較高,難度比較大,近些年,考查思路轉化到代數方法,就是用空間向量去求解,空間向量的運算比構造角的三角形計算,計算量小一些,對考生的考查進一步體現數學的基礎性、工具性。建立空間坐標系,通過向量運算證明空間垂直問題,不可小看。

例4 如圖11,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PF⊥BF。求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

圖11

解題分析：由已知的垂直條件可得PF⊥BF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF。

又線BF?面ABFE,所以平面PEF⊥平面ABFD。

過點P作PH⊥平面ABFD,則點H在平面PEF與平面ABFD的交線EF上,過H在面ABFD上作HQ⊥EF,以H為坐標原點,以HQ,HF,HP所在直線為坐標軸,建立空間坐標系,如圖12所示。

圖12

由于F為正方形的邊BC的中點,設BF=1,則PF=1,DP=2,DE=1。

在R t△PED中

在△PEF中,PE2+PF2=EF2,所以△PEF是直角三角形。

設直線PD與平面ABFD所成角為θ,

所以PD與平面ABFD所成角的正弦值是

考查意圖：本題通過翻折,把正方形問題轉化為空間幾何問題,通過翻折前后的垂直關系,考查線面垂直的證明與應用,求解線面角時,可采用直接構造線面角,難度在于垂線的分析,即垂足位置,采用空間坐標系,考查點的坐標的求解,經典的直角三角形求邊長,是不容忽視的問題。

復習建議：在坐標系建立問題上,梳理歸納考題中的垂直因素：①線面垂直,可以直接用;②面面垂直,融合等腰的中點問題,采用三線合一;③空間幾何體,出現斜棱柱或者翻折問題,抓住垂直問題的證明去建立垂直。

圖13

變式練習4：如圖13,在等腰△ABC中,D,E,F分別是AB,AC和BC邊的中點,∠ACB=120°,現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖14。

(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;

(2)求二面角E-DF-C的余弦值。

解題分析：(1)如圖14,在△ABC中,由E,F分別是AC,BC的中點,得EF∥AB。又AB?平面DEF,EF?平面DEF,所以AB∥平面DEF。

圖14

圖15

(2)以點D為坐標原點,直線DB,DC,DA為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖15所示。設CD=a,則AC=BC則

取平面CDF的法向量為m=(0,0,1),設平面EDF的法向量為n=(x,y,z),則

所以二面角E-DF-C的余弦值為

變式練習5：如圖16,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC。

圖16

(1)求證：BC⊥ 平面PAC;

(2)當D為PB的中點時,求AD與平面PAC所成的角的正弦值。

解題分析：(1)因為PA⊥底面ABC,所以PA⊥BC。

又∠BCA=90°,所以AC⊥BC。

所以BC⊥平面PAC。

(2)因為D為PB的中點,DE∥BC,所以三角形,所以

在 R t△ABC中,∠ABC=60°,所以

由(1)知BC⊥平面PAC,所以DE⊥平面PAC,垂足為點E,所以∠DAE是AD與平面PAC所成的角。

因為PA⊥底面ABC,所以PA⊥AB。

又PA=AB,所以△ABP為等腰直角

在 R t△ADE中