基于晶體塑性理論研究鋁材料高壓高應變率下的強度特性

潘 昊,王升濤,吳子輝,胡曉棉

(北京應用物理與計算數學研究所，北京 100094)

金屬材料在軍事、航空航天、汽車等領域有廣泛的應用，它在沖擊加載條件下的彈塑性變形行為一直被關注。沖擊加載條件下，材料往往受到強烈的載荷作用，處于高壓、高應變率狀態，動態力學特性與靜態存在顯著差別[1-2]。隨著檢測技術的發展，發現金屬材料在高速加載下具有復雜的動力學響應特征，如：單晶Al材料在極端加載條件下可能會發生孿晶[3]，多晶Al材料的強度在高應變率104s-1以上的加載下會大幅增加[4]。另外，也發現在動態加載下金屬材料的織構也會隨著加載方向及載荷水平發生變化[5]。

為了從理論上描述金屬材料在動態加載條件下的力學行為，早期研究基于對實驗數據的數學歸納建立了多種宏觀本構模型，如MTS模型、JC模型、SG模型等[6-8]，但這些模型中基本沒有考慮材料的微結構及其演化，沒有從材料塑性變形的物理本質上描述材料的動力學行為，很難普適地描述材料在不同加載條件下的動力學行為。為此，越來越多的本構模型嘗試從材料塑性變形的微觀機理出發，對位錯運動、孿晶演化和硬化機制進行描述，并通過體積平均、自洽場平均等平均化方法得到宏觀應力和應變、應變率、溫度等參數的關系[9-11]。晶體塑性理論就是其中的代表，且已成為研究材料準靜態力學行為的重要方法[12]。該方法從描述晶體的滑移系運動過程出發，將材料的宏觀塑性變形和微觀的位錯運動相聯系。但該方法對材料在高速變形下彈性變形過程及位錯運動描述不夠準確，主要原因包括：(1)大多只考慮應力張量與應變張量的線性關系，這種處理方法適用于體積應變比較小、壓力小于1 GPa、溫度為常溫的情況。在沖擊加載下，晶體絕熱壓縮且有熵增，溫升較高，并且體應變相對較大，此時線彈性假設就不再適用，需要考慮溫度對彈性變形的影響。(2)位錯動力學模型較為簡單，指數型經驗形式的位錯動力學方程只適用于準靜態或低應變率加載的情況，對于高壓、高應變率加載并不適用。(3)硬化形式考慮不充分，以前的模型大多只考慮了應變硬化，未考慮壓力的硬化和溫度的軟化過程。

針對這些不足，已經開展了一定研究，包括：Clayton[13]基于歐氏應變，通過對三階彈性常數進行變換，實現了更高壓力下的晶體彈性變形過程的描述；Austin等[14]和Mayer等[15]分別提出了適用于沖擊加載下位錯運動和增值過程的演化方程；Lloyd等[16]采用一維差分方法，對單晶和多晶Al材料的沖擊波傳播過程進行了模擬。這些研究為基于晶體塑性理論描述材料沖擊加載下的力學性能變化提供了有益的幫助，但也存在如位錯動力學部分描述過于復雜、只有基于一維加載過程的建模、缺乏對更高壓力加載下材料強度及織構演化過程的描述等缺點。

本文中，基于經典晶體塑性理論，針對金屬材料在高壓、高應變率下的塑性變形特點，采用高階的歐拉彈性方程和更合理的位錯動力學模型和硬化模型，建立充分考慮材料微結構演化的熱彈-黏塑性理論模型。和傳統的晶體塑性模型相比，本文中的模型不僅能更準確地描述材料在高壓下的動態力學行為，也更適用于更大的應變率范圍。采用該模型也研究了單晶、多晶Al材料在高壓、高應變率加載下強度變化特征和織構演化規律。

1 熱彈-黏塑性晶體塑性模型

晶體塑性理論已經有了多種研究框架[17-19]，本文中在Kalidindi等[20]的晶體塑性模型基礎上，針對高壓、高應變率的加載情況，采用高階歐拉彈性方程，同時考慮熱激活和聲子拖曳的位錯運動模型，并考慮加工硬化，壓力硬化和溫度軟化，建立了單晶體的熱彈-黏塑性晶體塑性模型。

晶體的變形梯度張量可以分解為彈性變形和塑性變形兩部分[20]：

F=FeFp

(1)

式中：Fe和Fp分別表示彈性和塑性部分的變形梯度張量。塑性變形梯度的演化可以表示為：

(2)

式中：Lp為塑性速度梯度張量。 只考慮位錯滑移對塑性變形的貢獻，則：

(3)

1.1 彈性變形方程

歐氏應變的定義為：

(4)

基于歐氏應變，同時考慮熵增Δη對應力的影響，第二Piola-Kirchhoff應力張量為[13]：

(5)

(6)

1.2 位錯動力學

1.2.1位錯運動

位錯運動及演化過程是晶體滑移變形的核心過程，位錯滑移運動的控制機制包括短程作用和長程作用。所謂短程作用是指克服由位錯交互作用所形成的障礙，晶格的熱振動過程有助于克服該障礙，此時的位錯運動受熱激活過程控制。長程作用是指位錯、析出相質點和晶界等引起的長程內應力，此時的位錯運動主要受聲子的拖曳作用[22]。同時考慮熱激活機制和聲子拖曳機制時，位錯滑移的平均速率可以表示為：

(7)

式中：λ是材料內部長程作用的長度，為0.1～10 μm；tTA是熱激活過程特征時間，tD是聲子拖曳的特征時間。根據Arrhenius方程：

(8)

式中：ve是有效的越過障礙的頻率，k是玻爾茲曼常數，G是活化自由能。G可以表示為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(7)可以改寫為：

(14)

1.2.2位錯演化

沖擊加載下，材料會產生更多的位錯，根據位錯理論，并非所有的位錯都對滑移系的剪切應變有影響，位錯可分為可動和非可動位錯兩部分。各部分的增值及湮滅過程如下[15,24]：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：ρI是非可動位錯密度，ρD是可動位錯密度，η為經驗系數，一般取η=0.1，εD=8 eV/b，vI是位錯合并時的特征速度，d表示材料的平均晶粒尺寸，ka是位錯湮滅因子。

1.2.3硬化

根據Taylor關系[25]，材料的剪切力與位錯滿足：

(21)

式中：τβ是初始狀態下應力值，與晶格的阻礙和材料的夾雜相關，β表征位錯糾纏的長程相互作用系數，G為剪切模量。根據SG本構模型，有：

G=G0[1+dpV1/3-h(T-300)]

(22)

以上模型所采用的參數分別為：λ=0.1～10 μm[22],k=1.38×10-23J/K,ve=1010～1011s-1[22],b=2.86×10-7mm[14],g0=0.65[14],ρ=2.7 g/cm3,θ0=427 K,h=6.626×10-34J·s,cb=5 150 m/s,η=0.1,εD=8 eV/b[16,24],vI=5 m/s[24],ρ0=10-7cm-1[24],ka=10[24],d=10 μm[24],β=1.638[14],G0=25.2 GPa,τβ=27.627 GPa[14]。

1.3 多晶本構模型

由晶體塑性模型可以給出各個晶粒的物理性質(應力應變結果)，將各晶粒的應力應變關系擴展至多晶，則需要滿足多晶材料取向分布特征的同時，還要滿足晶粒與晶粒之間變形協調條件和晶界處的應力平衡條件。本文中所用求解方法包括Taylor模型和晶體塑性有限元模型，兩種模型的具體實現過程如下。

1.3.1Taylor模型[26]

令所有的晶粒在加載過程中擁有同樣的變形梯度，根據樣品初始的織構分布函數，給出每個晶粒的初始取向(φ0,θ0,ω0)及旋轉矩陣Q0，通過旋轉變化計算各個晶體的初始彈性常數和Grüneisen系數等，再由單晶體的晶體塑性方程，求解每個晶粒在當前變形梯度下的應力及新的取向(φ,θ,ω)，令總的應力為多個晶粒的平均，就可以得到多晶材料的應力應變關系：

(23)

式中：N為需要統計的晶粒數，V為各晶粒的體積。該模型比較適合于簡單加載條件，滿足變形協調條件，但并不滿足應力平衡條件。相關研究[27-28]表明，對于FCC、HCP多晶材料的簡單拉伸及壓縮變形問題，在不考慮晶粒間的滑移作用下，Taylor模型中所作的假設仍近似成立，獲得的應力應變關系和織構演化與其他模型的結果基本一致。

1.3.2晶體塑性有限元模型(crystalplasticityfiniteelementmethod,CPFEM)[20]

將晶體塑性模型作為有限元程序的一個材料模塊， 1個晶粒可以由1個或多個單元構成，通過有限元計算，獲得多晶體材料在邊界載荷的作用下，整體和局部的變形以及與其他介質的相互作用。在計算過程中，可通過改變界面之間的滑移線(面)類型，模擬晶粒之間的相互作用如滑移、摩擦等。為簡單起見，本文中假設晶粒與晶粒是束縛滑移，暫不考慮晶粒之間的滑移作用。有限元方法保證了計算單元之間是滿足變形協調和應力平衡的，因此該模型中各晶粒之間也滿足變形協調和應力平衡條件。CPFEM能夠靈活地施加邊界條件，較為適用于多晶材料的復雜沖擊-卸載問題。

2 結果與討論

2.1 位錯速度與剪應力的關系

采用上述同時考慮熱激活效應和聲子拖曳效應的模型計算了Al材料的位錯滑移速度和剪應力之間的關系，并將結果和實驗結果以及只考慮熱激活效應、只考慮聲子拖曳效應的模型的計算結果進行了對比，如圖1所示。

本文模型的計算得到的位錯滑移速度在100～400 MPa的壓力下都能和實驗結果較好吻合，而只考慮熱激活效應或聲子拖曳效應，所得位錯滑移速度將不能很好吻合實驗結果。若只考慮熱激活效應，在剪應力較低時，計算得到的位錯速度與實驗結果較為接近；但當剪應力較大時，模型計算得到的位錯速度偏高，和實驗結果之間的差距隨著剪應力的增加而逐漸變大，甚至可以超過剪切波速，與物理規律不符。若只考慮拖曳效應，在剪應力較低時，模型計算得到的位錯速度較實驗結果明顯偏高。

圖1 不同模型的Al材料位錯滑移速度和剪應力及與實驗結果比較Fig.1 Dislocation glide speed-shear stress curves of Al materials by different theoretical models compared with experimental results

2.2 Al材料剪切強度

采用上述模型，模擬了單晶鋁材料在<100>、<110>和<111>加載方向上的剪切強度隨壓力變化的情況，加載應變率為105s-1。計算得到的剪切強度隨加載壓力的關系如圖2所示，圖中散點為文獻[29]的實驗數據，可見本文中計算的不同壓力下單晶Al 材料的剪應力與實驗結果符合較好。另外，當Al材料發生塑性變形后，不同加載方向的剪切強度都隨壓力的增加而單調增加。但在相同加載壓力下，不同加載方向的剪切強度大小不同，其中<100>加載方向上剪切強度最低，<110>方向上剪切強度最高，<111>方向上的剪切強度介于兩者之間?？梢姡词箤τ趯ΨQ性較高的FCC 晶體，其單晶材料也具有明顯的各向異性。

進一步，在獲得單晶材料力學特性的基礎上，采用Taylor假設，模擬了500個晶粒(隨機取向)的多晶Al材料剪切強度隨加載壓力的變化，如圖3所示。加載條件為一維應變加載，D(2,2)=105s-1，即只在y方向受壓，而其余方向為固支約束。由圖3可見，本文中模擬的剪切強度-壓力的關系與實驗結果[30-31]符合較好。另外，圖3中還給出了Austin等[32]的計算結果，圖中點劃線和虛線分別表示其模型預測的Al材料剪切強度的上下界。和該模型相比，本文模型采用了高階歐拉應變描述材料的彈性變形，能更準確地描述高壓下的剪切強度。綜合來看，本文發展的熱彈-黏塑性晶體塑性模型能比較準確地預測Al材料在高壓、高應變率加載條件下的力學行為。

圖2 單晶Al材料剪切強度隨加載壓力的變化Fig.2 Effect of loading pressure on shear strength of single-crystal Al materials

圖3 多晶Al材料剪切強度隨加載壓力的變化Fig.3 Effect of loading pressure on shear strength of polycrystalline Al materials

2.3 織構演化規律

采用上述晶體塑性模型，對一維應變沖擊加載下Al 材料織構的變化情況進行了研究，加載條件仍為D(2,2)=105s-1。圖4 是500個晶粒{101}方向上織構(初始為隨機織構)隨加載壓力的變化情況，可見隨著加載壓力的增加，織構發生了一定程度的變化，特別是當加載壓力大于20 GPa 后，織構的變化更為明顯。這表明，即使只有一個方向能夠變形，在沖擊加載下，Al 材料的晶體同樣會發生旋轉，出現晶體擇優取向的現象。更深層次上，導致晶體旋轉的主要原因是剪切變形，在一維應變沖擊加載下，有效塑性變形應約占總變形的2/3，當壓力較高、相應的剪切變形較大時，晶體的擇優取向效應更明顯。

圖4 多晶Al材料不同加載壓力下的織構演化結果Fig.4 Texture evolution of polycrystalline Al materials under different loading pressures

3 結 論

針對典型金屬材料在高溫、高壓加載條件下的力學響應，基于晶體塑性理論建立了熱彈-黏塑性晶體塑性模型。該模型同時考慮了熱激活效應和聲子拖曳效應，并采用了適用于中高應變率加載的位錯運動及硬化方程，能更加準確地描述金屬材料在不同加載壓力下的彈塑性變形過程。采用該模型研究了加載方向對單晶鋁材料剪切強度的影響，結果表明單晶鋁材料具有明顯的各向異性。最后，研究了多晶Al材料在沖擊加載條件下織構的演化過程，發現即使在較低的壓力下，織構也會發生擇優取向，在更高的壓力下，織構的擇優取向更加明顯。本文中所做的研究主要針對以位錯滑移為主要變形機制的Al材料，尚未考慮孿晶等其他塑性變形機制，將在后續研究中予以考慮。