基于自助擴(kuò)充法的數(shù)控機(jī)床可靠性建模研究

聶 萌 張海波

(東北電力大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，吉林吉林132012)

數(shù)控機(jī)床可靠性建模是對(duì)機(jī)床可靠性評(píng)估的前提。在制造業(yè)水平不斷提高的現(xiàn)狀下，機(jī)床的可靠性也大大提高，想獲得大量的故障數(shù)據(jù)實(shí)屬不易，導(dǎo)致大部分的機(jī)床故障數(shù)據(jù)屬于小樣本數(shù)據(jù)，而在小樣本數(shù)據(jù)下運(yùn)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法，結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大的偏差。本文采用改進(jìn)的自助擴(kuò)充法彌補(bǔ)數(shù)據(jù)不足的缺陷，進(jìn)而提高了建模的精確性，對(duì)可靠性建模具有一定的實(shí)踐意義。

當(dāng)前，數(shù)據(jù)建模的方法有很多。申桂香等[1]針對(duì)小樣本類型的故障數(shù)據(jù)，先計(jì)算出威布爾分布模型，再采用參數(shù)偏差修正法修正威布爾分布模型，雖然修正后的威布爾模型更接近經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，但在故障數(shù)據(jù)小于3時(shí)無(wú)法修正。Anderson-Cook[2]等提出了將系統(tǒng)數(shù)據(jù)、零件數(shù)據(jù)和子系統(tǒng)數(shù)據(jù)與專家判斷結(jié)合的貝葉斯方法，并應(yīng)用于戰(zhàn)略導(dǎo)彈系統(tǒng)的可靠性建模中。任麗娜等[3]基于模型參數(shù)、蒙特卡洛仿真誤差、BGR診斷原理及DIC信息準(zhǔn)則和可靠性指標(biāo)后驗(yàn)估計(jì)的區(qū)間長(zhǎng)度，提出了數(shù)控機(jī)床貝葉斯可靠性模型的綜合評(píng)價(jià)方法，為貝葉斯不完全維修模型的模型選擇提供了參考依據(jù)。錢浩[4]提出了將Bootstrap與Bayes計(jì)算方法相結(jié)合并運(yùn)用改進(jìn)的Bootstrap-Bayes計(jì)算方法，通過(guò)對(duì)比分析驗(yàn)證了基于Bootstrap-Bayes可靠性建模方法的可行性，并運(yùn)用Visual Basic6.0軟件進(jìn)行數(shù)控機(jī)床的可靠性評(píng)估，使其過(guò)程更加精準(zhǔn)快捷且更利于數(shù)據(jù)的對(duì)比分析。孫慧玲等[5]針對(duì) Bayes Bootstrap方法進(jìn)行了改進(jìn)，其原理是在不改變?cè)瓨颖緮?shù)據(jù)的基礎(chǔ)上將樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了自助擴(kuò)充，再利用Bayes Bootstrap方法對(duì)擴(kuò)充數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，但此方法只對(duì)參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)進(jìn)行了計(jì)算，并未對(duì)參數(shù)σ進(jìn)行考量。本文應(yīng)用改進(jìn)的自助擴(kuò)充法增加每組故障數(shù)據(jù)的擴(kuò)充數(shù)量，運(yùn)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法進(jìn)行建模，最后結(jié)合具體的實(shí)例數(shù)據(jù)加以分析說(shuō)明。該方法對(duì)于數(shù)控機(jī)床的小樣本可靠性建模具有一定的工程應(yīng)用意義。

1 經(jīng)典算法的可靠性模型

(1)數(shù)控機(jī)床可靠性數(shù)據(jù)的收集

先將收集到的故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分類處理，計(jì)入符合的數(shù)據(jù)，再將數(shù)據(jù)排列與分組。具體步驟不做詳細(xì)介紹。

(2)建立威布爾分布模型

指數(shù)分布雖然計(jì)算簡(jiǎn)單便捷，但在早期故障期間失效率不是恒常數(shù)會(huì)影響建模的精確性；正態(tài)分布通常適用于金屬材料的疲勞分析模型；威布爾分布的適用性很廣，不但適用于各種形狀的參數(shù)，而且可以表達(dá)多種可靠性的指標(biāo)。所以本文在用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)建模時(shí)采用威布爾分布。

兩參數(shù)威布爾分布的失效分布密度為:

兩參數(shù)威布爾分布失效分布函數(shù)為:

兩參數(shù)威布爾分布可靠度函數(shù)為:

兩參數(shù)威布爾分布失效率函數(shù)為:

其中:t為時(shí)間；α為尺度參數(shù)；β為形狀參數(shù)。

(3)運(yùn)用軟件進(jìn)行可靠性指標(biāo)評(píng)價(jià)

通過(guò)運(yùn)用Matlab軟件編程計(jì)算平均故障間隔時(shí)間(MTBF)、尺度參數(shù)(α)、形狀參數(shù)(β)。

2 自助擴(kuò)充法

自助擴(kuò)充法其中心思想是在不改變?cè)瓨颖緮?shù)據(jù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)充樣本數(shù)據(jù)。自助擴(kuò)充法來(lái)源于改進(jìn)的Bayes Bootstrap方法。改進(jìn)的Bayes Bootstrap方法通常分為兩種，第一種是對(duì)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)提出改進(jìn)意見，重新構(gòu)造更為合理的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)[6]；第二種是對(duì)小樣本的Bootstrap抽樣方法進(jìn)行改進(jìn)，目的在于調(diào)整抽樣方法，增大樣本容量[7]。本文對(duì)Bootstrap抽樣方法方法提出了改進(jìn)意見，新方法是在Bootstrap抽樣方法的基礎(chǔ)上增加抽樣數(shù)量。孫慧玲曾提出改進(jìn)的Bootstrap抽樣方法是在每組故障樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)充兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)，并對(duì)小樣本的可靠性參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，但其方法在計(jì)算故障間隔時(shí)間中效果不顯著。所以本文將每組樣本數(shù)量n擴(kuò)充為2n-1個(gè)應(yīng)用于計(jì)算故障間隔時(shí)間，并通過(guò)實(shí)例分析證明該方法的正確性。

2.1 Bootstrap法的基本思想

(1)樣本數(shù)據(jù) X＝ (x1，…，xn)，xi～ F ( x)，i＝ 1，2，…，n。樣本數(shù)據(jù)組成的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如下:

其中:x1，…，xn是從小到大的順序統(tǒng)計(jì)量。

(2)從Fn中抽取N組樣本。方法如下:

①計(jì)算機(jī)在區(qū)間0～M中生成隨機(jī)數(shù)η；

②令 i＝η%n；

③在觀測(cè)值中找到對(duì)應(yīng)下標(biāo)為i的樣本xi作為再生樣本x?，則x?為所需的隨機(jī)樣本。則自助樣本為其中 j＝1，…，n。

(3)計(jì)算:

(4)在給定Fn的條件下，利用Rn的分布近似Tn的分布，可得到N個(gè)θ(F)，那么未知參數(shù)的θ的分布、特征值就可用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)方法求出[5]。

2.2 改進(jìn)的Bootstrap抽樣方法

假設(shè)x1，x2，…，xn屬于機(jī)床簡(jiǎn)單隨機(jī)故障樣本數(shù)據(jù)，將 n個(gè)故障樣本數(shù)據(jù)分成 K組，組距 m＝1+3.322log n。進(jìn)而確定數(shù)控機(jī)床故障樣本數(shù)據(jù)的分組為:

θ1＝ (x1，…，xm)， θ2＝ (xm+1，…，x2m)， …， θm＝(xn-m+1，…，xn)，把分組數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充。步驟如下:

(1)首先將 θ1＝ ( x1，…，xm)中的數(shù)據(jù)從小到大排列即 θ1＝ ( x1，…，xm)。 對(duì)觀測(cè)值xi進(jìn)行數(shù)據(jù)擴(kuò)充得到如下鄰域:

其中 i＝2，…，n-1，q≥2。

(2)在鄰域Π1中取x0，同理在其他鄰域內(nèi)也能取到一個(gè)擴(kuò)充數(shù)據(jù)，所以每組數(shù)據(jù)可以擴(kuò)充m-1個(gè)數(shù)據(jù)。

(3)重復(fù)上述兩個(gè)步驟計(jì)算每個(gè)分組。

(4)將K組擴(kuò)充后的數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)合并作為再生樣本。運(yùn)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法對(duì)再生樣本求解各參數(shù)。

3 實(shí)例驗(yàn)證

對(duì)7臺(tái)某型號(hào)的數(shù)控機(jī)床進(jìn)行為期半年的觀測(cè)，共得到61個(gè)故障數(shù)據(jù)。7臺(tái)數(shù)控機(jī)床的編號(hào)分別為Y1，Y2，…，Y7，如表1所示。將7組數(shù)據(jù)混合從小到大排列用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法計(jì)算MTBF和α與β，并以此為基準(zhǔn)，再用自助擴(kuò)充法和直接用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法計(jì)算7組數(shù)據(jù)與基準(zhǔn)比對(duì)，從而證明自助擴(kuò)充法在工程應(yīng)用上的可行性與精準(zhǔn)性。

表1 數(shù)控機(jī)床故障數(shù)據(jù)

以61個(gè)數(shù)據(jù)為大樣本數(shù)據(jù)，利用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法建立兩參數(shù)威布爾分布模型，得到分布模型參數(shù)如下:α＝1 204.5，β＝1.245 8，MTBF?＝1 122.7 h。 再用自助擴(kuò)充法分別建立Y1，Y2，…，Y7七組數(shù)據(jù)的威布爾分布模型。以Y1為例，采用自助擴(kuò)充法計(jì)算各參數(shù)值，首先用自助擴(kuò)充法擴(kuò)充Y1機(jī)床的樣本數(shù)據(jù)，得到新生成的故障數(shù)據(jù)即 Z1＝(12.83，63.5，186.67，189.5，215.5，302，537.5， 639.5， 839.25， 908.167， 945.5， 1 264.25， 2 332.5，2 246.17，2 490.67，2 591.5，2 894)。 再采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)算法對(duì)故障數(shù)據(jù)Z1進(jìn)行計(jì)算得到MTBF＝1 323.9 h，α＝1 135.7，β＝0.770 1，因此可得到機(jī)床 Y1的可靠度函數(shù)為:

失效率函數(shù)為:

根據(jù)公式(8)和(9)繪制可靠度函數(shù)和失效率函數(shù)擬合曲線，如圖1和圖2所示。

以計(jì)算機(jī)床Y1故障數(shù)據(jù)的方法為例，用改進(jìn)的Bootstrap抽樣方法和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法依次計(jì)算Y2～Y7的故障數(shù)據(jù)，其參數(shù)估計(jì)值見表2所示。

表2 兩種方法的可靠性模型參數(shù)

將表2中的參數(shù)代入公式(10)中，計(jì)算相應(yīng)的MTBF，以MTBF?＝1 122.70 h為基準(zhǔn)，計(jì)算 ΔMTBF結(jié)果見表3所示。基準(zhǔn)、自助擴(kuò)充法、經(jīng)典建模法的MTBF曲線圖見圖3。

表3 MTBF的相對(duì)誤差

從表3和圖3中可以看出，采用改進(jìn)的Bootstrap抽樣方法計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差明顯小于直接用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法的相對(duì)誤差，其中相對(duì)誤差最大減小了15.78%，由此證明了改進(jìn)的自助擴(kuò)充法建立的可靠性模型誤差較小，能得到較準(zhǔn)確的可靠性模型，且驗(yàn)證了改進(jìn)的Bootstrap抽樣方法的可行性，并具有一定的工程應(yīng)用意義。

4 結(jié)語(yǔ)

(1)如今數(shù)控機(jī)床故障數(shù)據(jù)多數(shù)屬于小樣本數(shù)據(jù)，而本文提出的自助擴(kuò)充法，是在不改變?cè)拘颖緮?shù)據(jù)的情況下將故障數(shù)據(jù)擴(kuò)充成大樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)而運(yùn)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法進(jìn)行計(jì)算，這樣不但簡(jiǎn)化了小樣本應(yīng)用Bayes法建模的復(fù)雜性，而且提高了計(jì)算結(jié)果的精確性。

(2)本文以實(shí)際監(jiān)測(cè)機(jī)床的故障數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，分別采用改進(jìn)的Bootstrap抽樣方法和直接用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法進(jìn)行計(jì)算并對(duì)比分析，結(jié)果表明采用改進(jìn)的Bootstrap抽樣方法計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差明顯小于直接用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法的相對(duì)誤差，相對(duì)誤差最大減小了15.78%，為小樣本故障數(shù)據(jù)在可靠性工程建模中提供了一定的指導(dǎo)意義。

.知識(shí)窗.

自動(dòng)起動(dòng)器(automatic starter；autostarter)一種自動(dòng)起動(dòng)和切換發(fā)電系統(tǒng)，它的備用發(fā)電機(jī)通過(guò)自動(dòng)功率切換控制單元和電站負(fù)載相聯(lián)接。它是利用按鈕或其他類似器件發(fā)出一初脈沖后，起動(dòng)器就能按正確的程序自動(dòng)執(zhí)行各種起動(dòng)操作，例如把動(dòng)電阻逐級(jí)切斷。

自動(dòng)排水器(automatic water trap)能夠自動(dòng)排除已分離出的水分和污物的裝置。

自動(dòng)控制器(automatic controller；automatic re-gulator；controller)一種連續(xù)地測(cè)量變量或狀態(tài)的值，然后能自動(dòng)地作用到一個(gè)控制裝置以校正受控部分偏離所需預(yù)定值的任何偏差的儀器。亦稱自動(dòng)調(diào)節(jié)器。