嚴(yán)格α2對角占優(yōu)M矩陣A的估計式的改進

周 平

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院， 云南 文山 663099)

引 言

(1)

其中

2016年，在文獻[15]中給出了優(yōu)于式(1)的結(jié)果：

(2)

其中

1 符號、定義和引理

為了便于后文的探討，先給出如下記號：

記N={1,2,…,n}，Rn×n是全體n×n階實矩陣構(gòu)成的集合.設(shè)A=(aij)∈Rn×n，對任意的i,j,k∈N，j≠i，令

定義2[2]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，如果A的所有元素aij≥0，那么A就叫做非負矩陣，記為A≥0。

如果存在α∈[0,1]，致使A中的元素滿足|aii|>Ri(A)αCi(A)1-α，i∈N，則A就叫做嚴(yán)格α2對角占優(yōu)矩陣。

引理1[5]設(shè)A=(aij)∈Rn×n為嚴(yán)格對角占優(yōu)M矩陣，則

引理2[10]設(shè)A,B∈Rn×n,A,A-B非奇異，則有

(A-B)-1=A-1+A-1B(I-A-1B)-1A-1。

2 主要結(jié)果

下面應(yīng)用文中第一部分給出的引理和矩陣分裂的技術(shù)給出嚴(yán)格α2對角占優(yōu)M矩陣的逆矩陣無窮范數(shù)的新估計式，進而獲得其最小奇異值的估計式。

定理1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格α2對角占優(yōu)M矩陣,α∈(0,1],如果

N1={i∈N:Ri(A)>Ci(A)}≠φ

證明令矩陣A=B-F，這里B=(bij)∈Rn×n是SDD矩陣，F(xiàn)=diag(fij)∈Rn×n且是非負的，其中

由于A為嚴(yán)格α2對角占優(yōu)M矩陣，所以有

|aii|>Ri(A)αCi(A)1-α=

近年來，由于草莓果醬、果酒等加工品的出現(xiàn)，使得草莓不僅限于鮮食，亦傾向于果品加工。草莓在溫暖的天氣中生長較快，因此大部分地區(qū)，都有草莓的栽培。但傳統(tǒng)的栽培技術(shù)草莓的產(chǎn)量較低，尤其是北方地區(qū)，冬季的氣溫較低，草莓無法繼續(xù)生長，若采用設(shè)施栽培等保護地的方式，草莓一直生長在適宜的環(huán)境中，能提高草莓的產(chǎn)量，筆者簡述了豐產(chǎn)栽培技術(shù)，以期為草莓的豐產(chǎn)種植提供參考。

Ri(A)·Ri(A)α-1Ci(A)1-α=

當(dāng)i∈N1時，

當(dāng)i?N1時，

Ri(A)=Ri(B)

從而由定義1知，矩陣B是嚴(yán)格對角占優(yōu)M矩陣。

進而結(jié)合引理2和引理3知

證明由文[16]中的定理2.1知

則

即

同理可證

從而ζ(B)≤κ，進而有

故該定理結(jié)論成立。證畢。

推論1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格α2對角占優(yōu)M矩陣,α∈(0,1],如果

N1={i∈N:Ri(A)>Ci(A)}≠φ

推論2設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格α2對角占優(yōu)M矩陣,α∈(0,1],如果

N1={i∈N:Ri(A)>Ci(A)}≠φ

由于本文給出的定理1與文獻[15]中的定理2不便于從理論上作比較，但可從下面的例子發(fā)現(xiàn)文中定理1的結(jié)果優(yōu)于文獻[15]給出的結(jié)果，在一定程度上提高了估計的精確度。

3 數(shù)值算例

由A中的元素知|a6,6|=R6(A)=38，當(dāng)取α=0.95時，根據(jù)定義1和定義3知，A為嚴(yán)格α2對角占優(yōu)M矩陣，下面把矩陣A分裂為A=B-F的形式，其中