考慮間隙的擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析與仿真

富威，崔運(yùn)山，吳瓊，李淵明

哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

艦炮供彈系統(tǒng)作為艦炮武器系統(tǒng)的重要組成部分，其供彈速率、多彈種兼容性以及穩(wěn)定性和可靠性都直接影響了整個(gè)艦炮武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)。而擺彈機(jī)構(gòu)[1-2]在艦炮供彈系統(tǒng)中占有舉足輕重的地位。

由于裝配、加工誤差的存在及運(yùn)動(dòng)副之間運(yùn)動(dòng)的需要，實(shí)際擺彈機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副之間必然留有間隙，而間隙會(huì)導(dǎo)致擺彈機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度下降；并使擺彈臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生一定程度沖擊和振動(dòng)，進(jìn)而影響整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性[3-5]。因此需要對(duì)含間隙的擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，了解間隙對(duì)擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，為未來(lái)新型擺彈機(jī)構(gòu)的具體設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 含間隙的擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 含間隙的擺彈機(jī)構(gòu)模型簡(jiǎn)化

為了研究運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)擺彈機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性的影響，需要對(duì)現(xiàn)有艦炮擺彈機(jī)構(gòu)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，明確需要研究的含間隙的運(yùn)動(dòng)副數(shù)量和形式[4, 6-8]。由于擺彈機(jī)構(gòu)的擺彈動(dòng)作主要由曲柄、連桿、齒條和擺彈臂4部分參與，可將擺彈機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為由該4部分組成的簡(jiǎn)化機(jī)構(gòu)模型。簡(jiǎn)化后的擺彈機(jī)構(gòu)原理圖如圖1所示。

圖1 含間隙的擺彈機(jī)構(gòu)原理

由于曲柄與連桿以及連桿與齒條之間的聯(lián)接是用銷(xiāo)軸來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此這兩處的間隙較大，且對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性的影響較為明顯(此處忽略了齒輪齒條安裝精度的影響)。由于齒條通過(guò)精密滾珠導(dǎo)軌與機(jī)架相連，運(yùn)動(dòng)時(shí)側(cè)向與運(yùn)動(dòng)方向間隙較小，因此忽略了齒條與機(jī)架之間的運(yùn)動(dòng)間隙。

1.2 坐標(biāo)系與廣義坐標(biāo)的選取

如圖2所示建立了艦炮擺彈機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系。為方便計(jì)算，建立了x-y和X-Y這2個(gè)坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系y軸夾角為30°。通過(guò)機(jī)構(gòu)分析可知，該機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度w=3×6-2×7-1=3，擬采取曲柄與y軸的夾角α1，以及2個(gè)無(wú)質(zhì)量桿件e1、e2與y軸的夾角α2、α4為廣義自由度。

圖2 含間隙的擺彈機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

在處理后的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖中：e1、e2分別為2個(gè)間隙的長(zhǎng)度；s1、s2、s3、s4分別為曲柄、連桿、齒條和擺臂的質(zhì)心；l1、l2分別為曲柄和連桿的長(zhǎng)度；r為擺彈臂不完全齒輪的半徑；ls1、ls2、ls3、ls4分別是曲柄、連桿、齒條和擺臂質(zhì)心到轉(zhuǎn)動(dòng)起點(diǎn)的距離。主要研究對(duì)象為擺臂與豎直方向的夾角θ、擺臂角速度ω5、角加速度ε5與廣義自由度之間的關(guān)系。

2 考慮間隙的擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析

2.1 含間隙的擺彈機(jī)構(gòu)各構(gòu)件質(zhì)心位置分析

由于運(yùn)動(dòng)副間隙較小且接觸和分離的時(shí)間都很短，為了簡(jiǎn)化模型，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)副始終處于接觸的狀態(tài)，將間隙轉(zhuǎn)化為無(wú)質(zhì)量的桿件，整個(gè)模型即可轉(zhuǎn)化為無(wú)間隙的多自由度的多桿機(jī)構(gòu)(如圖2所示)，通過(guò)對(duì)各桿件受力分析，并結(jié)合牛頓歐拉法就可以推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程[5, 9-12]。

擺彈機(jī)構(gòu)中各點(diǎn)的坐標(biāo)在兩坐標(biāo)軸下的關(guān)系為

(1)

根據(jù)閉環(huán)矢量法，可以得到如式(2)的方程：

(2)

擺彈臂與齒條的運(yùn)動(dòng)關(guān)系為

(3)

由式(2)可得

(4)

計(jì)算曲柄、連桿、齒條及擺彈臂質(zhì)心在x-y坐標(biāo)系下的s1、s2、s3、s4坐標(biāo)：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中xA、yA分別是耳軸中心A在坐標(biāo)系x-y中的分量。

由式(4)可知，連桿的轉(zhuǎn)角α3是廣義坐標(biāo)α1、α2、α4的函數(shù)，因此可得：

(9)

式中：ω3為連桿的角速度；ω1為曲柄的角速度；ω2為桿件e1的角速度；ω4為桿件e2的角速度。

分別對(duì)式(5)～(8)求一階導(dǎo)數(shù)可以得到曲柄、連桿、齒條擺彈臂質(zhì)心s1、s2、s3、s4在坐標(biāo)系x-y下的質(zhì)心速度。同理對(duì)其求二階導(dǎo)，可以得到擺彈機(jī)構(gòu)曲柄、連桿、齒條和擺彈臂質(zhì)心的加速度推導(dǎo)的各構(gòu)件質(zhì)心加速度方程，可以得到8個(gè)運(yùn)動(dòng)約束方程，將擺彈機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)約束方程寫(xiě)成約束矩陣的形式如下

式中ε1、ε2、ε4分別為曲柄、無(wú)質(zhì)量桿e1和無(wú)質(zhì)量桿e2的角加速度。

通過(guò)上述計(jì)算過(guò)程，求得了擺彈機(jī)構(gòu)各組件的質(zhì)心速度、質(zhì)心加速度、角速度和角加速度等參數(shù)與廣義坐標(biāo)α1、α2、α4之間的關(guān)系，通過(guò)設(shè)定初始條件，各組件的長(zhǎng)度和初始角度、角速度、角加速度等參數(shù)，進(jìn)行計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真可以得到需要的運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線(xiàn)圖，同時(shí)計(jì)算所得的質(zhì)心速度和角速度表達(dá)式也可以為動(dòng)力學(xué)分析提供依據(jù)。

2.2 擺彈機(jī)構(gòu)各構(gòu)件受力分析

運(yùn)用連續(xù)接觸模型進(jìn)行擺彈機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，將間隙轉(zhuǎn)化為無(wú)質(zhì)量的桿件，在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，無(wú)質(zhì)量的桿件對(duì)力的傳遞沒(méi)有影響。因此，運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理進(jìn)行動(dòng)態(tài)靜力分析時(shí)，忽略無(wú)質(zhì)量桿件的影響，對(duì)各構(gòu)件進(jìn)行受力分析，列出構(gòu)件的力平衡方程和力矩平衡方程，并根據(jù)上一小節(jié)求得的各構(gòu)件質(zhì)心加速的方程，求得構(gòu)件的各約束力方程。

分析擺彈機(jī)構(gòu)各構(gòu)件受力時(shí)，分別將機(jī)架、曲柄、連桿、齒條和擺彈臂一次標(biāo)號(hào)為1、2、3、4、5。通過(guò)分析可以得到如圖3所示的擺彈機(jī)構(gòu)各桿件受力分析圖。

(a) 曲柄受力分析

(b) 連桿受力分析

(c) 齒條受力分析

(d) 擺臂受力分析圖3 齒條和擺臂受力分析

根據(jù)圖3(a)所示的曲柄受力分析結(jié)果，應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列出其動(dòng)態(tài)靜力學(xué)分析平衡方程如下：

式中：M2為曲柄質(zhì)量；as1x、as1y為曲柄質(zhì)心加速度在x軸和y軸的加速度分量；Is1為曲柄繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；M1為曲柄的驅(qū)動(dòng)力矩。連桿的受力分析圖如圖3(b)所示，應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列出其動(dòng)態(tài)靜力學(xué)分析平衡方程如下：

式中：M3為連桿質(zhì)量；as2x、as2y為連桿質(zhì)心加速度在x軸和y軸的加速度分量；Is2為連桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

齒條的受力分析圖如圖3(c)所示，由于齒條受到整個(gè)機(jī)架導(dǎo)軌的約束，其約束反力應(yīng)分布沿齒條分布。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將連桿和機(jī)架對(duì)齒條的約束反力的作用點(diǎn)選取在齒條的質(zhì)心s3處。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列出其動(dòng)態(tài)靜力學(xué)分析平衡方程如下：

式中：M4為齒條質(zhì)量；Ff為齒條受到的摩擦阻力；as3x、as3y為齒條質(zhì)心加速度在x軸和y軸的加速度分量。

擺彈臂的受力分析圖如圖3(d)所示，應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列出其動(dòng)態(tài)靜力學(xué)分析平衡方程為：

式中：M5為擺彈臂質(zhì)量；Is4為擺臂繞質(zhì)心s4的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；as4x、as4y為擺彈臂質(zhì)心加速度在x軸和y軸的加速度分量。

通過(guò)對(duì)擺彈機(jī)構(gòu)4個(gè)構(gòu)件的受力分析，可以得到11個(gè)力平衡方程。將各構(gòu)件的受力平衡方程整理成矩陣的形式如下：

(10)

式中：c代表cos；s代表sin；其他字母的含義同上文。

聯(lián)立擺彈機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)約束方程(9)、力平衡方程矩陣(10)和式(3)，可以得到整個(gè)擺彈機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)約束矩陣。取輸出量F12x、F12y、F23x、F23y、F34x、F34y、F14x、F45y、F15x、F15y、as1x、as1y、as2x、as2y、as4x、as4y、a3、ε1、ε3、ε5為輸出，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行建模和仿真，可以得出擺彈機(jī)構(gòu)在力矩作用下的鉸間作用力曲線(xiàn)，各構(gòu)件的質(zhì)心加速度、速度和位移曲線(xiàn)相關(guān)曲線(xiàn)以及各構(gòu)件角加速度、角速度和角位移曲線(xiàn)等，從而可以直觀地觀察間隙大小的變化對(duì)擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

3 考慮間隙的擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真

3.1 擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真模型的建立

根據(jù)實(shí)際建模的參數(shù)，可以得到擺彈機(jī)構(gòu)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 擺彈機(jī)構(gòu)各構(gòu)件參數(shù)

運(yùn)用MATLAB/Simulink模塊進(jìn)行數(shù)值求解，可以得到擺彈機(jī)構(gòu)擺彈機(jī)構(gòu)在輸入力矩作用下的動(dòng)力學(xué)曲線(xiàn)[13-16]。

仿真過(guò)程中曲柄的驅(qū)動(dòng)力矩為M1，α1的初始角度為30°，α3的初始角度為165.5°，α5的初始角度為150°；廣義坐標(biāo)α2、α4的角加速度為定值，分別為3π、π；仿真步長(zhǎng)為0.001 s，仿真時(shí)間為0.8 s；分別取間隙e1、e2、e3長(zhǎng)度為0 mm、0.5 mm和1 mm進(jìn)行仿真。

仿真時(shí)主要研究間隙e1、e2的大小變化對(duì)擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。通過(guò)多次仿真試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩為1 450 Nm時(shí)，擺彈臂能夠在0.8 s內(nèi)向上旋轉(zhuǎn)100°。取M1=1 450 Nm，e1、e2為0 mm、0.5 mm和1 mm(為方便仿真，取e1=e2)進(jìn)行仿真，并將仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比和分析。

3.2 擺彈機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果分析

為方便對(duì)比，將仿真結(jié)果進(jìn)行處理，集成到以擺彈臂角加速度、擺彈臂角速度和擺彈臂角位移3張圖中，對(duì)比擺彈臂在不同間隙情況下，擺彈臂的角加速度、角速度和角位移的變化情況。擺彈臂在不同間隙下的角加速度曲線(xiàn)、角速度曲線(xiàn)和角位移曲線(xiàn)分別如圖4～6所示。

圖4 擺彈臂在不同間隙下的角加速度曲線(xiàn)

圖5 擺彈臂在不同間隙下的角速度曲線(xiàn)

圖6 擺彈臂在不同間隙下的角位移曲線(xiàn)

從圖4中可以看出，當(dāng)間隙e1、e2均為0.5 mm時(shí)，擺彈臂的角加速度會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)，在0.25 s左右角加速度曲線(xiàn)基本與無(wú)間隙的仿真曲線(xiàn)重合；當(dāng)間隙e1、e2均為1 mm時(shí)，在0.35 s左右角加速度曲線(xiàn)基本與無(wú)間隙的仿真曲線(xiàn)重合。該結(jié)果說(shuō)明鉸間間隙會(huì)在擺彈臂啟動(dòng)瞬間會(huì)對(duì)其角加速度產(chǎn)生較大的影響，且間隙越大影響越明顯，影響時(shí)間越長(zhǎng)。

對(duì)比圖5、6所示的擺彈臂在不同間隙下的角速度和角位移曲線(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，鉸間間隙對(duì)擺彈臂的角速度和角位移的影響并不是很大，整個(gè)曲線(xiàn)與不含間隙時(shí)的角速度和角位移曲線(xiàn)基本重合。

4 結(jié)論

利用含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模與分析方法，對(duì)考慮鉸間間隙的擺彈機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，推導(dǎo)出了考慮鉸間間隙情況下擺彈機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，并列出了擺彈機(jī)構(gòu)的力平衡方程和運(yùn)動(dòng)約束方程；在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用MATLAB/Simulink模塊對(duì)含間隙的擺彈機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明：

1)擺彈機(jī)構(gòu)鉸間間隙會(huì)對(duì)擺彈臂角加速度產(chǎn)生較大的影響，且間隙越大影響越明顯，影響時(shí)間越長(zhǎng)；

2)擺彈臂的角速度和角位移受鉸間間隙的影響程度較低。