泰勒公式在數值分析中的應用

徐會林

（贛南師范大學 數學與計算機科學學院， 江西 贛州341000）

泰勒公式是高等數學的重點內容，也是難點內容之一，在數學的各個領域中均有重要的應用價值.泰勒公式不僅可以用于證明等式、證明不等式、計算極限、求行列式以及求近似值等［1-2］，還可用于數值分析中的算法設計及誤差分析等［3-5］.

1 泰勒公式教學及應用特點

泰勒公式比較抽象，難以理解，學生很難吃透泰勒公式的實質，更談不上對泰勒公式的靈活運用，因此，泰勒公式一直是高等數學教學中的一個難點.為了使學生更好的理解泰勒公式的思想，已有很多論文就泰勒公式的教學進行了積極的探討［6-7］.

泰勒公式的實質是在展開點附近用多項式近似函數，這種近似是局部的，其優點是可以利用多項式代替函數進行近似計算.正是因為如此，泰勒公式在數值分析中有著廣泛的應用價值.為了使學生認識到泰勒公式的重要性，激發學生的學習興趣，本文總結了泰勒公式在數值微分、數值積分、常微分方程數值解等問題中的應用.

2 泰勒公式的應用

首先，給出常見的泰勒公式.設函數f(x)在區間(a,b)內具有n+1 階導數，x0∈(a,b)，則對任意x∈(a,b)，有：

其中Rn(x)為余項，常見的余項有佩亞諾型、拉格朗日型、積分型及柯西型余項［8］.記n 次泰勒多項式為Pn(x)，則有f(x)=Pn(x)+Rn(x).事實上，泰勒多項式也可理解為是滿足帶導數的插值條件的插值多項式：

也稱為泰勒插值多項式［3］.

2.1 泰勒公式在數值微分中的應用

設步長h>0，分別將函數f(x+h)和f(x-h)在點x 泰勒展開，可得：

由此可得近似一階導數的向前差分公式：

另一種近似求導的方法是通過計算如下積分來實現的［9］：

將函數f(x+t), t∈［-h， h］在x 點泰勒展開，可得：

即：

2.2 泰勒公式在數值積分中的應用

設F(x)為f(x),的原函數，即F′(x)=f(x), x∈［a， b］，由牛頓-萊布尼茨公式可知：

將F(x)在點x=a 泰勒展開，可得：

其中a＜ξ6＜6. 將（6）式代入（5）式，可得：

由此可得左矩形求積公式：

分別將x=a 和x=b 代入（7）式，并相減可得：

其中a＜ξ7＜b.由此可得中點求積公式：

2.3 泰勒公式在常微分方程數值解中的應用

考慮一階常微分方程初值問題：

的數值解.在區間［a,b］上構造等距離散節點：

步長為h，即xn=x0+nh, n=0, 1,…, N.所謂數值解就是計算未知函數y(x)在離散節點上的近似值yn≈y(xn).將y(x)在xn點泰勒展開，可得：

由此可得求解常微分方程的歐拉法：

假設yn是準確的，即yn=y(xn)，則（8）式減（9）式可得：

此時，稱（10）式為歐拉法的局部截斷誤差［10］.泰勒公式還可用于構造龍格-庫塔方法等線性單步法以及線性多步法的公式，并分析公式的局部截斷誤差.下面，以辛普森方法［3］：

為例，借助泰勒公式分析它的局部截斷誤差.假設（11）式右端的近似值均取準確值，則有：

分別將y(x)和y′(x)在xn點泰勒展開，可得：

當k=5 時，在（13）式中取x=xn+2，在（14）式中分別取x=xn+1和x=xn+2，代入（12）式可得辛普森公式的局部截斷誤差為：

此外，泰勒公式還可用于分析求解非線性方程的不動點迭代法的收斂速度［3］，在此不再贅述.

3 結語

本文給出了泰勒公式在數值微分、數值積分、常微分方程數值解等數值問題中的應用.泰勒公式不僅可以用于構造數值算法，還可用于分析數值算法的誤差，在數值分析中有著廣泛的應用價值.通過本文的分析，可以使學生感受到泰勒公式的應用價值，認識到泰勒公式的重要性.