F 分布的Excel 構建與模擬

F 分布（F-distribution）是一種常見的概率分布，在方差分析的統計推斷中占有重要位置.它的定義是這樣的：設從某正態分布總體N(μ, σ2)中隨機抽取樣本容量為n1和n2的兩個獨立樣本，其樣本方差分別則定義這兩個方差的比值為F，即：

在具體的教學過程中，如果對上述內容，尤其是對F 分布曲線的特征簡單地進行敘述和羅列，一方面難以激發學生的學習興趣，另外一方面也不利于他們對F 分布的深入理解.近年來，筆者與同事們在教學過程中，利用Excel 軟件中的函數公式、圖表繪制以及VBA 編程功能（Visual Basic for Application），對生物統計學當中的一些內容進行模擬或構建，取得了不錯的教學效果［2-5］.本文繼續以Excel 2010 為例，采用2 種方法對F 分布曲線分別進行構建和模擬，以供參考.

1 利用函數進行構建

Excel 2010 中的F.DIST（F, df1, df2, FALSE）函數可以用來計算某F 值以及df1和df2條件下的概率密度.利用該函數對F 分布曲線進行構建時，其數據輸入格式如圖1 所示.在A 列中自A4 單元格以下輸入≥0的數字以表示F 值，本文中以0.1 為間隔，即0.0、0.1、0.2、…；在第1 行中自B 列開始輸入正整數以表示df1，本文中以2、3、10、…為例；在第2 行中自B 列開始輸入正整數以表示df2，本文中以2、10、20、…為例；在B4 單元格中輸入“=F.DIST($A4,B$1,B$2,FALSE)”，并將此函數公式向右、向下復制填充，一張特定F值以及df1和df2條件下的概率密度表格便生成了；然后對所得概率密度與A 列的F 值進行繪圖，便可得到相應的F 分布曲線（見圖2）.該文件生成后，只需要任意修改表格第1、2 行中的自由度取值，便可以在課堂上動態地展示F 分布曲線隨自由度df1和df2變化而變化的規律特點， 從而達到激發學生學習興趣、提高教學效果之目的.

圖1 Excel 函數輸入示例

圖2 不同自由度的F 分布曲線

2 利用VBA 編程進行模擬

2.1 模擬步驟

Excel 中的NormInv(Rnd(),0,1)函數可以生成一系列服從標準正態分布N(0,1)的隨機數字，正好可以用來模擬F 分布的抽樣過程.

第1 步：打開Excel 2010，新建一個電子表格，在當前工作表的A1 至A4 單元格中分別輸入“自由度df1=”“自由度df2=”“抽樣次數=”以及“組距=”；在B1 至B4 單元格中輸入合適的數字以表示相應的自由度、抽樣次數和組距（本文分別以10、20、10 000、0.2 為例）；在C1 至I1 單元格中分別輸入“F 值”“組限”以及“頻率”等（見圖3）.

第2 步：按Alt+F11 進入Visual Basic 編寫界面，雙擊左側的Sheet1 圖標，進入代碼編寫界面，把本文附錄中的VBA 代碼拷貝進去（見圖4）.然后關閉代碼編寫界面進入工作表界面，將文件另存為啟用宏的文件類型（*.xlsm）即可.

圖3 模擬步驟第1 步的輸入結果

圖4 Excel 中VBA 代碼的輸入

第3 步：為宏運行設置快捷鍵.按Alt+F8 鍵或點擊菜單欄的“視圖→宏→查看宏”后選定“Sheet1.sql”，再點擊“選項(O)…”，在快捷鍵對話框里填寫字母“q”后確定即可.

2.2 模擬結果

當按下快捷鍵Ctrl+q 時，Excel 便開始執行模擬程序.首先是在C 列和D 列自第2 行往下分別生成n1(= df1+1)和n2(=df2+1)個服從標準正態總體N(0, 1)的隨機變量.本文中以df1=10、df2=20 為例，故在C2 至C12 單元格中生成11 個隨機變量表示n1、在D2 至D22 中生成21 個隨機變量表示n2.然后利用VAR 函數計算n1的方差和n2的方差分別存放在單元格E2 和F2 當中；再將便可得到一個F值，存放在G2 單元格中.若將上述過程重復10 000 次（B3 單元格中的數字，本文中以10 000 為例），便可生成10 000 個和F 值，被相應地依次存放在E、F、G 這3 列的第2 行至第10 001 行當中.

在VBA 代碼中，利用ROUNDUP(MAX())和ROUNDDOWN(MIN())這兩個復合函數對G 列中的F 值的最大值與最小值分別向上向下取整數，以統計F 值的分布范圍，并據此設置組限，數據存放在H 列中；再利用FREQUENCY 函數進行頻次統計，所得的各組的頻率存放在I 列中；最后對I 列中的結果繪制柱狀圖，其結果如圖5 所示.任意修改B1、B2 單元格中的自由度取值，該柱狀圖便會相應地發生改變，從而可以動態地展示F 分布隨df1和df2變化而變化的基本規律.從圖5 中可以看出，F 值的頻率分布變化趨勢與圖2 中的概率密度曲線的變化趨勢是基本一致的.

圖5 不同自由度的F 頻率分布

3 結語

頻率與概率之間的關系，實際上就是樣本統計數與總體參數的關系.上述的第1 種方法，即利用F.DIST 函數對F 分布曲線進行構建，恰恰就是對F 分布總體的描述.該方法的優點是分布曲線圓滑美觀，運算速度快，不影響正常的教學節奏，便于課堂上展示；其不足之處在于未能體現抽樣過程，也就不便于學生深刻理解F 分布的內涵.利用VBA 編程對F 分布進行模擬則可以很好地彌補這一不足之處.在VBA 模擬中，學生可以根據運算程序去梳理F 分布的由來.通過任意修改模擬參數，可以查看不同自由度、不同抽樣次數以及不同組距下的F 頻率分布，這種交互式體驗必定有助于加深學生對該分布的理解.理論上，當圖3 中B3 單元格中的抽樣次數無限大、B4 單元格中的組距無限接近于0 時，圖5 就與圖2 相一致.在實際應用時，一方面Excel 無法滿足抽樣次數無限大的要求；另一方面，抽樣次數過大也會使得運算過程耗時過長.VBA 代碼中，最大抽樣次數設置為65 535，已然可以滿足模擬的基本要求，取得很好的模擬效果.所以，建議在課堂上采用第1 種方法輔助教學，將第2 種方法留給學生課下自行模擬，這種課上課下相結合的教學方式，必能激發學生的學習興趣，提高教學效果.

4 附錄（VBA 代碼）