指向數學核心素養培養的數量估算教學設計

周月霞

核心素養著力于人的發展，是學生應具備的，為其終身發展和社會發展所需的必備品格和關鍵能力。在這些關鍵能力中，估計是重要的數學能力之一，也被認為是數感的重要組成部分。Beishuizen認為，快速而相對準確的估計能力有兩個重要作用：一是可以讓學生通過其他方式檢查自己答案的合理性；二是可以幫助學生發展較好的位值理解、數學操作和一般數感。數量估算是一種有關數字判斷的數學問題解決形式，是靈活運用數學知識的一種適應性問題解決方式。數量估算是在沒有足夠時間數出物體的數量，或要數的物體數量過大，或對非靜止的物體根本無法做出計數的情況下做出的一種粗略估計，是一種高層次的認知加工過程。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》只提到估算與估測，而沒有提及估數，對于與學生對數和量的理解及其數感的發展密切相關的量的估算，包括測量估算和數量估算也強調得不夠。然而，在整個數學教育領域正從強調計算走向強調問題解決和推理能力的今天，量化估算能力的發展更能有效地促進學生數感的發展。

一、內容梳理

數量估算是數值估算的一種形式，是在不數數的情況下采取某種策略對所呈現的集合給出一個近似的基數值的能力，其本質是通過數字判斷解決數學問題，人們通常所說的“大約是多少”就屬于數量估算。小學階段的數量估算主要涉及如下頁圖1所示的教學內容。

這些數量估算一般安排在數的認識之后的練習或實踐活動中，往往需要借助基本的計數單位“十”“百”“萬”等來進行翻倍估計，或借助已有的長度單位、質量單位、時間單位等“第三方”來進行轉換估計，或借助生活中學生熟悉的參照物“一把”“一杯”等來進行比對估計，呈現出如下圖2所示的認知建構過程。

圖1 小學階段數量估算主要內容

圖2 數量估算認知建構過程

二、目標架構

從學生數感培養和估數方法提升的角度，上述數量估算內容的教學目標設定如下表1所示。

表1 小學階段數量估算教學目標

三、過程推進

數量估算被看作靈活運用數學知識的一種適應性問題解決方式。根據這一界定，如果僅僅只是數學知識掌握得好而不懂得靈活運用，在完成數量估算任務時也會感到困難。估數過程中學生注意力的集中度與持久性也會對估數的結果產生直接影響，這就要求教學活動要能激發和調動學生的多感官參與，并關注方法的選擇和策略的生成。

（一）借助計數單位，在操作中感受估數的樂趣

低年級學生的身心發展處于初期階段，教師必須注意把握這一關鍵期，向他們充分展示估算的魅力，激發其好奇心。動手操作是解決數學學科的抽象性與低年級學生以具體形象思維為主的思維水平之間矛盾的重要手段，有利于學生借助直觀建立表象而形成概念。如蘇教版一下“認識100以內的數”單元安排了如下圖3所示的練習。課后還可以引導學生利用這樣的數量估算經驗估一估一沓作業本的數量、一把糖果的數量等，這將有助于提高學生的實踐能力。這樣的活動，一方面能強化學生對計數單位“十”的表象的建立，另一方面可以使學生初步感受估數的活動，了解估數的意思。

（圖3）

（二）依據參照物，在對比中發現估數的奧秘

隨著學生認識的數逐漸變大，估數的難度也逐漸增大，這時，學生需要通過動手操作、親身體驗等來形成對較大數的估算能力。蘇教版一下“認識100以內的數”單元后面安排了一節綜合與實踐活動課《我們認識的數》。筆者教學如下圖4所示的例題時設計了三大環節，帶領學生經歷了“估數—驗證—反思—調整—再估數”的過程，使學生對百以內數的實際大小形成了更為清晰的認識，對估數的方法和估數中的一些規律有了初步的感悟，對數量的感知水平也得到了進一步提高。

（圖4）

首先，筆者設計“指導抓法，確定標準”作為估數的準備環節，通過讓學生試著抓一抓，了解到每個學生對“抓一把”的理解有很大不同，有的抓得太滿，有的是用手托著，還有的為了盡可能抓多一些，就用兩只手捧了一把。標準不統一，相關估數活動就沒有意義。于是，教師及時出示下圖5，讓學生對圖中的三種不同抓法進行討論，明確哪一種抓法更恰當。

（圖5）

在此基礎上，筆者帶領學生“以他人為參照，初次嘗試估數”，通過抓前估一估、抓后數一數、比完想一想這樣的方式，明晰要跟合適的對象進行比較，以同學的數據為參照，同時發現抓同樣的物品，其數量多少與手的大小有關，從而提升學生的估數能力和靈活判斷能力。

抓一把蠶豆的數量為后續教學提供了可參考的標尺。學生開始“以自己為參照，再次體驗估數”。他們帶著估計抓一把蠶豆大約有多少粒的經驗，繼續估計抓一把花生米的數量。通過追問“你是怎樣估的？能分享你的方法嗎？”，讓學生體會到同一個人抓不同的物體，抓的數量不同。

隨著活動的推進，學生就可以“以方法為抓手，靈活估計”。所有學生都能估計出抓黃豆的數量會更多。推理能力強、數感好的學生甚至能根據蠶豆、花生與黃豆的大小關系非常接近地估計出它們的粒數。由于每個人的手大小不同、抓法稍有差異，對估計的結果是否接近不做更高要求。通過這樣的實踐活動，既可以使學生感受到數量估算在生活中無處不在，也滲透了估算方法學習。

（三）依托度量單位，在轉化中發展估數的能力

學習千以內的數、萬以內的數，甚至億以內的數，再讓學生去圈一圈、數一數顯然已經不適合了。那么，較大的數如何讓學生感受它的大小，如何在生活中估算它的大小呢？這時，就需要打通數學各領域之間的知識，借助量來表達數的大小。例如：教學蘇教版四下的綜合與實踐活動課《一億有多大》，筆者帶領學生完整地經歷了“建立標準—依次推算—單位轉換—感受大小”的估算過程，使他們深入體會一億的大小，感受實際應用中數量估算方法的適切性、靈活性，提高了他們的估算能力。

1.數一數：數一億本練習本大約需要多長時間？

師生合作，記錄數100 本練習本的時間，作為推算的參照。

獨立推算數10000 本、1000000 本、100000000 本所需的時間。

借助計算機計算數一億本練習本需要幾年。

從一開始的不以為然到越算越驚訝，學生對一億到底有多大有了更深刻的體悟，也對借助時間來感受數量的大小這一方法有了初步的認識。

2.量一量：30 層大樓大約高100 米，一億枚硬幣摞起來會有30 層樓高嗎？

先猜一猜，很多學生因為有了前面的體驗，對一億有多大有了些敬畏之心，所以都猜比30層大樓高。

合作測量10 枚硬幣摞起來高幾厘米，以此作為參照進行推算。

獨立計算100 枚、10000 枚、1000000 枚、100000000 枚硬幣摞起來的高度。

通過單位換算，明確一億枚硬幣摞起來有多高。

經過測量、計算和單位換算，學生連連驚呼，感嘆聚沙成塔、積少成多的道理，對于數與量的關系也有了更深刻的感受。

3.稱一稱：100 粒大米大約有多重？

由此推算：我國大約13 億人，如果每人每天節約1 粒大米，全國一天大約能節約多少克大米？如果每人每天吃400 克大米，節省下來的大米大約可供一個人吃多少天？是多少年？

有了上面的方法積累和活動體驗，學生能夠耐心而又快捷地進行推算。有的是一位一位推算過去，有的是借助質量單位之間的進率三個零三個零地劃去，很快得到了結果。在這個情境活動中，學生深刻感受到在我們這樣一個人口大國，一粒米、一滴水都要格外珍惜。

如此，數量估算就在計數單位的累加、參照物的比對和數與量的轉化中得以逐步滲透，并逐漸轉化為學生的一種自覺自能，使核心素養在數量估算教學中真正落地生根。