電磁航天器編隊(duì)?wèi)彝ｔ敯魠f(xié)同控制方法

張亞博， 師鵬，*， 張皓， 趙育善

(1. 北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100083； 2. 中國(guó)科學(xué)院空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心中國(guó)科學(xué)院太空應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100094)

編隊(duì)?wèi)彝Ｊ侵缚臻g中的多個(gè)伴隨航天器在控制力或自然力的作用下，相對(duì)參考航天器或其他自然天體保持相對(duì)靜止的狀態(tài)。編隊(duì)?wèi)彝＜夹g(shù)在航天器在軌服務(wù)、深空探測(cè)、航天器跟蹤監(jiān)視等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-3]。

航天器懸停編隊(duì)的實(shí)現(xiàn)依賴于準(zhǔn)確的軌道和姿態(tài)控制。在近距離懸停時(shí)，傳統(tǒng)基于沖量原理的推力器會(huì)造成羽流污染，某些任務(wù)甚至?xí)?yán)格限制目標(biāo)與懸停航天器連線方向的點(diǎn)火[4]；再者編隊(duì)中成員航天器懸停軌道通常具有強(qiáng)非開普勒性，要求推力器長(zhǎng)時(shí)間工作[5]，必然導(dǎo)致傳統(tǒng)航天器編隊(duì)壽命有限。因此利用庫侖力[6]、洛倫茲力[7]和電磁力[8]等非接觸力實(shí)現(xiàn)航天器無工質(zhì)編隊(duì)的控制受到了眾多學(xué)者的關(guān)注。相比于星間庫侖力、洛倫茲力，通電電磁線圈間能夠產(chǎn)生任意方向的電磁力，可以實(shí)現(xiàn)更多的控制自由度，本文選擇星間電磁相互作用來實(shí)現(xiàn)航天器編隊(duì)的控制。電磁航天器通過改變其上安裝的3個(gè)正交電磁線圈的電流以改變航天器受到的電磁作用，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)航天器編隊(duì)的相對(duì)軌道控制[9]。

通過引入電磁相互作用之后較好地解決了傳統(tǒng)推力器存在的問題，但電磁作用固有的非線性、相互性以及空間環(huán)境的不確定干擾決定了電磁航天器編隊(duì)控制具有強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合性以及不確定性的特點(diǎn)[10]。此外，電磁力是系統(tǒng)內(nèi)力，無法實(shí)現(xiàn)編隊(duì)質(zhì)心的機(jī)動(dòng)。這些因素對(duì)控制的設(shè)計(jì)提出了更高的要求。

針對(duì)電磁航天器編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)與控制問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了豐富的研究。就雙電磁航天器編隊(duì)控制，Elias等[11]引入雙電磁航天器編隊(duì)動(dòng)力學(xué)非線性模型并對(duì)其進(jìn)行了線化，分析了線性模型的閉環(huán)穩(wěn)定性和可控性，設(shè)計(jì)了最優(yōu)線性反饋控制律。黃渙等[12]基于Kane方法建立了電磁航天器六自由度耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了3種平衡態(tài)構(gòu)型的控制需求，并設(shè)計(jì)了線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)控制器。徐增文等[13]針對(duì)雙星電磁航天器構(gòu)型保持設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制律，并給出了雙星磁矩配置解析表達(dá)式。邵龍飛等[14]將雙星編隊(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化問題進(jìn)行了求解，并指出多電磁航天器的編隊(duì)控制可以轉(zhuǎn)化為分階段的雙電磁航天器控制。Kwon等[15]用雙星地面實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了利用超導(dǎo)線圈產(chǎn)生電磁力進(jìn)而進(jìn)行位置保持和軌道跟蹤的可行性。

對(duì)于多電磁航天器編隊(duì)控制，Ahsun和Miller[16]給出了編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)二維動(dòng)力學(xué)模型，并分別基于人工勢(shì)函數(shù)法和最優(yōu)控制方法研究了電磁航天器編隊(duì)的構(gòu)型保持問題。Miller等[17]基于近地軌道動(dòng)力學(xué)模型，采用非線性自適應(yīng)控制方法研究了電磁航天器編隊(duì)的構(gòu)型保持和重構(gòu)問題，并提出了通過優(yōu)化配置磁矩的方案。胡敏等[18]分析了地磁場(chǎng)對(duì)近地軌道電磁編隊(duì)的影響，建立了高精度相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上提出了一種非線性反饋控制方法。Zeng和Hu[19]在動(dòng)力學(xué)模型存在不確定性和外部攝動(dòng)的情況下，設(shè)計(jì)了電磁航天器編隊(duì)軌道跟蹤的線性終端滑模控制。Zhang等[20]建立了六自由度電磁航天器動(dòng)力學(xué)模型，給出了航天器軌道姿態(tài)控制的自適應(yīng)終端滑模控制。

盡管以上研究較好地解決了電磁航天器編隊(duì)的相對(duì)構(gòu)型保持和軌道姿態(tài)跟蹤問題，但文獻(xiàn)中采用的動(dòng)力學(xué)模型大多數(shù)只考慮了外部攝動(dòng)的不確定性，而未考慮動(dòng)力學(xué)模型的內(nèi)部不確定性和參數(shù)攝動(dòng)，在實(shí)際的任務(wù)中該參數(shù)攝動(dòng)是不可避免的。再者，當(dāng)參考軌道是橢圓時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)時(shí)變特性，文獻(xiàn)中設(shè)計(jì)的控制律均需要參考軌道實(shí)時(shí)的準(zhǔn)確信息，獲取這些信息一些情況下是十分困難甚至是不可能的。此外，文獻(xiàn)中設(shè)計(jì)的控制律并未考慮編隊(duì)成員航天器之間的信息交互，導(dǎo)致編隊(duì)的協(xié)同能力較差并產(chǎn)生冗余控制。

考慮到上述問題，本文針對(duì)電磁航天器編隊(duì)近地軌道懸停控制，提出了一種在缺少參考軌道準(zhǔn)確信息時(shí)的協(xié)同控制方法。首先，用TH方程描述航天器間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，選擇與參考軌道同周期的圓軌道作為標(biāo)稱軌道，將參考軌道相對(duì)于標(biāo)稱軌道的偏差、地球非球形引力、大氣阻力以及其他天體引力等參數(shù)單獨(dú)歸類，視其為不確定量，構(gòu)成不確定系統(tǒng)。然后，針對(duì)動(dòng)力學(xué)方程存在內(nèi)部和外部不確定性，通過引入滑模控制理論和一致性理論，就電磁航天器編隊(duì)?wèi)彝５哪繕?biāo)設(shè)計(jì)了魯棒協(xié)同控制律。最后，考慮到能量消耗最優(yōu)和均衡以及軌道姿態(tài)解耦的問題，給出了通過優(yōu)化進(jìn)行磁矩配置的方案，并進(jìn)行了數(shù)值仿真驗(yàn)證。

1 電磁航天器編隊(duì)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 電磁遠(yuǎn)場(chǎng)作用模型

電磁航天器通過其上安裝的3個(gè)正交電磁線圈產(chǎn)生電磁相互作用，如圖1所示。圖中i1、i2為線圈電流；a1、a2為線圈半徑；dl1、dl2為線圈長(zhǎng)度微元；d為線圈微元間的距離；s為線圈2的微元于線圈1的中心的距離。可以采用畢奧-薩伐爾定律精確計(jì)算2個(gè)通電線圈之間的電磁力和電磁力矩，設(shè)線圈2位于線圈1的電磁場(chǎng)中，對(duì)線圈2上的電流微元在線圈1的電磁場(chǎng)中進(jìn)行積分，即可求得線圈2受到線圈1的電磁力F2和力矩T2分別為

(1)

(2)

式中：μ0=4π×10-7N/A2為真空磁導(dǎo)率。

式(1)、式(2)形式復(fù)雜，不易在工程中直接應(yīng)用。研究發(fā)現(xiàn)[21]，2個(gè)線圈之間的距離大于5倍的線圈半徑時(shí)，將線圈視為偶極子得到的遠(yuǎn)場(chǎng)電磁力模型誤差在10%內(nèi)，能夠基本滿足精度需求。遠(yuǎn)場(chǎng)電磁力模型如圖2所示。該模型將線圈電磁場(chǎng)視為偶極子，其大小和方向用磁矩描述，磁矩的求解公式為

μ=nISl

(3)

式中：n為線圈的匝數(shù)；I為電流值；S為線圈的面積；l為載流平面法線方向單位向量，服從右手定則。

圖1 電磁線圈相互作用示意圖Fig.1 Schematic diagram of electromagnetic coil interaction

圖2 磁偶極子相互作用示意圖Fig.2 Schematic diagram of magnetic dipole interaction

遠(yuǎn)場(chǎng)模型下，兩線圈之間的電磁力和電磁力矩可以分別為

(4)

(5)

由式(4)、式(5)可以看出，遠(yuǎn)場(chǎng)模型下電磁力是線圈磁矩和線圈之間距離的強(qiáng)非線性函數(shù)，這使得在電磁力已知的情況下，求解磁矩變得較為困難。從式(4)和式(5)也可以看出，電磁力和電磁力矩是耦合產(chǎn)生的，在多航天器編隊(duì)(航天器數(shù)量大于2的編隊(duì))中，這種耦合性將導(dǎo)致設(shè)計(jì)控制律時(shí)產(chǎn)生控制欠驅(qū)動(dòng)問題。本文設(shè)計(jì)控制律時(shí)，采用軌道優(yōu)先策略對(duì)其進(jìn)行解耦，將電磁力矩考慮為干擾因素，其可以用反動(dòng)量輪或力矩陀螺進(jìn)行消除。本文研究重點(diǎn)是電磁航天器編隊(duì)的軌道懸停控制，因此不考慮其姿態(tài)控制，并假設(shè)航天器的姿態(tài)已經(jīng)調(diào)整到了期望的狀態(tài)。

1.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

為描述航天器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，首先引入2個(gè)參考坐標(biāo)系，即地心慣性坐標(biāo)系Si和參考軌道坐標(biāo)系SO′。如圖3所示，地心慣性坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)位于地球中心，X軸位于赤道平面，指向春分點(diǎn)方向，Z軸垂直于赤道平面，指向北極為正，Y軸與X軸、Z軸構(gòu)成右手系。參考軌道坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)位于參考航天器質(zhì)心，x軸沿徑向，從地球中心指向參考航天器質(zhì)心，y軸在軌道平面內(nèi)與x軸垂直，指向參考航天器前進(jìn)方向，z軸與x軸、y軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

圖3 航天器編隊(duì)?wèi)彝⒖枷礔ig.3 Spacecraft formation hovering coordinate system

假設(shè)對(duì)參考航天器不施加控制且編隊(duì)中成員航天器之間的距離遠(yuǎn)小于航天器質(zhì)心到地心的距離，則在參考軌道坐標(biāo)系下，懸停編隊(duì)中的成員航天器相對(duì)參考航天器的線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

式中：下標(biāo)i=1,2,…,N為懸停編隊(duì)中航天器的編號(hào)；ρi=[xiyizi]T為懸停航天器i在參考軌道坐標(biāo)系SO′中的位置；umhi為懸停航天器i受到的遠(yuǎn)場(chǎng)電磁力；udhi為懸停航天器i受到的外部攝動(dòng)，包括電磁力建模誤差、氣動(dòng)力、太陽光壓以及地磁場(chǎng)和其他天體引力引起的攝動(dòng)；udo參考航天器受到的外部攝動(dòng)，包括氣動(dòng)力、太陽光壓攝動(dòng)以及其他天體引力。式(6)中的各系數(shù)矩陣為

(7)

(8)

2 電磁航天器編隊(duì)?wèi)彝？刂品椒?/h2>

2.1 魯棒協(xié)同控制律設(shè)計(jì)

滑模控制能夠有效克服系統(tǒng)的不確定性，對(duì)干擾和未建模動(dòng)態(tài)具有很強(qiáng)的魯棒性，且具有響應(yīng)迅速、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。本文將以滑模控制方法為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)航天器的懸停。

對(duì)于一般的橢圓參考軌道，式(6)表示的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)系數(shù)時(shí)變的微分方程，式中變化的參數(shù)都與參考軌道相關(guān)，若按式(6)設(shè)計(jì)控制律將需要獲得參考軌道實(shí)時(shí)的準(zhǔn)確參數(shù)，帶來很多的不便。本文擬將一個(gè)與參考軌道同周期的圓軌道作為基準(zhǔn)，將參考軌道和標(biāo)稱圓軌道的偏差、地球非球形攝動(dòng)以及其他各種攝動(dòng)單獨(dú)歸類，作為不確定量進(jìn)行處理，由此得到的動(dòng)力學(xué)方程為

(9)

式中：udi=udhi-udo為懸停航天器相對(duì)參考航天器的外部不確定量；ΔD為橢圓軌道相對(duì)于圓軌道的偏差以及動(dòng)力學(xué)方程的參數(shù)攝動(dòng)；ΔK為參考軌道相對(duì)于圓軌道的偏差、地球非球形引力攝動(dòng)以及動(dòng)力學(xué)方程的參數(shù)攝動(dòng)。與橢圓軌道同周期的圓軌道的半徑為橢圓的半長(zhǎng)軸a，因此矩陣Dc、Kc的值為

(10)

(11)

不確定矩陣可表示為

(12)

(13)

|udi|≤fi(x,t)fi(x,t)≥0

(14)

式中：Ei、Fj為已知矩陣，存在參數(shù)攝動(dòng)的位置元素為1，其余元素為0；αi、βj為不確定矩陣ΔD、ΔK對(duì)應(yīng)位置的攝動(dòng)參數(shù)；ai、bj分別為αi、βj模的上界；f(x,t)為外部不確定量udi模的上界;k、h分別為矩陣ΔD、ΔK不為零的元素的個(gè)數(shù)。

小偏心率參考軌道本質(zhì)是時(shí)變的，動(dòng)力學(xué)模型中存在真近點(diǎn)角，涉及到實(shí)時(shí)進(jìn)行開普勒方程的求解，同此還涉及到線性時(shí)變系統(tǒng)的控制，在設(shè)計(jì)控制律時(shí)存在著一定的難度。這里通過用一個(gè)同周期的圓參考軌道代替這個(gè)小偏心率橢圓，使得系統(tǒng)由非定常變成定常，分析設(shè)計(jì)比較方便。這么一來，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)小周期項(xiàng)的動(dòng)力學(xué)偏差，這里把它也作為不確定性進(jìn)行處理。另外，由于文中把時(shí)變的部分都當(dāng)作了小擾動(dòng)，那么即使對(duì)參考衛(wèi)星的建模存在一定誤差，上面設(shè)計(jì)的控制仍然可以保證不錯(cuò)的效果。因此，基于式(9)的模型設(shè)計(jì)的控制律將具有更強(qiáng)的魯棒性。

選取滑動(dòng)面為

(15)

式中：Λ=diag{λr}，λr>0，r=1,2,3，顯然滑動(dòng)面上的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。接下來設(shè)計(jì)到達(dá)運(yùn)動(dòng)，對(duì)式(15)的滑動(dòng)面函數(shù)求導(dǎo)，得

(16)

(17)

選擇到達(dá)控制律為

(18)

式中：Hi和εi為對(duì)角元素均為正的對(duì)角矩陣，且Hi，εi∈R3×3。為了消除滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)在滑模面上的抖顫，在此處選擇飽和函數(shù)sat(x)代替符號(hào)函數(shù)：

(19)

式中：φ為飽和函數(shù)邊界層厚度。對(duì)比式(17)、式(18)得到等效控制為

(20)

式(20)控制中存在不確定參數(shù)，無法直接使用，為消去不確定參數(shù)，首先任選2個(gè)向量z1i、z2i，構(gòu)造式(21)作為實(shí)際控制：

umhi=-Hisi-εi·sat(si)+

(21)

為確定z1i、z2i，將式(21)代入式(17)中得

(22)

又滑模控制到達(dá)條件為

(23)

將式(22)代入式(23)之后寫成分量形式得

(24)

式中：上標(biāo)r=1,2,3為向量的第r個(gè)分量；vr(*)為矩陣(*)的第r行，若取z1i、z2i為式(25)、式(26)。將式(25)、式(26)代入式(24)，比較各項(xiàng)大小，消去不確定項(xiàng)，可使得到達(dá)條件式(23)得到滿足。

(25)

(26)

式(21)～式(26)構(gòu)成航天器編隊(duì)?wèi)彝５目刂坡桑摽刂坡梢呀?jīng)能夠?qū)崿F(xiàn)航天器編隊(duì)的懸停任務(wù)，且由于動(dòng)力學(xué)模型中考慮了航天器可能受到的所有的誤差，同時(shí)給出了模型誤差的上界。因此上面給出的控制對(duì)不確定干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，但該控制律只考慮了編隊(duì)中成員航天器自身的位置和速度偏差信息，沒有用到其他航天器的狀態(tài)信息，從編隊(duì)系統(tǒng)層面上來看，所設(shè)計(jì)的控制律只能夠達(dá)到局部的良好性能，從全局視角審視，存在控制的浪費(fèi)，因此對(duì)該控制律進(jìn)行改進(jìn)，以利用航天器之間的信息交換實(shí)現(xiàn)全局協(xié)同。

為了清晰地描述航天器編隊(duì)中成員航天器之間的關(guān)系，在此引入圖論的相關(guān)概念。一個(gè)加權(quán)無向圖G(V,E,A)由節(jié)點(diǎn)集V={1,2,…,N}，邊集E?V×V和加權(quán)鄰接矩陣A=a[ij]∈R組成。節(jié)點(diǎn)表示編隊(duì)中的成員航天器，邊表示編隊(duì)中成員航天器之間的通信關(guān)系，鄰接矩陣表示編隊(duì)中成員航天器的通信性能。無向圖中若兩航天器i、j之間可以通信，則邊(i,j)∈E、(j,i)∈E且aij=aji>0，否則aij=0。一般認(rèn)為航天器和自身不存在通信，即aii=0。如果圖中的任何2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在路徑，則稱該無向圖是連通的。

在上述圖論的基礎(chǔ)上，考慮到編隊(duì)中成員航天器之間的信息交互以及通信延時(shí)，對(duì)上述魯棒控制器增加一協(xié)同項(xiàng)，得到協(xié)同控制器如式(27)所示：

(27)

式中：τij為電磁航天器i、j之間的通信延時(shí)。

2.2 魯棒協(xié)同控制器穩(wěn)定性證明

本節(jié)分析和證明上述控制器(27)的穩(wěn)定性，選取Lyapunov函數(shù)為式(28)，將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到式(29)。將式(22)、式(25)、式(26)代入式(28)，可以得到式(29),雙畫線部分小于等于零，因此對(duì)于Lyapunov函數(shù)的證明只需要求證后面部分，即式(30)。

(28)

(29)

(30)

3 電磁航天器編隊(duì)磁矩優(yōu)化配置

2.1節(jié)建立的航天器編隊(duì)?wèi)彝？刂坡煽梢郧蟮煤教炱髟谌我馕恢脩彝Ｐ枰目刂萍铀俣取１竟?jié)討論控制加速度的具體實(shí)現(xiàn)問題。電磁航天器編隊(duì)系統(tǒng)有N個(gè)成員航天器，編號(hào)為i=1,2,3,…,N，成員航天器均能夠產(chǎn)生任意指向的磁矩。對(duì)于編號(hào)為i的航天器，其受到的電磁力表達(dá)式為

(31)

式中：Fi為編號(hào)為i的航天器受到電磁力的合力；Fij為j號(hào)航天器對(duì)i號(hào)航天器的電磁作用；μi、μj分別為i號(hào)航天器和j號(hào)航天器的磁矩；rij為i號(hào)航天器相對(duì)于j號(hào)航天器的位置，從j號(hào)航天器指向i號(hào)航天器。由于電磁力為系統(tǒng)內(nèi)力，故存在式(32)、式(33)成立：

Fij+Fji=0

(32)

(33)

可以看出整個(gè)編隊(duì)系統(tǒng)受到的電磁力的合力為零，顯然在只有相互作用電磁力的情況下，系統(tǒng)質(zhì)心無法改變，無法實(shí)現(xiàn)任意位置的懸停，為此在系統(tǒng)中任選一顆航天器，在該航天器上施加額外推力，通過該推力來改變質(zhì)心位置。設(shè)推力施加在N號(hào)航天器上，則滿足：

(34)

式中：fo為施加在N號(hào)航天器上的懸停外力。

從上述分析中可以看出，電磁航天器編隊(duì)系統(tǒng)一共受到獨(dú)立的約束3N個(gè)，但是相互獨(dú)立的變量有3N+3(包含3N個(gè)磁矩變量和3個(gè)外力變量)個(gè)，系統(tǒng)的變量有冗余的自由度，因此可以將該問題轉(zhuǎn)化為帶約束的優(yōu)化問題進(jìn)行求解。取目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為

(35)

4 數(shù)值仿真

4.1 仿真參數(shù)設(shè)置

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制律的控制性能以及磁矩分配方案的可行性，本文對(duì)4顆電磁航天器組成的編隊(duì)進(jìn)行了仿真計(jì)算，航天器編隊(duì)采用的編隊(duì)構(gòu)型如圖4所示。

初始時(shí)刻4顆航天器位于棱長(zhǎng)15 m的正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)上，參考航天器位于正四面體的中心。假設(shè)編隊(duì)成員航天器的位置和速度在初始時(shí)刻受到隨機(jī)擾動(dòng)，在運(yùn)行期間一直存在低于擾動(dòng)上限的噪聲。仿真選擇的參考軌道參數(shù)，各個(gè)狀態(tài)期望值和初始攝動(dòng)值分別如表1和表2所示。

成員航天器的質(zhì)量均為100 kg，線圈半徑均為1 m，線圈匝數(shù)均為100。控制器的參數(shù)選擇為Hi=10-2I3×3，εi=10-7I3×3，Λi=10-2I3×3。不確定參數(shù)上限的選擇參考了文獻(xiàn)[21]，分別取ai=10-5，bj=10-7，fi=10-7。考慮3顆航天器鏈接成環(huán),另外一顆航天器連入該三角形環(huán)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),權(quán)值均取為aij=10-3。成員航天器通信延時(shí)為5 s。在磁矩求解時(shí),考慮到能量最優(yōu)和均衡、電磁力和力矩的解耦以及系統(tǒng)所需外力最小,為使得式(35)每一項(xiàng)的數(shù)量及相當(dāng)，配置磁矩參數(shù)取值為W1i=10-11I3×3，W2i=10-9I3×3，γi=102，Wo=105I3×3,然后用MATLAB進(jìn)行仿真。

圖4 電磁航天器懸停編隊(duì)構(gòu)型Fig.4 Hovering formation configuration of electromagnetic spacecraft

表1 參考軌道參數(shù)Table 1 Reference orbital parameters

表2 狀態(tài)初值信息Table 2 Initial value information of state

4.2 仿真結(jié)果

仿真結(jié)果如圖5～圖11所示。圖5和圖6為相對(duì)位置跟蹤誤差曲線，圖7和圖8為相對(duì)速度跟蹤誤差曲線。圖9～圖11分別描述了控制磁矩、電磁力、編隊(duì)?wèi)彝Ｍ饬Φ淖兓?guī)律。

圖5 AB相對(duì)位置跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curves of AB relative position

圖6 CD相對(duì)位置跟蹤誤差曲線Fig.6 Tracking error curves of CD relative position

圖7 AB相對(duì)速度跟蹤誤差曲線Fig.7 Tracking error curves of AB relative velocity

從圖5、圖6可以看出，在位置初值、速度初值均存在隨機(jī)擾動(dòng)并且狀態(tài)信息存在噪聲的情況下，本文設(shè)計(jì)的魯棒協(xié)同控制律利用航天器之間的電磁力能夠在700 s內(nèi)回到期望軌道，且位置跟蹤誤差在10-6數(shù)量級(jí)。從放大的結(jié)果也可以看出，控制器中的協(xié)同項(xiàng)最終使得編隊(duì)中所有航天器的位置跟蹤誤差趨于一致，這有利于誤差的管理。

圖8 CD相對(duì)速度跟蹤誤差曲線Fig.8 Tracking error curves of CD relative velocity

圖9 控制磁矩曲線Fig.9 Curves of control magnetic moment

圖10 電磁力曲線Fig.10 Curves of electromagnetic force

圖7和圖8表明，協(xié)同控制律可以使成員航天器對(duì)速度的跟蹤誤差達(dá)到10-8數(shù)量級(jí)，具有較高的精度，同時(shí)也說明設(shè)計(jì)的控制器具有較強(qiáng)的魯棒性和協(xié)同性。

從圖9可以看出,優(yōu)化之后的控制磁矩?cái)?shù)量均小于105，該磁矩可以使用超導(dǎo)線圈實(shí)現(xiàn)。圖10表明編隊(duì)?wèi)彝？刂扑璧碾姶帕υ?0 mN量級(jí),一方面這樣的小推力可以使得控制精度有所提升，另一方面也表明電磁力只能實(shí)現(xiàn)近距離的編隊(duì)。圖11為編隊(duì)?wèi)彝r(shí)為了改變航天器質(zhì)心所需要的外力，從圖中可以看出其大小和所需的電磁力相當(dāng)。

圖11 編隊(duì)?wèi)彝Ｍ饬η€Fig.11 Curve of formation hovering external force

4.3 有無協(xié)同控制效果比較

為了分析在控制律中引入?yún)f(xié)同項(xiàng)的效果，在同樣的初值下對(duì)未引入?yún)f(xié)同的情況也進(jìn)行了仿真。選取文獻(xiàn)[22]中的暫態(tài)構(gòu)型維持誤差σ作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其具體形式為

(36)

式中：σ越小表明暫態(tài)構(gòu)型維持能力越強(qiáng)。從圖12中可以看出，在編隊(duì)成員均存在5 s通信延時(shí)的情況下，盡管在200 s附近有無協(xié)同指標(biāo)略低于有協(xié)同指標(biāo)的情況，但是從整體趨勢(shì)來看，有協(xié)同的控制器表現(xiàn)出了更好的性能。

為分析設(shè)計(jì)的控制律的能量消耗情況，本文采用系統(tǒng)各成員航天器所受力的模之和作為能量評(píng)價(jià)指標(biāo)，記為E。在相同初值下對(duì)編隊(duì)開環(huán)控制的能量指標(biāo)進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖13所示。

圖12 暫態(tài)構(gòu)型維持位置誤差曲線Fig.12 Curve of transient configuration position keeping error

以上仿真結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的電磁航天器編隊(duì)魯棒協(xié)同控制律能夠有效實(shí)現(xiàn)航天器編隊(duì)任意位置的懸停，對(duì)系統(tǒng)存在的內(nèi)部和外部不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，文中給出的基于能量最優(yōu)和均衡的磁矩配置方案能夠?qū)崿F(xiàn)磁矩的有效分配。

圖13 能量消耗對(duì)比Fig.13 Comparison of energy consumption

5 結(jié) 論

本文針對(duì)近地近圓軌道附近電磁航天器編隊(duì)?wèi)彝栴}，設(shè)計(jì)了一種有效處理絕對(duì)軌道信息缺失的控制方法，具體如下所述。在電磁力模型和動(dòng)力學(xué)模型均存在不確定性的條件下, 通過引入滑模控制理論和一致性理論，設(shè)計(jì)了魯棒協(xié)同控制律。考慮到能量最優(yōu)和控制均衡以及軌道姿態(tài)的解耦，給出了磁矩的優(yōu)化配置方案。分析證明了所設(shè)計(jì)的協(xié)同控制律的穩(wěn)定性及魯棒性。仿真結(jié)果表明，位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差分別能達(dá)到10-6、10-8數(shù)量級(jí)，所給出的磁矩分配方案能夠?qū)崿F(xiàn)磁矩的合理分配，控制中引入?yún)f(xié)同項(xiàng)后可以提高編隊(duì)的協(xié)同能力，且能平衡各成員航天器之間能量消耗。