考慮臨近車道行人對交通流影響的改進跟馳模型

李宏剛， 高哈爾·達吾力， 王帥， 余貴珍， 王朋成

(1. 北京航空航天大學 交通科學與工程學院, 北京 100083； 2. 北京航空航天大學 計算機學院, 北京 100083)

幾十年來，交通流得到了廣泛的研究，國內外學者提出了很多模型，如流體模型、跟馳模型和細胞自動化模型等[1-3]。由于具有直觀的物理意義，車輛跟馳模型引起了很多研究者的關注。大多數的跟馳模型都假定車輛只受到前車駕駛行為的影響，但在實際復雜的交通環境中，不僅有車輛還包括行人和自行車的混合交通流。截止目前，人車混合流交通行為的研究相對較少，本文旨在補充這一領域的內容。

自Reuschel[4]和Pipes[5]首次提出單車道跟隨引導模型以來，在過去幾十年中，已經開發了多種的跟馳模型。其中大多數都是僅考慮到周圍車輛帶來的影響。例如，Chandler等[6]提出了“加利福尼亞”模型，該模型考慮了車輛在跟馳行為中存在的延遲時間; Newell[7]利用速度-車頭間距關系的一般數學方程來模擬車輛跟馳行為；Bando等[8]開發了最優速度(OV)模型，該模型由于其簡單、直觀和創新性而被廣泛采用; Jiang等[9]通過考慮正速度差異因子，建立了全速差(FVD)模型，FVD模型因可用于表征較為真實的汽車跟蹤行為，而被認為優于OV模型和廣義力(GF)模型[10]。因此，許多研究人員都是通過改進FVD模型，來更好地描述真實的交通環境。例如，Zhou[11]通過引入駕駛員的視角來擴展FVD模型，通過有效地解釋一些復雜的交通現象，使新模型顯得更加符合實際。Yu和Shi[12]將相對速度波動納入其中對FVD模型進行改進，使得能滿足先進自適應巡航控制系統的設計。

最近十年來，人車混合交通的情況引起學者的興趣，但其中的大多數都專注于不受控制的十字路口和人行橫道。例如，Helbing等[13]通過觀察過馬路的行人，從宏觀動態的角度研究了行人和車輛流動的振蕩和延遲；Chen等[14]開發了一種改進的雙向行人模型來描述不受控制的中間人行橫道上車輛和行人之間的相互作用；Zhang和Chang[15]設計了一個合作規劃模型，將行人和車輛納入疏散網絡; Ito和Nishinari[16]基于元胞自動機(CA)模型描述了擁擠交叉路口的車輛和行人之間的相互作用。

毋庸置疑，橫跨公路的行人肯定會對車輛的行為產生影響，而行走在相鄰車道上的行人也會對駕駛行為產生一些影響。行駛過程中駕駛員必須注意周圍車輛以及相鄰車道上的行人或自行車，以避免任何潛在的沖突。在機動車和非機動車混合行駛的復雜環境中，駕駛行為可能有很大差異。駕駛員會依據車輛與行人之間距離的變化來調整相應的速度，以此保證車輛的安全駕駛。然而目前在這個方向存在的研究工作很少。雖然Jiang和Wu[17-18]使用格子模型模擬了進入狹窄通道的汽車中的類似現象，但因為他們的關注點在疏散時行人的行為，所以并不能獲取混合交通流中車輛的動態特征。

考慮到在相鄰車道上存在行人或自行車的情況在城市中很常見，因此，有必要研究這種人車行為。本文提出一種改進跟馳模型，該模型考慮了行人和自行車在鄰車道上對跟馳車輛產生的影響。改進后的模型對城市復雜混合車輛-行人交通的安全性和控制性有很大的幫助。例如，由于在這種復雜的駕駛環境中存在異常駕駛行為，該模型可用于確定更適合于由行人和自行車包圍的城市街道的限制車速。此外，該模型還可用于改善對行人和自行車在相鄰車道上行駛的旅行時間估計。這對于城市交通的控制是非常必要的。

1 模型構建

在本節中，假設車輛與行人混合行駛在同一條道路上，并且二者之間無任何顯著的物理隔離，如圖1所示, 其中xn和sm分別為汽車n和行人m的位置；Δxn=xn+1-xn為汽車n(即跟馳車輛)

圖1 行人車輛混合流的示意圖Fig.1 Sketch map of pedestrian-vehicle mixed flow

本文基于Newell[7]和Whitham[19]提出的優化速度模型，引入車輛與橫向行人之間的橫向與縱向車頭間距，得到如下改進跟馳模型：

(1)

式中：V為考慮連續車輛的車間距與相對速度，以及車與鄰道行人的橫向與縱向距離的最優速度函數；Δvn(t)=vn+1(t)-vn(t)為前車與后車的速度差(即相對速度)；τ為延遲時間。

對式(1)進行顯式化，本文采用文獻[20]中提到的最優速度函數:

(2)

正如Sawada[21]和Li等[22]所提出的理論，多參數最優速度函數可以通過在單個參數的最優速度函數中加入可調權值來進行線性化。因此，將式(1)的右側線性化可以得到

(3)

式中：p、q和γ分別為連續車輛車頭間距、車輛和行人之間的橫向間距以及縱向間距的最優函數的權重;λ為連續車輛之間相對速度的響應系數。注意：λ為一個與時間、速度和位置都無關的常數。

將式(1)進行泰勒展開，可以得到以下微分方程：

(4)

式中：α為駕駛員反應度，且α=1/τ,μ=λ/τ。

注意，p+q+γ=1。同時本文假設：

式中：lc和dc分別為觀察到的車輛與行人之間預定的臨界縱向和橫向間距。如果跟馳車輛和前方行人之間的橫向行駛距離太大(即大于臨界距離dc)，則當車輛超過行人時，行人對車輛沒有影響。類似地，如果觀察到的汽車與前方行人之間的縱向行駛距離大于臨界距離lc，則相鄰道路上的行人對駕駛員沒有影響。p+q+γ=1表明除了這3個參數之外，駕駛員不會考慮周圍其他影響因素[23]。

為了計算方便，式(4)需要使用非對稱前向離散化方法，得到如下差分方程：

xn(t+2τ)-xn(t+τ)=τ[pV(Δxn(t))+

λ(Δxn(t+τ)-Δxn(t))

(5)

2 線性穩定性分析

在穩定性分析中，首先假定車輛和行人的流量是均勻的，不存在換道和超車行為。根據文獻[10]所述，在一個理想的均勻狀態下，每個行人和車輛將保持一定的空間留給前面和后面的行人。因此，本文給出式(5)的均勻穩態解如下：

(6)

(7)

式中：h和hp分別為連續車輛和連續行人之間的間距;N1和N2分別為混合流動中車輛和行人的數量；V和U分別為車輛和行人的最優速度；L為道路長度。

通過在式(6)和式(7)的解中添加小偏差yn(t)和δm(t)，給出車輛和行人位置的方程分別為

(8)

(9)

式中：|yn(t)|?1,|δm(t)|?1[8]。

為了更好地分析線性穩定性，式(5)可以改寫為

Δxn(t+2τ)-Δxn(t+τ)=τ[p(V(Δxn+1(t))-

Δxn+1(t)-Δxn(t+τ)+Δxn(t))

(10)

基于式(5)、式(6)和式(8)，可將式(10)改寫為

Δyn(t+2τ)-Δyn(t+τ)=τ[pV′(Δyn+1(t)-

Δyn(t))+qβV′(Δyn+1(t)-Δyn(t))+

γηV′(Δyn+1(t)-Δyn(t))]+

λ(Δyn+1(t+τ)-Δyn+1(t)-

Δyn(t+τ)+Δyn(t))

(11)

式中：V′為V(Δxn)在Δxn=h時的一階導；β為平均強度系數，描述了連續車輛的車頭間距與觀察到的汽車和前方行人的縱向間距之間的干擾關系；η為描述觀察到的汽車與前方行人之間的干擾關系的平均強度系數。注意：本文也應用了平均場理論，該理論把任何一個因子的所有相互作用替換為平均或有效的單一相互作用，可以將2種類型的粒子(即行人和車輛)從宏觀視角合并成單個物體[24]。

假設一個顯式函數Δyn(t)=Aexp(ikn+zt)，方程式(11)可寫為

e2zt-ezt=τ[pV′(eik-1)+qβV′(eik-1)+

γηV′(eik-1)]+λ(eik+zt-eik-ezt+1)

(12)

式中：A為波動幅度；k為波數，其取值范圍是0≤k≤π；z=-iω，ω為波動的角頻率。

通過將z展開為z=z1(ik)+z2(ik)2+…[25]，式(12)可轉換為

(13)

對于長波模式，如果z2為負，則均勻穩定流會變得不穩定; 如果z2為正，則均勻流保持穩定狀態。在z2=0時設置中性穩定條件

(14)

式中：延遲時間τ稱為臨界值，通常寫為τc。它的倒數被稱為臨界敏感度(αc=1/τc)。對于長波小擾動，可以導出以下不穩定和穩定的條件：

(15)

(16)

圖2顯示了具有(λ,p,q,γ)不同組合的中性穩定性曲線，vmax=3 m/s,hc=4 m,β=0.5，η=0.1。實線對應于(0,1,0,0)，與OV模型一致；虛線對應于(0.2,1,0,0)，與RV模型一致；圓線對應于(0.2,0.8,0.1,0.1)，考慮了相鄰行人的相互作用。從這3條曲線中可以看出，改進模型的特征曲線(即帶有圓圈標記的線)具有最大的穩定區域(即最小的不穩定區域)。該發現意味著考慮相鄰車道行人影響的跟馳模型將比傳統跟馳模型具有更好的穩定性。

在圖3中為車頭間距-敏感度的中性穩定性曲線，每條曲線的頂點表示臨界點。在圖中呈現為當p=0.6是定值時，隨著q的增大以及γ的減小，穩定區域增大。曲線以外的區域表示交通流暢通的穩定狀態; 曲線以內區域表示交通流量擁擠的不穩定狀態。圖3表明相對于橫向的行人影響因素，駕駛員更關注前車的運動變化行為。

圖2 不同參數組合(λ,p,q,γ)下的中性穩定性曲線Fig.2 Neutral stability curves with different parameter sets of (λ,p,q,γ)

圖3 不同q和γ值的中性穩定性曲線(vmax=3 m/s,hc=4 m)Fig.3 Neutral stability curves with different values of q and γ (vmax=3 m/s,hc=4 m)

3 仿真實驗

為了更好地模擬真實的交通行為，本文應用了Konishi等[27]提出的另一個最優速度函數，具體方程如下：

(17)

式中：ξ為距離參數；ψ為車輛安全距離；飽和度函數H(x)被描述為

(18)

實際上，方程式(17)是由V(Δx)=16.8×(tanh(0.086(Δx-25)+0.913))推導出來的，其來源于文獻[28-30]中提到的日本高速公路上的觀測數據。這些值與本文中車輛的仿真參數一致，如表1所示。表2是行人的相關仿真參數。

假設一個由11輛車組成的車隊在混合行人車道上行駛，用以驗證受到相鄰道路行人影響的交通模式的變化。為了更好地驗證所提出的模型，提供了2種模擬情景：

情景1街道上只有少數行人的情景。車隊中車輛逐個經過前向相鄰的行人。在這種情況下，本文研究了幾個受相鄰行人影響的車輛特征的變化。這種情況適用于在夜間或雨天在路邊行走的少數行人的實際交通情況。

情景2大量行人行走的情景。在這種情況下，本文提出研究以下的3個時間間隔內受相鄰行人影響的車輛行為：車輛開始進入，車輛駛過，車輛離開。適用于行人較多的道路。

表1 車輛仿真參數Table 1 Simulation parameters of vehicles

表2 行人仿真參數Table 2 Simulation parameters of pedestrians

對于這2種情況，初始條件設置為：vn(0)=20 m/s,x11(0)=0(即車隊的最后一輛車位于原點)，當n≠1,Δx1(t)=vξ/vmax-ξ/2+ψ，Δxn(0)=vξ/vmax-ξ/2+ψ。假設所有車輛在接近相鄰行人之前具有相同的初始速度和車頭間距。也就是說，所有車輛在早期均勻運行且沒有額外的干擾。當它們開始超過考慮了行人道的相鄰行人時，交通流的特征將發生巨大變化。

3.1 情 景 1

圖4和圖5分別通過假設p=0.6,q=0.3,γ=0.1 和p=0.6,q=0.2,γ=0.2時第2、第5、第8和第11輛(即最后一輛汽車)的速度隨時間的變化情況。

圖4與圖5表示當車輛超過相鄰行人時，均勻行駛車輛的交通沖擊波產生波動，且所選擇的車輛的速度變化是不同的。該圖基本上可證明振蕩行為和交通擁堵的演變?？梢钥吹皆趐=0.6,q=0.2,γ=0.2的條件下(圖5)，速度波動的幅度相對較小。這表明與圖4中的情況相比，汽車能更平穩地運行并且恢復穩定狀態。

圖4 當p=0.6,q=0.3,γ=0.1時，車輛速度隨時間變化曲線Fig.4 Variation curves of vehicle velocity with time for p=0.6,q=0.3,γ=0.1

圖5 當p=0.6,q=0.2,γ=0.2時，車輛速度隨時間變化曲線Fig.5 Variation curves of vehicle velocity with time for p=0.6,q=0.2,γ=0.2

3.2 情 景 2

假設行人沿著路邊均勻且穩定地行走。當領先的車輛遇到行人隊尾時，車輛的振蕩行為發生。為了更好地觀察和分析，本文只選擇其中的4輛車，圖6為情景2下的第2、第5、第8和第11輛車的速度隨時間的變化。

在100～400 s期間，車輛遇到行人，然后車速減慢。在400～700 s期間，所有車輛都在人群隊列旁行駛，其速度仍然相對較低。在這個階段，行人之間的間距比車輛車頭間距小得多，車速比所有行人都快。從宏觀角度來看，行人流可以看作是一個長長的障礙。事實上，在這個時期車流受到每個行人的影響，由于間隔極短(行人間距離短)，因此每輛車的速度波動曲線看起來像一條直線。在700～1 000 s期間，汽車連續經過人群，并通過一系列復雜的速度波動后將其速度恢復到初始速度。

為了進一步分析交通流量行為，圖7顯示了隨著時間的變化，第1輛車和其余每輛跟馳車之間的距離變化。如圖7所示，左邊第1條線為第2輛車與第1輛車的距離差，向右以此類推，由于距離波動，每條曲線有2個凸起。當第1輛車遇到行人并且必須降低速度時，發生第1次擾動導致前車和后車之間的距離變小。當前車離開人群并恢復到其初始速度時，發生第2次擾動，導致前車和后車之間的距離變大。

經仿真實驗發現，在行人與車輛混合車道上，交通流會受到相鄰行人的影響。速度和車頭間距隨著時間的推移而變化。結果表明，當行人在鄰近的車道上行走時，司機通常會放慢車速，以確保行人和車輛自身的安全。這表明，通過考慮相鄰行人的橫向和縱向影響，可以改善交通安全，有助于解決交通擁堵問題。

圖6 場景2下的車輛速度隨時間變化曲線Fig.6 Variation curves of vehicle velocity with time in scene 2

圖7 通過行人人群時的車隊時空圖Fig.7 Space-time plots for a motorcade passing by pedestrian crowd

4 結 論

1) 本文提出了一種改進跟馳模型，該模型考慮了基于OV模型的行人和自行車在相鄰車道上行走時對行駛車輛產生的影響。特別地，將車輛與行人之間的橫向和縱向距離引入到傳統的跟馳模型中。

2) 利用所提出的新模型，進一步進行線性穩定性分析，獲得一系列中性穩定性曲線。

3) 通過仿真評估2種實際場景的模型能夠成功描述混合交通流量行為，提高交通流量，避免交通事故和堵塞。