一種考慮過濾的短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料RVE建模方法

劉豐睿， 駢瑢， 趙麗濱， 張建宇

(1. 北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100083； 2. 重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院, 重慶 400044)

短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料具有比強(qiáng)度高、比剛度高和可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等特點(diǎn)，在航空航天[1-2]、建筑[3]、汽車[4]、醫(yī)療[5]、船舶[6]等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。其彈性模量的預(yù)測(cè)是重要的研究內(nèi)容，主要的預(yù)測(cè)方法有均勻化法[7]、代表性體積單元(Representative Volume Element,RVE)法[8-10]等。其中，RVE法考慮因素多，能全面預(yù)測(cè)材料特性，是常用的預(yù)測(cè)方法。高效地建立RVE是進(jìn)行材料性能預(yù)測(cè)的第一步，也是研究難點(diǎn)。

目前建立短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料RVE的方法有：隨機(jī)順序吸附(Random Sequential Adsorption, RSA)方法[10-12]、基于RSA的纖維生長法[13]、分子動(dòng)力學(xué)方法[14]、粒子群優(yōu)化算法[15]、蒙特卡羅方法[16]和圖像重建技術(shù)[17]等。其中，RSA方法憑借其操作簡單、計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用。該方法的核心是每次在RVE區(qū)域內(nèi)生成位置隨機(jī)、取向按給定函數(shù)隨機(jī)分布的一根纖維后，判斷新纖維與已存在纖維是否相交，僅當(dāng)不相交時(shí)認(rèn)為新纖維可以存在于RVE中，循環(huán)此過程直到纖維體積分?jǐn)?shù)達(dá)到規(guī)定值為止[10]。纖維相交與否關(guān)系的判斷通常通過幾何方法實(shí)現(xiàn)[18]。考慮到幾何方法計(jì)算復(fù)雜且計(jì)算量大，Liu等[19]采用布爾運(yùn)算方法判斷纖維是否相交，進(jìn)而提出了基于布爾運(yùn)算的隨機(jī)順序吸附(Boolean Operation based Random Sequential Adsorption,BORSA)方法。但是，布爾運(yùn)算判斷法耗時(shí)也較長，并且對(duì)一些非常容易判斷位置關(guān)系的纖維進(jìn)行布爾運(yùn)算判斷影響了RVE的建立效率。

本文對(duì)Liu等[19]的方法進(jìn)行了改進(jìn)，在對(duì)纖維進(jìn)行布爾運(yùn)算判斷前，加入了新纖維與已存在纖維的形心距計(jì)算，當(dāng)形心距小于規(guī)定距離時(shí)不進(jìn)行布爾運(yùn)算，直接重新隨機(jī)生成纖維位置，這相當(dāng)于過濾掉了部分隨機(jī)生成的新纖維，進(jìn)而提出了考慮過濾的隨機(jī)順序吸附(Filter based Random Sequential Adsorption,FRSA)方法。然后，采用RVE生成算例驗(yàn)證了方法的先進(jìn)性。

1 BORSA方法

1) 生成第1根纖維fi(i=1)。隨機(jī)生成符合均布函數(shù)的纖維形心位置參數(shù)(x1,y1,z1)，隨機(jī)生成符合相應(yīng)函數(shù)的取向參數(shù)(θ,φ)，并在模型中生成纖維。

3) 隨機(jī)生成纖維fi的參數(shù)(xi,yi,zi,θi,φi)。設(shè)定布爾運(yùn)算次數(shù)T=0。

4)T=T+1，將纖維fi向(±L,0,0)，(0,±W,0)，(0,0,±H)，(±L,±W,0)，(0,±W,±H)，(±L,0,±H)，(±L,±W,±H)共26個(gè)方向復(fù)制。然后執(zhí)行布爾運(yùn)算：用27個(gè)新纖維fi減現(xiàn)有的i-1根纖維，當(dāng)i-1根纖維的剩余體積小于(i-1)Vf時(shí)，表明纖維間有相交關(guān)系，進(jìn)行步驟5)；當(dāng)i-1根纖維的剩余體積等于(i-1)Vf時(shí)，認(rèn)為纖維fi與纖維fj(j=1,2,…,i-1)均不相交，進(jìn)行步驟6)。

5) 當(dāng)T

6) 保存纖維fi的信息，返回步驟2)。

由上述過程可見，每生成一根纖維或?qū)w維進(jìn)行一次平移，均需進(jìn)行一次布爾運(yùn)算。由于纖維位置是隨機(jī)生成的，其中必然存在新生成的纖維形心位置與現(xiàn)有纖維形心非常接近的情況，比如小于纖維直徑，此時(shí)的新纖維必然與現(xiàn)有纖維相交。如果通過設(shè)置過濾函數(shù)使得對(duì)這部分新纖維不需要進(jìn)行布爾運(yùn)算，則可以提高RVE生成速度。

2 FRSA方法

2.1 FRSA方法原理

為了實(shí)現(xiàn)纖維過濾，定義新生成纖維與現(xiàn)有纖維形心距最小值di為

di=min(dij)

(1)

式中：dij為纖維fi和fj的形心距離,定義為

(2)

并在進(jìn)行布爾運(yùn)算前判斷di是否小于一個(gè)常數(shù)dc(dc為臨界距離)。當(dāng)di

2.2 臨界距離dc對(duì)FRSA方法的影響

空間中2個(gè)纖維的距離dij存在2個(gè)特殊情況：

1) 當(dāng)dij=D時(shí)，以fi形心為球心的纖維內(nèi)切球體與以fj形心為球心的纖維內(nèi)切球體相外切，如圖1所示。

根據(jù)上述2種情況可以將纖維之間的相交關(guān)系分為必然相交、必然不相交和可能相交3種情況：

1) 當(dāng)0≤dij

則dc的取值會(huì)導(dǎo)致4種過濾狀態(tài)：

1) 當(dāng)0

圖1 fi內(nèi)切球體與fj內(nèi)切球體相外切Fig.1 Circumscribed inner spheres of fi and fj

圖2 fi外切球體與fj外切球體相外切Fig.2 Circumscribed outer spheres of fi and fj

2) 當(dāng)dc=D時(shí)，過濾掉的fi是一定與fj相交的，并且一定與fj相交的fi均被過濾掉。

由上述分析可知，如果dc

2.3 FRSA方法步驟

FRSA方法將生成RVE的步驟4)改為：計(jì)算fi與fj(j=1,2,…,i-1)形心距的最小值di。當(dāng)di

需要指出的是，為了避免降低計(jì)算效率，上述方法中計(jì)算di時(shí)沒有對(duì)跨邊界纖維進(jìn)行特別處理。

3 FRSA方法先進(jìn)性驗(yàn)證

3.1 典型參數(shù)下的FRSA方法先進(jìn)性驗(yàn)證

考慮到過濾法是通過減少布爾運(yùn)算次數(shù)提高建模效率的，圖3給出采用BORSA方法和FRSA方法，各生成1個(gè)RVE模型時(shí)，生成每根纖維的布爾運(yùn)算次數(shù)。

采用2種方法各生成10個(gè)RVE。計(jì)算生成一個(gè)RVE的總布爾運(yùn)算次數(shù)，并對(duì)10個(gè)RVE取平均值，可知BORSA方法和FRSA方法生成一個(gè)RVE的平均布爾運(yùn)算次數(shù)分別為87.5和61.8次，改進(jìn)后FRSA方法布爾運(yùn)算次數(shù)降為BORSA方法的70.6%。

建模效率的最好指標(biāo)是建模時(shí)間。比較2種方法各生成10個(gè)算例的總時(shí)間，發(fā)現(xiàn)BORSA方法耗時(shí)1 079 s，改進(jìn)后FRSA方法耗時(shí)921 s，可見建模時(shí)間降為原方法的85.4%，明顯提高了RVE的建模效率。

采用FRSA方法生成的一個(gè)RVE如圖4所示，可以用來進(jìn)行后續(xù)的材料性能分析。

圖3 改進(jìn)前后2種方法在一個(gè)RVE算例中每根纖維的布爾運(yùn)算次數(shù)Fig.3 Number of Boolean operation times per fiber in one RVE example with two methods before and after improvement

3.2 RVE參數(shù)和方法參數(shù)對(duì)FRSA方法先進(jìn)性的影響

圖4 FRSA方法生成的RVEFig.4 RVE generated with FRSA method

表1 不同情況下的RVE建模效率對(duì)比Table 1 Comparison of RVE modeling efficiency for

3.2.2dc對(duì)建模效率的影響

分別計(jì)算2種方法生成一個(gè)RVE所需時(shí)間的比值t′/t″，并對(duì)10次模擬數(shù)據(jù)取平均值，結(jié)果如表2所示。

3.2.3AR對(duì)建模效率的影響

取AR=4、6和8 3種情況分別進(jìn)行RVE生成模擬，以驗(yàn)證FRSA方法在不同AR取值下的改進(jìn)效果。RVE建模所需時(shí)間的比值的10次模擬平均值如表3所示。

結(jié)合表1、表2和表3，AR=4、6和8 3種情況下結(jié)果可見，F(xiàn)RSA方法生成RVE的用時(shí)比BORSA方法均有所減少，驗(yàn)證了FRSA方法在不同AR取值下均具有先進(jìn)性。并且，相同的dc取值條件下，AR取值越小,建模時(shí)間減少越明顯，建模效率提高的程度越大。AR取值越大,建模效率改進(jìn)效果降低，是因?yàn)樵谙嗤琩c取值條件下，當(dāng)AR取值增大時(shí)，臨界距離dc與纖維外切球直徑的比值減小，導(dǎo)致過濾程度降低，從而導(dǎo)致了方法改進(jìn)效果的下降。

表2 不同dc情況下的RVE建模時(shí)間比Table 2 Ratios of RVE modeling time for various dc

表3 不同AR情況下的RVE建模時(shí)間比Table 3 Ratios of RVE modeling time for various AR

4 結(jié) 論

本文通過在BORSA方法進(jìn)行布爾運(yùn)算前引入纖維形心距判斷，過濾掉大量可能與已存在纖維相交的新纖維，提出了FRSA方法。在不同RVE參數(shù)和方法參數(shù)下對(duì)比了2種方法的纖維布爾運(yùn)算次數(shù)和建模時(shí)間，證明了FRSA方法的先進(jìn)性。主要結(jié)論如下：

1) 依據(jù)形心距可將纖維位置關(guān)系分為必然相交、必然不相交和可能相交3種情況。

2) 可通過纖維形心距判斷，過濾掉所有必然相交和部分可能相交的纖維。

3) FRSA方法能夠提高RVE的建模效率，且效率提高程度隨纖維體積分?jǐn)?shù)增大而增加，隨纖維長徑比增大而減少。

4) 增大臨界形心距可以增加改進(jìn)效果，但是更易出現(xiàn)纖維擁塞現(xiàn)象。