基座彈性的雙柔桿空間機器人的神經網絡動態面控制

黃小琴，陳 力*

(1. 福州大學，機械工程及自動化學院，福州 350116； 2. 福建省高端裝備制造協同創新中心，福州 350116)

1 引言

空間機器人能夠輔助航天員完成太空任務，可大幅度提高人類探索太空的工作效率[1-2]。空間機器人的臂桿因具有長臂，重載等的特點，往往都存在柔性；而空間機器人沿著由桁架組裝的導軌移動，在這工作操作過程中會激發導軌的振動，帶動基座產生彈性振動，由于基座與臂桿存在耦合關系，造成跟蹤軌跡偏差[3-4]。因此對空間機器人控制的研究須考慮臂桿柔性與基座彈性振動的抑制問題。于瀟雁等[5]采用自適應控制方法實現了多柔桿空間機器人的軌跡跟蹤的同時，應用最優控制進行柔性抑振。梁捷等[6]針對基座彈性影響，采用級聯控制法抑制了柔性關節空間機器人的基座與關節振動，但未考慮臂桿的柔性振動。Park等[7]應用反演法，設計了機械手的模糊神經網絡方法。以往的研究將臂桿柔性和基座彈性均考慮在內的空間機器人研究較少。

動態面是Swaroop等提出的一種空間機器人動力學控制的有效方法[8]，通過設計一階低通濾波器估計虛擬控制部分，解決了反演法中在后退過程中，虛擬控制部分重復求導出現的“微分爆炸”問題。Cheong等[9]結合模糊邏輯系統，設計了剛性機器人的狀態觀測器、參數估計器及動態面滑模控制方法。

本文綜合考慮空間機器人兩臂桿的柔性和基座的彈性，基于奇異攝動理論，將系統分解為快、慢變子系統：針對慢變子系統設計一種動態面控制器，以避免反演法的計算膨脹；以RBF神經網絡逼近包含外部干擾在內的動力學不確定項，從而使基座與兩關節鉸跟蹤期望軌跡。對于快變子系統，采用線性二次型最優控制抑制彈性基座與兩柔桿的振動。

2 系統動力學模型

以基座、臂桿全彈性空間機器人為被控對象，系統可簡化為如圖1所示的由自由飄浮的基座B0加柔性臂桿B1、B2。將導軌彈性簡化為一個輕質彈簧，以表示基座的彈性，χ為彈性位移，并可以假定：

1) 彈簧為無質量彈簧；

2) 彈簧只做沿著軸線的拉縮運動；

3) 彈簧的彈性系數kχ為常量；

4) 彈簧初始位移為零。

圖1 基座、臂桿全彈性空間機器人系統Fig.1 Space robot system with flexible links and elastic base

建立各分體Bi(i=0,1,2)的聯體坐標Oixiyi，其中O0與B0的質心Oc0重合，Oi(i=1,2)分別為相應的轉動鉸中心。B1桿的轉動鉸O1與B0之間用輕質彈簧連接，x0軸通過O0與O1的連線，x1軸與O1O2在同一直線上，x2軸與B2始終相切于O2。在初始狀態下，O1在x0軸上與O0的距離為l0，Bi(i=1,2)沿xi軸的長度為li；載體的質量與繞質心的轉動慣量分別為m0、J0。C為系統的總質心。以空間任意點O為原點，設立平動慣性坐標系(O-xy)。

考慮兩臂桿均為細長勻質桿件，可只考慮其彎曲變形，忽略其軸線與剪切變形，同時兩臂桿在平面內作橫向振動。柔性臂Bi(i=1,2)的線密度為ρi，截面抗彎剛度為(EI)i。根據振動力學理論[10]，這兩柔性臂可視為伯努利-歐拉梁，那么其彈性變形記作式(1)：

(1)

其中，σi(xi,t)為Bi在截面xi(0≤xi≤li)處的橫向彈性變形，ωij(xi)為Bi的第j階的模態函數，ξij(t)為與ωij(xi)對應的模態坐標，ni為截斷項數，大幅值的振動主要由前幾階模態構成，取ni=2。根據文獻[10]可查詢到相對應的模態函數。利用拉格朗日第二類方程，可得基座彈性的雙柔桿空間機器人的動力學方程如式(2):

(2)

3 快、慢變子系統分解

運用奇異攝動方法，將動力學系統分解為快、慢變子系統，為此，將式(2)表示成式(3)所示分塊矩陣形式：

(3)

(4)

(5)

設計如式(6)所示組合控制律：

τ=τs+τf

(6)

(7)

其中，矩陣或變量上加上劃線“-”意為與之對應的慢變分量。將上式代入式(6)，得到慢變子系統如式(8)：

(8)

(9)

4 慢變子系統控制器

4.1 控制器設計

考慮外部干擾τd，慢變子系統可寫為式(10)：

(10)

(11)

采用動態面控制方法設計虛擬控制量和控制輸入信號，在此基礎上設計τs。動態面控制的設計步驟如下：

1)定義第一個誤差面如式(12)：

s1=e=υ1-qd

(12)

(13)

(14)

其中，時間η2>0。定義慢變子系統邊界層誤差如式(15)：

(15)

求υ2d的一階導數，得到式(16)：

(16)

(17)

2)提出第二個動態面s2如式(18)，進而設計τs：

s2=υ2-υ2d

(18)

(19)

(20)

利用RBF神經網絡來逼近Θ(X)=TΔ。記Θ(X|W)為Θ(X)的一個逼近，如式(21)

Θ(X|W)=WTO(X)

(21)

其中，W為權值矩陣，O(X)=[O1,…,Oh]T為基向量，h為基函數列向量。輸入X=[X1,…,Xm]T，m為基函數中心點個數；O(X)的元素為式(22)所示高斯基函數：

(22)

其中，aj、bj分別為曲線的中心、寬度。W的最優值W*是一個常數矩陣且滿足式(23)：

(23)

其中：ΩW={W|‖W‖≤ρW}，ρW為有界正常數。則Θ(X)可表示為如式(24)所示：

Θ(X)=W*TO(X)+μ*

(24)

其中，μ*為最優逼近誤差。設計慢變子系統的控制規律為式(25)：

(25)

(26)

(27)

其中，β1∈h×h，β2∈3×3。λ1>0，λ2>0。由控制規律式(25)，求出如式(28)：

(28)

4.2 穩定性分析

定理：對于空間機器人慢變子系統，控制規律式(25)將使系統半全局最終一致有界，即e收斂到零的一個任意小鄰域內。

證明：構造如式(29)所示的李雅普諾夫函數V：

(29)

其中，V滿足初始條件V(0)≤ρV(ρV為正實數)。求V關于時間t的一階導數如式(30)：

(30)

(31)

(32)

0≤V≤ψ/α+[V(0)-ψ/α]e-αt

(33)

上式表明V最終以ψ/α為界。因此系統半全局最終一致有界，即e收斂到零的一個任意小鄰域。

5 快變子系統的線性二次控制器

本文采用線性二次型調節器來控制系統的快變子系統，以抑制彈性基座與兩柔桿的振動。

(34)

利用最優控制方法可將系統狀態變量P調節到零，從而實現基座彈性與兩桿柔性振動的抑制。引入如式(35)所示形式的線性二次最優控制性能指標函數：

(35)

其中，Q∈10×10為半正定加權對稱陣，R∈3×3為正定加權對稱陣。

為了最小化Υ，控制量應設計如式(36)：

τf=-R-1BTΞP

(36)

其中，Ξ滿足式(37)所示的Riccati代數方程：

ΞA+ATΞ-ΞBR-1BTΞ+Q=O

(37)

6 仿真驗證

以圖1所示的模型為例，在MATLAB中進行數值仿真實驗。系統慣性與結構參數取值為：l0=l1=1.5 m,l2=1.0 m,m0=40 kg，J0=34.17 kg·m2，ρ1=3.5 kg/m，ρ2=1.1 kg/m，(EI)1=50 N·m2,(EI)2=50 N·m2。彈簧剛度系數kχ=500 N/m。τd(t)取值為:τ0 d=2.5[cos(πt/6)-sin(πt/6)]，τ1 d=2.5cos(πt/6)，τ2 d=2.5sin (πt/6)。設qd分別為：q0d=π/6 rad，q1d=-π/2 rad，q2d=-π/6 rad。初始位形分別取為：q0(0)=0.1 rad，q1(0)=(π/3-0.2) rad,q2(0)=(-π/6-0.15) rad。基座彈簧初始位移為χ(0)=0。設定軌跡追蹤過程仿真時間為t=30 s。

圖2為基座彈性的雙柔桿空間機器人采用文中控制方案時q的實際軌跡與期望軌跡。約12 s之后，基座，關節1和2的穩態誤差分別在2×10-4rad、1×10-3rad、8×10-4rad以內。圖3為該控制方案下基座彈性振動情況。彈性位移在0.05 s時從最大的0.0678 m到15 s后衰減為零。圖4、圖5為兩柔性臂桿一、二階模態情況。B1桿一階模態從2.0 s時最大的0.0643 m衰減到零，二階模態從0.2 s的0.0075 m衰減到零；B2桿一階模態從0.8 s的0.0337 m衰減到零，二階模態從0.02 s的0.0085 m衰減到零。從仿真結果可以看出：q能很好地跟蹤上期望軌跡，同時抑制了基座彈性與兩柔桿的振動。

圖2 基座與兩關節鉸姿態角的軌跡圖Fig.2 Trajectory tracking of the base‘s attitude and the two links’ joints

圖3 基座彈性位移圖Fig.3 Elastic displacement of the base

圖4 柔性桿B1的模態Fig.4 The mode of flexible linkB1

圖5 柔性桿B2的模態Fig.5 The mode of flexible linkB2

7 結論

針對基座彈性的雙柔桿空間機器人系統，仿真實驗驗證了所提神經網絡動態面控制方案的有效性和可行性?？刂破髂苡行У难a償外部干擾和模型不確定性，具有良好的軌跡跟蹤和振動抑制性能。

空間機器人是多自由度的三維臂桿結構，本研究探討的對象雖為二維空間機械臂系統，但本文所提控制方案經適當擴充，可以推廣并應用于太空中從事空間活動的一般三維空間機器人系統。