多維融通：兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地的重要通途

江蘇揚州市邗江區(qū)實驗小學(xué) 黃 彪

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。 這是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)。 在數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向的當(dāng)下要實現(xiàn)這樣的目標(biāo)，需要從完整學(xué)習(xí)的理念出發(fā)，用融通的思維來開展實踐， 具體來說就是不局限于過去靜態(tài)的、事實性的、結(jié)論性的經(jīng)驗系統(tǒng)，改變過去將認(rèn)知、情感和態(tài)度等方面對立起來的二元論，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是認(rèn)知的過程，還是一個讓學(xué)習(xí)者全部身心和精神都真正參與進(jìn)來的過程，主要可從以下四個方面開展實踐。

一、縱橫交融，讓學(xué)生察而有真覺

問題是思維的觸發(fā)器，有了問題，學(xué)生的數(shù)學(xué)探索才會開始，數(shù)學(xué)研究才會深入，也才會有創(chuàng)新的火花展現(xiàn)。 要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，就要引導(dǎo)學(xué)生積極面對各式各樣的問題情境，包括顯性情境和隱性情境，從中發(fā)現(xiàn)并提出有價值的數(shù)學(xué)問題。 然而，現(xiàn)有的實踐研究主要集中于啟發(fā)學(xué)生根據(jù)顯性情境中的已知條件提出問題，并分析、解答，這樣的反復(fù)訓(xùn)練，一方面學(xué)生容易形成固化的模式和“條件反射”，另一方面由于對生活直觀的過多依賴，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識缺少深刻理解，難以建構(gòu)起整體的聯(lián)系。 實際上，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)更多地鼓勵學(xué)生從學(xué)習(xí)現(xiàn)狀（即隱性情境）出發(fā)，自疑自問，真疑真問，隨疑隨問，讓每一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點都精準(zhǔn)，每一次數(shù)學(xué)信息的汲取都鮮活。 這就需要教師幫助學(xué)生在面對新問題時，能對學(xué)情做自我審視和理性判斷，并引領(lǐng)他們根據(jù)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)進(jìn)程，靈活地在不同學(xué)習(xí)方式間作選擇，主要包括兩個方面：一是橫向數(shù)學(xué)化，即基于生活經(jīng)驗，把生活世界自然地引向數(shù)學(xué)世界；二是縱向數(shù)學(xué)化，即在數(shù)學(xué)世界里實現(xiàn)知識的重組、方法的重構(gòu)和思想的重塑，并付諸應(yīng)用，以真起點引發(fā)前行內(nèi)驅(qū)，在真體驗中獲得真知真覺。

以蘇教版數(shù)學(xué)三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元教學(xué)為例， 這部分內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)過兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，能為今后學(xué)習(xí)更多位乘數(shù)的乘法計算、四則混合運算以及解決與之相關(guān)的實際問題奠定基礎(chǔ)。 本單元的主要內(nèi)容包括：兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）的筆算和乘數(shù)末尾有0的乘法等。其中，理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法是重點。 考慮到學(xué)生對多位數(shù)乘一位數(shù)的知識有所遺忘，筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時掌握乘的順序和寫的方法均需要以算理為支撐，學(xué)生理解上有難度，在教學(xué)兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算和兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算時，可選擇橫向數(shù)學(xué)化的方式，即從教材中的生活情境引入， 讓學(xué)生提出問題并得出算式，算法探究過程中再借助生活情境幫助學(xué)生理解算理，掌握算法，繼而實現(xiàn)從生活世界到數(shù)學(xué)世界的自然銜接。 以此為基礎(chǔ)，為避免學(xué)生受到非本質(zhì)因素的干擾，讓新舊知識的鏈接和數(shù)學(xué)思維的銜接有連續(xù)性，在教學(xué)兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）的筆算和乘數(shù)末尾有0的乘法時， 可去除書中情境引領(lǐng)學(xué)生作縱向數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)，直接從“不進(jìn)位”過渡到“進(jìn)位”，讓學(xué)生在自主嘗試中獲得體驗并產(chǎn)生疑問，如今天學(xué)習(xí)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)和前面有何不同？ 出現(xiàn)進(jìn)位了該怎么辦？ 第一個乘數(shù)和第二個乘數(shù)末尾的0相乘可否省略？ 直接關(guān)注數(shù)學(xué)本身，直接叩擊知識本質(zhì)。 如此，通過教師縱橫交錯的教，去實現(xiàn)學(xué)生靈活多變的學(xué)，學(xué)習(xí)效率會明顯提高，也有益于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

二、感理交融，讓學(xué)生思后有深悟

數(shù)學(xué)教學(xué)中的感性主要指具體形象思維，理性主要指抽象邏輯思維。 小學(xué)生的思維發(fā)展正處于具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段，這就意味著教學(xué)時兩者不能彼此割裂， 既要在銜接上下功夫，又要在理性思考能力的提升上動腦筋。 然而，現(xiàn)實中不少數(shù)學(xué)知識的教學(xué)主要基于規(guī)律的猜測和發(fā)現(xiàn)，即便證明也僅限于操作和舉例。 要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就要強化感性認(rèn)識與理性思考的有機結(jié)合，突出對數(shù)學(xué)信息的深加工。 具體來說，要引領(lǐng)學(xué)生既能擺脫直觀多做理性思考，又能在理性思考時借助直觀作多元表征，并靈活地解決疑難問題。

如在教學(xué)圓柱的特征時，學(xué)生通過觀察很容易發(fā)現(xiàn)圓柱的兩個底面是相等的， 關(guān)鍵是如何證明。通常有兩種方法：一是比一比，將圓柱實物的蓋子取下與另一個底面作比對，根據(jù)完全重合證明兩底面相等；二是量一量，借助直尺和細(xì)繩，度量兩個底面的直徑或周長， 由直徑或周長相等得出面積相等。 如果教學(xué)止步于此，學(xué)生的思維缺乏嚴(yán)密性，抽象邏輯思維很難得到發(fā)展。 實際上教學(xué)可更進(jìn)一步：首先鼓勵學(xué)生質(zhì)疑，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在“比一比”“量一量”的過程中容易出現(xiàn)誤差，繼而引發(fā)理性思考“還有更好的證明方法嗎？ ”接著出示一個長方形，適當(dāng)配以動畫來引導(dǎo)學(xué)生想象長方形旋轉(zhuǎn)形成圓柱的過程； 最后基于學(xué)生想象讓學(xué)生在推理中發(fā)現(xiàn)：長方形的寬就是圓柱的底面半徑，由半徑相等得出底面相等。 如此安排，學(xué)生經(jīng)歷了動手操作—動腦想象—數(shù)學(xué)推理的全過程，思維從感性向理性螺旋式推進(jìn)，領(lǐng)悟深刻。 今后在面對復(fù)雜問題時，學(xué)生會自然地從體積計算公式出發(fā)，配合腦海中呈現(xiàn)的立體圖形表象，尋找到相關(guān)信息，輕松解決問題。

三、內(nèi)外交融，讓學(xué)生言里有底氣

從某種意義上來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)思維活動。 數(shù)學(xué)語言作為數(shù)學(xué)思維的載體，在學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成過程中具有重要價值。 從信息加工論的觀點來看，人的知識體系一般需要經(jīng)歷信息輸入—信息加工—信息輸出的過程才能形成，數(shù)學(xué)教學(xué)往往止步于第二階段，學(xué)生聽懂即行，會做即可。 殊不知聽懂不一定能融會貫通， 會解題往往只是重復(fù)加工，真正意義上的信息輸出并未形成。 培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，正是實現(xiàn)信息輸出的重要方式之一。 需要注意的是，數(shù)學(xué)語言是一種高度抽象的人工符號系統(tǒng)，兒童在學(xué)習(xí)時必然存在難度，教學(xué)時要注意內(nèi)外交融：向內(nèi)提升學(xué)生的理解力，可通過強化知識之間的關(guān)聯(lián)促理解，借助文字、符號和圖形的多元表征促理解，靈活運用變式比較，演繹推理，類比遷移等方法促理解；向外培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)力，教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)交流與表達(dá)的機會，激發(fā)他們表達(dá)的自主能動性，引導(dǎo)他們從正確表達(dá)、清楚表達(dá)，走向數(shù)學(xué)表達(dá)。

以常見的問題解決為例，如“學(xué)校買了8套課桌椅共花了1440元， 每張課桌120元， 每把椅子多少元？ ”正確表達(dá)一般直接指向結(jié)果，主要表現(xiàn)為面對問題能列出算式，并說出每一步算的是什么。 清楚表達(dá)既指向結(jié)果，也指向過程，主要表現(xiàn)為能用分析法或綜合法闡述自己的想法和相應(yīng)的做法，必要時配以圖示說明。 數(shù)學(xué)表達(dá)則是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的模式與方法呈現(xiàn)真實問題中的關(guān)系， 建立數(shù)學(xué)模型，并能完整而有邏輯地作解析。 上述問題教師可以從以下四個方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)：一是引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)量關(guān)系分析和數(shù)據(jù)觀察，與相遇問題產(chǎn)生溝聯(lián)；二是說出此問題與相遇問題的共同特點及對應(yīng)關(guān)系；三是建立數(shù)學(xué)模型“AB＋AC＝S”，列方程求解并驗證；四是基于此模型創(chuàng)編新問題并作解析說明。

考慮到任何一種語言都需要以普通語言（學(xué)生日常生活的語言）為解釋系統(tǒng)，數(shù)學(xué)語言也是如此，因此在教學(xué)時要加強兩種語言的互譯，主要包括兩個方面：一是將普通語言數(shù)學(xué)化。 如每袋大米的價錢×大米的袋數(shù)＝購買大米總共付出的錢，諸如此類的語言均可表達(dá)為單價×數(shù)量＝總價。 如此轉(zhuǎn)換，除了準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡明外，還能幫助學(xué)生用一個數(shù)學(xué)模型來解決多個實際問題。 二是將數(shù)學(xué)語言普通化。 有些數(shù)學(xué)語言口頭表達(dá)有難度，翻譯成普通語言后學(xué)生會感到通俗易懂，便于交流。 如加法結(jié)合律是小學(xué)數(shù)學(xué)五大基本定律之一，用文字?jǐn)⑹龌蛴煤蟹柕氖阶颖硎揪@冗長，小學(xué)生難以表述清楚，很多時候都是死記硬背，時間一長容易混淆或遺忘， 在單元復(fù)習(xí)時可鼓勵學(xué)生用自己的話說說對加法結(jié)合律的新理解。 如“只要是連加，隨便哪兩個數(shù)先加結(jié)果都一樣”“在加減混合運算中，可以先算出一共要加多少，再算出一共要減去多少，最后再把兩個結(jié)果相減”， 這樣既鞏固了學(xué)生對加法結(jié)合律的理解，也引發(fā)了學(xué)生由三個數(shù)連加向多個數(shù)連加以及加減混合運算作延伸思考，實現(xiàn)了學(xué)生對加法交換律和結(jié)合律的綜合運用和靈活運用。 實踐告訴我們，當(dāng)學(xué)生能用普通語言陳述概念的定義和介紹概念的本質(zhì)屬性時，他們對概念的理解大多比較深刻。 由此可以看出，內(nèi)在的理解與外在的表達(dá)是相輔相成的，只有理解有深度，表達(dá)才會有邏輯，顯底氣。

四、動靜交融，讓學(xué)生心中有熱情

從以上三個方面可以清楚地看出，“三會”目標(biāo)的培養(yǎng)都必須以發(fā)展思維為核心，但都離不開外部因素的刺激和牽引， 對小學(xué)生而言這固然必要，然而，數(shù)學(xué)素養(yǎng)終究要成為學(xué)生自己能帶走的、隨時用得上的精神財富，如何讓學(xué)生從“被思維”走向真正意義上的“自思維”至關(guān)重要。 教師在教學(xué)過程中要有意識地做到動靜交互：“動”是指學(xué)生在外部指令下能迅速地做出反應(yīng)，主要表現(xiàn)為教師提問后能快速思考作答，學(xué)生發(fā)言時能快速判斷，依據(jù)要求能快速完成操作，等等，日常教學(xué)中這方面的情況總體較好；“靜”是指學(xué)生在獨立面對問題情境、他人觀點，特別是學(xué)習(xí)遇阻時能靜思默想，理性辨析，智慧取舍，在百折不撓中完成學(xué)習(xí)任務(wù)，這是當(dāng)前教學(xué)中最為或缺的。

教師可從多層面予以重視：一是創(chuàng)設(shè)學(xué)生獨立啟學(xué)的機會，讓學(xué)生知道該從哪兒出發(fā)。 如新授時經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多內(nèi)容學(xué)生已經(jīng)學(xué)過，教師就不能按原定計劃開展教學(xué)， 可以讓學(xué)生自己思考研究方案，自己選擇研究方法，靜靜地走進(jìn)“最近發(fā)展區(qū)”。 二是給予學(xué)生深度研學(xué)的空間，讓學(xué)生擁有思維跌宕后的快樂體驗。 教學(xué)時可多用大問題引領(lǐng)，讓學(xué)生不疲于應(yīng)付，自我找尋深入思考的適切點，在不斷迂回與調(diào)整中選擇有效策略實現(xiàn)問題攻堅，在靜悟中積累數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗。 三是培養(yǎng)學(xué)生積極反思的習(xí)慣，讓學(xué)生擁有不斷前行的動力。 學(xué)生有效思考時間越長，越有益于思維水平往高處發(fā)展，越有益于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。 教師應(yīng)經(jīng)常性提醒學(xué)生對學(xué)習(xí)活動做深刻內(nèi)省，重點聚焦學(xué)習(xí)中的痛點，如第一次操作為什么沒成功？ 后來怎么調(diào)整的？ 以后要注意什么？ 課上要堅持獨立思考基礎(chǔ)上的集中交流，課后要強化哲學(xué)意義上的反復(fù)考量，讓“這樣肯定對嗎？ ”“只能這樣嗎？ ”成為思辨的常態(tài)，在靜省中實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由課內(nèi)向課外展延，從而獲得持久的學(xué)習(xí)熱情，這股熱情將激發(fā)學(xué)生在發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的道路上越走越遠(yuǎn)。