淺談高中數學應用題中的最值問題

連曉穎

近年來，隨著新課程標準的深化實施，高中數學教學在知識實際應用方面有較大的改善，逐步從注重知識過渡至學生學習能力與應用意識的鍛煉.高中數學應用題中的最值問題與實際應用較為貼近，題目背景復雜多變，題型新穎個性，是以建立數學模型為基礎，將實際問題抽象成數學問題，并利用求解數學模型解答實際問題，這對改善教學質量來說相當重要.

一、及時轉變傳統觀念，注重應用數學知識

在高中數學教學過程中，針對應用題中的最值問題，教師首先需要及時轉變傳統落后的教育觀念，注重學生對數學知識的實際應用，引導他們嘗試利用數學知識求解應用題中的最值問題.因此，高中數學教師在具體的應用題教學實踐中，應關注數學知識產生的實際背景，增強數學教學與現實生活之間的關聯性，可以讓學生利用課堂上學習到的知識來解決現實生活中的問題，使其深刻體驗到學習數學知識是相當有用的.

在這里，以函數類應用題教學為例，教師設置應用題：某養殖場需要定期購買飼料，已知該養殖場每天需要使用飼料200千克，每千克飼料的價格是1.8元，飼料保管費及其他費用平均每天每公斤0.03元，每次購買飼料的運費是300元.求該養殖場多少天購買一次飼料，才可以讓平均每天支付的總費用最少？解析：設該養殖場應該每隔x（x∈N+）天購買一次飼料，平均每天支付的總費用是y元，根據題意得知飼料保管和其他費用每天比前一天要少200×0.03=6元，那么x天飼料的保管和其他費用一共是6（x-1）+6（x-2）+…+6=3x2-3x（元）.所以有y=1x（3x2-3x+300）+200×1.8=300x加3x+357≥417，當且僅當3x=300x，即x=10時y有最小值，答案即為10天.

如此，教師在進行函數應用題教學時，利用生活化的應用題引領學生求解最值，鍛煉學生的知識應用意識，使其利用學習過的函數知識求出最值，讓他們充分感受到成功與喜悅.

二、鼓勵學生善于觀察，發現生活數學問題

在高中數學應用題教學中，教師需結合實際知識點恰當引入現實生活中的實際問題，既能夠將枯燥乏味的數學知識和學生數學化的生活原型有機整合，還可以更好地吸引他們的注意力，激發學生求解最值問題的探究動力和欲望.因此，高中數學教師在應用題教學中，需鼓勵學生善于觀察和體驗生活，發現生活中的數學問題，讓他們積極、主動地參與到求解最值問題中，將數學知識和生活實際相聯系，并自覺接納數學知識.

比如，在學習三角函數過程中，教師設置應用題：如圖所示，游客從某景區的景點A處下山到C處有兩個路線可選擇，一種是沿直線直接步行至C處，路程為1 260米，另外一種是先乘坐纜車至B處，在沿直線步行至C處.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度是50米/分鐘，出發2分鐘，乙從A乘坐纜車至B處，速度是130米/分鐘，且在B處停留1分鐘，之后再勻速步行至C處.其中cosA=1213，cosC=35，求乙出發多少分鐘之后在纜車上和甲的距離最短？解析：設乙出發x分鐘后，甲、乙的距離為y，則有y2=（130x）2+（100+50x）2-2×130x×（100+50x）×1213，即y2=200（37x2-70x+50）.又因0≤x≤1 040130，即0≤x≤8，所以x=3537時，也就是乙出發3537分鐘后，和甲的距離最短.

上述案例教師將三角函數知識和生活中的行程問題相結合，使學生意識到數學知識和生活之間的關聯性，培養他們善于發現生活中數學問題的意識，且求最值能力也得以鍛煉.

三、創設良好教學情境，學生主動求解最值

在高中數學應用題最值問題教學中，為改善課堂教學效率，教師需讓學生對所學內容產生一定的興趣，這是學習好最值問題的關鍵.所以，高中數學教師在課堂教學中，應當為學生營造一個寬松自由、輕松愉悅的學習環節，使其心理得以保障，并隨時隨刻鼓勵他們，讓學生能夠大膽提出個人對應用題最值問題的想法與見解，幫助他們養成主動學習的良好習慣，且有助于學習效率的提高和應用意識的改善.

舉個例子，房地產是一個社會熱點，教師可設置應用題：為穩定房價，某市政府決定建造一批保障房，計劃花費1 600萬元購買一塊地皮，建造10幢樓房，層數一樣，每層建筑面積都是1 000平方米，建筑費用和樓層有關，第x層樓房每平方米的建筑費用是（kx+800）元，（k為常數）.經測算，假如每幢樓高5層，該保障房每平方米的平均綜合費用是1 270元.求k的值;將費用降至最低，每幢樓是多少層？每平方米的平均綜合費用是多少？對k的值學生能夠輕松求出是50，然后設每幢樓為n（n∈N+）層時，每平方米的平均綜合費用是f（n），則f（n）=16 000 000+[（50+800）+…+（50n+800）]×1 000×101 000×10×n，1 600n+25n+825≥21 600×25+825=1 255，當且僅當1 600n=25n，即n=8時等號成立，也就是樓層為8層，費用是1 255元.

這樣教師利用學生熟悉的房地產創設教學情境，他們將會主動參與到應用題的最值問題求解中，以積極的心態解答應用題，從而提高解題效率，進一步提升運用所學知識解決實際問題的能力.

總之，在高中數學應用題教學中，教師需格外關注最值問題的教學，利用多元化的教學方式，激發學生學習求應用題最值的積極性與興趣，增強他們的知識理解能力與數學應用能力，并提升學生的文字信息轉變能力與推理變形能力，最終提高他們解決實際問題的水平.