探討三角函數(shù)求值題的解題技巧

李海玲

【摘要】三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，內(nèi)容比較抽象，并且要求學(xué)生具有較高的邏輯分析能力和歸納總結(jié)能力.在高考中，三角函數(shù)是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，其題型變化形式較多，學(xué)生在解題的過程中存在一定的難度.因此，在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生三角函數(shù)解題技巧的傳授，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)層次、多個(gè)角度有效解決三角函數(shù)問題，提高學(xué)生的解題效率和解題質(zhì)量.本文中對(duì)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見的解題技巧進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);解題技巧

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，三角函數(shù)有著重要的作用和地位，同時(shí)三角函數(shù)具有抽象性和概念性的特點(diǎn)，難度較大，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中存在一定的困難，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.長此以往，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)喪失學(xué)習(xí)興趣和信心.因此，在三角函數(shù)教學(xué)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生解題技巧的掌握，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題效率和質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

一、巧妙使用角轉(zhuǎn)化，解決三角函數(shù)求值問題

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)求值題解答的過程中，涉及正余弦、正余切和正余弦角度等問題，雖然題目比較簡單，但是其形式變化多樣，并且要求學(xué)生具備較強(qiáng)的思維能力.在此種例題解答的過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生明白萬變不離其宗的道理，并且能夠靈活的運(yùn)用三角函數(shù)公式，快速的化簡，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真的態(tài)度，避免出現(xiàn)遺漏和失誤，造成思路正確結(jié)果錯(cuò)誤的情況.例題：求解sin20°cos10°-cos160°sin10°的值.

在此種類型題目解答的過程中，題目中的角不是常見的特殊角，因此，在求解的過程中，引導(dǎo)學(xué)生觀察20°和160°之間的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式將不同的角轉(zhuǎn)化成相同角，之后使用兩角和與差的三角公式化成一個(gè)角的三角函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案，解題過程中應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確的記憶和靈活的使用公式.

解：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12.因此，在三角函數(shù)求值題解答的過程中，角的轉(zhuǎn)化非常重要，并且需要靈活的轉(zhuǎn)化，學(xué)生應(yīng)當(dāng)靈活的運(yùn)用，提高解題的效率，節(jié)約解題的時(shí)間.

另外，在角的轉(zhuǎn)化中，存在正余弦之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)三角函數(shù)中還有正余弦、正余切之間的轉(zhuǎn)化.如最為典型的例題：如果tanα=2tanπ5，求解cosα-3π10sinα-π5的值.

此題在解答的過程中需要利用兩角和差的正余弦公式，借助同角的三角函數(shù)關(guān)系和恒等變換進(jìn)行求值.在求值的過程中，應(yīng)當(dāng)利用合適的公式進(jìn)行代入化解，并且注重公式的逆用和順用.

在三角函數(shù)角的轉(zhuǎn)化求值問題解答的過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟練地掌握和運(yùn)用公式，并且根據(jù)已知的條件選擇最佳的公式，完成轉(zhuǎn)化和求值，提高學(xué)生的解題效率.

二、借助數(shù)形結(jié)合，解答三角函數(shù)求值題

三角函數(shù)求值題在解答的過程中，部分問題的解答和圖形有著密切的關(guān)系，學(xué)生依靠自己的想象很難找出解題的關(guān)鍵點(diǎn)和思路.在針對(duì)此種類型問題解答的過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合，完成題目的快速解答.借助數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生畫圖解題的良好習(xí)慣，充分利用圖形的優(yōu)勢，提高學(xué)生的解題能力.例題：在△ABC中，A=3π4，AB=6，AC=32，點(diǎn)D在BC邊上，AD=BD，求解AD的長.

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別是a、b、c，由余弦定理可以得出a=310，根據(jù)正弦定理得出sinB=1010.根據(jù)題目中0

在此題解答的過程中，根據(jù)題目中的已知條件進(jìn)行畫圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想，準(zhǔn)確地找到需要研究的三角形，正確地利用正余弦定理進(jìn)行三角函數(shù)的求值.

三、借助升冪降冪，解決三角函數(shù)求值問題

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題的過程中，升冪降冪是一種有效的解題思路，對(duì)三角函數(shù)有效的化簡，是一種常見的方式.在解題的過程中，需要對(duì)相應(yīng)的三角函數(shù)公式合理利用.因此，學(xué)生不僅僅需要熟練地掌握三角函數(shù)公式，同時(shí)能夠根據(jù)題目的實(shí)際靈活地運(yùn)用，快速地解決三角函數(shù)求值問題.教師引導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生注意化簡過程，保證準(zhǔn)確率，任何一點(diǎn)錯(cuò)誤都可能造成解題錯(cuò)誤，浪費(fèi)解題的時(shí)間.例題：化簡1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x.

在此種類型題目解答的過程中，總體的思路是將題目的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其更加的簡單，簡單地說就是將題目中的高次冪降低成低次冪，方便進(jìn)一步的求解.此題目中的冪數(shù)并不統(tǒng)一，如果想要求解，需要選擇是降冪還是升冪.教師利用三角函數(shù)公式sin2α+cos2α=1，將題目進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，通過相應(yīng)的轉(zhuǎn)化之后，進(jìn)一步進(jìn)行加減運(yùn)算，能夠更加容易地化解題目.

解：1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x=（sin2x+cos2x）3-sin6x-cos6x（sin2x+cos2x）2-sin4x-cos4x=2sin2xcos2x3cos2xsin2x（sin2x+cos2x）=23.因此，在解題的過程中，升冪和降冪的選擇是解題的關(guān)鍵，對(duì)三角函數(shù)公式靈活的使用，對(duì)求值問題有效地解答.因此，在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)求值問題解答的過程中，應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維，注重題目合理的轉(zhuǎn)化，有效地提高學(xué)生解題效率和質(zhì)量.

四、結(jié)?語

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考考查的重要內(nèi)容，并且其內(nèi)容比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)存在一定的難度.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生靈活地運(yùn)用解題方式，加強(qiáng)三角函數(shù)公式的學(xué)習(xí)和掌握，結(jié)合題目開展訓(xùn)練，優(yōu)化學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力和解題效率.在實(shí)際教學(xué)的過程中，角的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合和降冪升冪是常用的解題方式和思路，教師應(yīng)當(dāng)不斷地總結(jié)，傳授學(xué)生更多的解題技巧.

【參考文獻(xiàn)】

[1]彭萬雷.例析三角函數(shù)求值題的解題技巧[J].華夏教師，2016（12）：37.

[2]張新艷.例談高中三角函數(shù)求值題的解題技巧[J].數(shù)理化解題研究，2017（19）：15-16.