橢圓離心率的求解思考

何婷

【摘要】橢圓離心率作為橢圓幾何性質基礎上發展出來的拓展課程，它既可以輔助學生以公式法求解橢圓離心率問題，還可以使用一些特別的技巧跟快捷的方法解決橢圓的離心率問題.它可以引導學生從橢圓基礎的定義入手，去了解更深層次的幾何問題，發展學生的思維活動，提高學生的計算能力.橢圓離心率的計算也可以使學生認識到如何將復雜的問題簡單化.

【關鍵詞】橢圓離心率;高中數學;解題方法

高考中出現的橢圓相關的題目的難度適中，但是還是要求學生有一定的作圖分析能力.學生要在橢圓離心率的問題中，學生普遍感受是入手容易，計算難.其實主要體現在幾個方面的問題，首先是對題目的理解和一些條件之間的等價代換，其次是整合問題與解題路徑的選擇，最后一個問題就是學生處理問題時的計算能力.這三點成為制約學生掌握好這部分知識的命門，所以要想熟練的求解橢圓離心率問題，就一定要掌握一定的方法.

一、對求解橢圓離心率時學生出現的主要問題

（一）求解一道數學問題最開始的問題就是理解題目的本意，而要完成這個目標的必要工具就是對題目中的相關概念的理解和掌握.橢圓離心率的問題也是這樣，只有真正的把握概念、注意概念產生的背景以及變化，才能正確分析題目.而有一些學生并不重視對概念的理解及其演變，導致解題的時候對題目理解不是很到位，對題設的隱含條件不會挖掘.最后題目做不對.例如，為什么初中所學的方程y=1x所對應的圖像也叫雙曲線，它和高中所學的雙曲線x2a2+y2b2=1（其中a>0，b>0）有什么區別和聯系？這樣的問題學生就在弄不懂題目本意的時候出現回答錯誤.

（二）還有些問題體現在解題方法的選擇和對條件的整合，一道數學題無論其萬般變化，但最后都是圍繞核心知識點展開，當學生的知識體系完善后，就會面對解題思路和方法的選擇上.學生經常找不到正確的方法或者找到的方法步驟煩瑣易錯，所以對這樣的情況，需要教師對解題方法系統化，讓學生快速分析條件，選擇方法，正確解題

（三）最后一個問題也是最根本的問題：學生的計算能力.即使學生的方法煩瑣，只要計算能力可以，也是有作對題目的可能性的.所以要學生學會解橢圓離心率問題，更要從根本上解決學生計算能力的問題，大部分學生計算能力提不上來主要是在公式運用以及數字計算上的不靈活性所局限的.許多教學模式都認為學生應該“多想一點，少算一點”.而正是這樣的想法就會導致學生一些最基本的計算上出現差錯.

二、橢圓離心率的求解思路

對橢圓離心率的求解問題主要可以采用數形結合的思想，以“代數法”和“幾何法”的形式進行解題.以下面例題為例進行說明.

例?求F1，F2為左右焦點的橢圓x2a2+y2b2=1，點A，B在橢圓上，使四邊形AF1F2B為正方形，求橢圓離心率e？

（一）利用“代數法”解決這個問題，可以使問題“點在橢圓上”轉變為“點的坐標滿足方程”，通過把點B的坐標代入橢圓方程，可以得到滿足a，b，c關系的方程，另外利用離心率是“ac”的代數特征，在引導學生將方程變形成關于“ca”結構的方程，同時提示學生記住通徑長度的一半，就可以知道正方形的邊長便是2c，也就是通徑的一半，列出方程求e，這種方法的計算會相對簡單.

數學中代數的方法解決問題是很常見的，尤其是遇到一些十分復雜的未知量的時候，引入代數法，化未知為已知.這樣的方法可以大大地降低問題的復雜程度，同時在很多問題中沒有確切的數字只有復雜的代數關系，這樣的題目從代數法的角度入手，只要熟練的把握其中的每一個量之間的關系，就可以把握題目的思維路線，并且通過簡單的未知量求解就可以算出答案，這樣的方法可以是學生通過整理條件所提到的關系而理清題目，不會出現盲目的面對題目的問題.這樣的設置未知量的方法可以幫助學生快速理清題目，并在求解未知量的計算過程，直白簡單，和解方程如出一轍.

（二）利用“幾何法”就要把握好橢圓的幾何定義，利用“點B是橢圓上的點”這一突出特征引導學生連接BF1，設F1F2=2c，利用正方形圖形的幾何特性得出BF1=22c，再結合橢圓的定義以及離心率的相應公式，可以快速計算離心率的值為2-1.

在幾何法解決這樣的問題的時候常常不需要作出橢圓的相關圖形，而只需要標注出相關點的位置，并對焦距和長短軸等必要的信息進行標注，就可以借助相應的圖形自身關系解出題目所求.這樣的方法可以不受作圖不標準對解題的影響，從而可以提高解體的效率和方法.應用幾何法可以提高學生對問題的分析能力，加強學生系統性和有效性的整合題設和條件.

（三）方法小結

無論是“代數法”還是“幾何法”都需要熟練掌握，有些題設可以通過二者的有機結合，使題目更快地解答出來.代數法可以幫助學生整理題設和條件，幾何法可以提高學生對橢圓離心率問題求解問題的分析能力.

三、總?結

解決橢圓離心率的問題時，既要學會幾何解法的簡潔和優越，也要掌握代數法的方便和易懂.學生要學會應用數形結合的思維方式，加強作圖和審題能力的培養，要學會適當的轉化思維.要拓展學生的思維能力，特別是思維的嚴密性和完整性，從而提升學生的數學核心素養.

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