夯實建模過程　提升思維品質(zhì)

顧麗英

[摘 要]在數(shù)學學習過程中，如何夯實建模過程，真正落實學生思維的深刻性、廣闊性、敏捷性、靈活性、批判性和獨創(chuàng)性等的培養(yǎng)尤為重要。教師可通過剖析本質(zhì)、拓展領(lǐng)域、大膽猜測、反思質(zhì)疑、個性創(chuàng)造、創(chuàng)設環(huán)境等方式，夯實建模全過程，以全面提升學生的思維品質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]建模過程;思維品質(zhì);數(shù)學思維

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）02-0043-03

張奠宙教授指出：“模型是指研究事物的有關(guān)性質(zhì)的一種模擬物，數(shù)學模型則是那些利用數(shù)學語言來模擬現(xiàn)實的模型。”模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。小學數(shù)學學習的過程就是數(shù)學建模的過程，在這個過程中，教師不僅要引導學生完整構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，還要培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。思維品質(zhì)是評價和衡量學生思維能力優(yōu)劣的重要標志，因此在數(shù)學學習過程中，如何夯實建模過程，真正落實學生思維的深刻性、廣闊性、敏捷性、靈活性、批判性和獨創(chuàng)性等的培養(yǎng)尤為重要。

一、剖析內(nèi)在本質(zhì)，使思維走向深刻

數(shù)學思維的深刻性是指深入鉆研和思考問題，善于從復雜的問題中把握它的本質(zhì)，能夠有效分析問題的主要特征，正確認識與揭示知識之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化規(guī)律。教學中，教師如果能夠引導學生剖析數(shù)學模型的內(nèi)在本質(zhì)，就能使學生的思維走向深刻。

例如，蘇教版教材三年級下冊“有趣的乘法計算”一課中，教師引導學生運用觀察、比較的方法發(fā)現(xiàn)隱藏在“兩位數(shù)乘11”計算中的規(guī)律并用自己的語言描述規(guī)律，即“積個位上的數(shù)與原來兩位數(shù)個位上的數(shù)一樣;積百位上的數(shù)，與原來兩位數(shù)十位上的數(shù)一樣;積十位上的數(shù)等于原來兩位數(shù)個位和十位上的數(shù)的和”。這段話就是“兩位數(shù)乘11”的規(guī)律模型，雖然學生的語言表述比較冗長，但是已經(jīng)全部表述清楚規(guī)律。數(shù)學模型就是借助數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界的故事。為了讓學生有效理解這個規(guī)律模型，教師還可引導學生優(yōu)化表述方式，即“兩頭一拉，中間一加，滿十進一”。研究到此結(jié)束似乎也是可以的。不過，徐利治教授曾指出：“透視本質(zhì)的能力是構(gòu)成創(chuàng)造力的一個因素。”這里，思維的深刻性表現(xiàn)在能深入地鉆研與思考問題，善于從復雜的事物或問題中把握它的本質(zhì)。那么，兩位數(shù)與11相乘為什么會有這樣的規(guī)律呢？這個數(shù)學模型背后的本質(zhì)是什么？教師可以“24乘11”為例，追問三個問題：

問題1：個位上的數(shù)怎么會和原來兩位數(shù)個位上的數(shù)一樣呢？

問題2：積百位上的數(shù)又怎么會和原來兩位數(shù)十位上的數(shù)一樣呢？

問題3：積十位上的數(shù)怎么會等于原來兩位數(shù)個位和十位上數(shù)的和呢？

（引導學生結(jié)合圖1中豎式說一說積中的4、6、2分別是怎么得來的）

在三個問題的引導下，學生觸摸到了這個規(guī)律模型的內(nèi)在本質(zhì)，而在解答疑問的過程中，隨著數(shù)學思維模型本質(zhì)原因的顯現(xiàn)，學生思維的深刻性也得到了很大的提升。

二、拓展應用領(lǐng)域，使思維走向廣闊

思維的廣闊性表現(xiàn)在能多方位、多角度地去思考問題，善于發(fā)現(xiàn)事物間的聯(lián)系，從而找出多種解決問題的辦法，并能把這些解法推廣到類似問題的解決中去。要使學生的思維逐漸走向廣闊，建模過程中教師可以適時拓展已有數(shù)學模型的相關(guān)領(lǐng)域，以使學生建立的數(shù)學模型領(lǐng)域不斷延伸、完善。

例如，蘇教版教材六年級下冊“面積的變化”的教學中，當學生通過測量、計算得出“長方形按3[∶]1的比例放大，面積比是9[∶]1”后，教師適時質(zhì)疑：“長方形放大后有這樣的規(guī)律，那么正方形、三角形、圓放大后有沒有這樣的規(guī)律呢？”如此，將研究領(lǐng)域擴充到正方形、三角形、圓等平面圖形。學生通過測量、計算、比較得出這些平面圖形按照一定的比例放大后，面積比的后項都是1，面積比的前項是長度比的前項的平方。“是不是所有的平面圖形都有這樣的規(guī)律呢？”教師的第二次質(zhì)疑，又將規(guī)律模型的研究領(lǐng)域延伸到了整個平面圖形領(lǐng)域。經(jīng)過兩次質(zhì)疑，學生的思維逐步走向廣闊。在課尾，教師除了引導學生總結(jié)探究數(shù)學模型中的數(shù)學思維方法以外，還可來一次更高層次的拓展，如“長方體、正方體等按比例放大后，體積比和長度比會有什么關(guān)系？”這樣的拓展，一下子使學生建立的規(guī)律模型的研究領(lǐng)域從二維走向了三維，課堂也成為開放的課堂。此時，學生的思維具備了無限的廣闊性。

三、大膽猜測，使思維走向敏捷

直覺思維是以已有的知識、經(jīng)驗和技能為基礎(chǔ)，通過觀察、聯(lián)想、類比、歸納、猜測之后對所研究的事物做出一種比較迅速的、直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，往往是一種潛意識的反應。建模過程中如果能恰當借助學生的直覺，鼓勵學生大膽猜測，可使學生的思維更加敏捷，進而突破常規(guī)思路，建立、完善數(shù)學模型。

例如，蘇教版教材五年級下冊“和與積的奇偶性”的教學中，當學生舉例“任意選兩個不是0的自然數(shù)，求出它們的和”時，教師可選擇學生的例子進行板書，具體如下：

45+5=50? ? ?36+25=61? ? 251+134=385? ?2+6=8

76+22=98? ? ?85+4=89? ? 16+31=47? ? ? 151+67=218

在此基礎(chǔ)上，引導學生根據(jù)和的奇偶性進行分類。（如圖2）

[45+5=50

2+6=8

76+22=98

151+67=218][和是偶數(shù)][36+25=61

251+134=385

85+4=89

16+31=47][和是奇數(shù)]

學生對于數(shù)與算式是非常敏感的，教師可鼓勵學生大膽猜測，得出：

奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)? ? 偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)? ? 奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)

接下來，就是對這一猜測的論證。通過論證，得出這些猜測完全正確，是正確的數(shù)學模型。有了這樣的經(jīng)歷，學生對自己的直覺更加堅信。在接下來學習“積的奇偶性”時，學生就能自主地提出猜想：

“乘數(shù)都是奇數(shù)，積也是奇數(shù)。”

“乘數(shù)都是偶數(shù)，積也是偶數(shù)。”

“乘數(shù)中只要有一個是奇數(shù)，積就是奇數(shù)。”

不僅如此，學生還能自己運用前面和的奇偶性以及舉例驗證的方法，對自己的猜測進行論證。

學生的數(shù)學研究是需要猜測的。在這個過程中，我們可以看到學生的猜想欲望一旦被激發(fā)出來，是完全可以成為學習數(shù)學、建立數(shù)學模型的正能量的。這樣的建模過程也為學生的思維走向敏捷奠定了堅實的基礎(chǔ)。

四、鼓勵反思質(zhì)疑，使思維走向批判

思維的批判性來自學生對思維活動各環(huán)節(jié)、各方面的調(diào)整和校正，即自我意識。這種自我意識的“調(diào)整”“校正”又來自學生對問題本質(zhì)的認識。只有深刻地認識、周密地思考，才能全面正確地做出判斷。因此在建模過程中，我們要鼓勵學生大膽質(zhì)疑，而舉反例是一個很有效的方法。

例如，蘇教版教材五年級上冊“釘子板上的多邊形”的教學中，當學生經(jīng)過實驗、研究，得出“多邊形內(nèi)只有1枚釘子，它的面積與它邊上的釘子數(shù)之間的關(guān)系是S=n÷2（S表示面積，n表示邊上的釘子數(shù)）”時，教師追問：“是不是所有的多邊形中都有這樣的規(guī)律呢？”“你能舉出反例嗎？”在提問的基礎(chǔ)上指導學生用舉反例的方法來對已經(jīng)建立的數(shù)學模型進行質(zhì)疑，學生一下子有了思考方向。學生會舉出如圖3這樣的反例。

這個四邊形的面積是6平方厘米，四邊形邊上的釘子數(shù)是10，S=n÷2，10 ÷2=5，顯然用我們找到的這個規(guī)律模型解決是不對的。引發(fā)學生對規(guī)律模型和“反例”的反思。經(jīng)過爭論，學生得出了結(jié)論：規(guī)律模型的運用是有前提的，即“多邊形內(nèi)部只有一個釘子”，而這個“反例”中多邊形內(nèi)部有兩個釘子。顯然這個反例不成立。雖然通過舉反例得出原來的規(guī)律模型是正確的，但是，學生經(jīng)歷了質(zhì)疑模型的過程后，能深刻地體會到發(fā)現(xiàn)的數(shù)學規(guī)律并不一定都是正確的，需要反復質(zhì)疑與推敲，也就是學習數(shù)學需要有批判精神。在接下來的教學中，每探究出一個規(guī)律模型，教師都可以提醒學生找一找有沒有反例。在這樣一次次的探究、質(zhì)疑中，學生不僅完整建立了釘子板上多邊形的面積與邊上的釘子數(shù)之間的規(guī)律模型，更重要的是培養(yǎng)了大膽質(zhì)疑的精神，學生思維的批判性也得到了質(zhì)的飛躍。

五、激發(fā)個性創(chuàng)造，使思維走向創(chuàng)新

思維的獨創(chuàng)性是指思考、解決問題時，不僅善于求同，而且善于求異，更善于獨立思考、勇于創(chuàng)新。數(shù)學教學中，教師要善于為學生創(chuàng)設構(gòu)建數(shù)學模型的機會，在有計劃的訓練中，使學生的思維逐步走向創(chuàng)新。

例如，蘇教版教材四年級上冊“簡單的周期”的教學中，學生通過排一排、畫一畫、圈一圈等發(fā)現(xiàn)了“按周期排列的物體總是一組一組地出現(xiàn)，而至少出現(xiàn)兩組物體才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律”，且列舉了很多生活中周期排列的現(xiàn)象：彩旗、彩燈、護欄的排列;星期一、二、三、四、五、六、日;春夏秋冬……在此基礎(chǔ)上，教師可以創(chuàng)設一個創(chuàng)造周期現(xiàn)象的環(huán)節(jié)，由此點燃學生的思維火花。在這樣的氛圍中，學生可以創(chuàng)造出很多類型的周期現(xiàn)象。如：

圖形類：

△○□△○□△○□……

△△○□△△○□△△○□……

△△○□□△△○□□△△○□□……

聲音類：

咯滴咯滴咯滴咯滴……

嚕啦啦嚕啦啦嚕啦啦……

叮咚叮咚叮咚……

動作類：

舉左手、舉右手;舉左手、舉右手;舉左手、舉右手……

點頭、轉(zhuǎn)身、轉(zhuǎn)身;點頭、轉(zhuǎn)身、轉(zhuǎn)身;點頭、轉(zhuǎn)身、轉(zhuǎn)身……

這樣，學生在尋找到周期模型后，能夠用各種方式創(chuàng)造出富有個性的周期現(xiàn)象，一方面說明學生對周期模型的構(gòu)建方法已經(jīng)完全掌握;另一方面說明學生思維的創(chuàng)新性也得到了有效發(fā)揮與提升。

六、創(chuàng)設應用環(huán)境，使思維走向靈活

客觀事物是發(fā)展變化的，這就要求人們用變化、發(fā)展的觀點去認識和解決問題。數(shù)學思維靈活性表現(xiàn)在善于發(fā)現(xiàn)新的因素，在思維受阻時能及時改變原定策略，及時修正思考路線，從而探索出解決問題的有效途徑。數(shù)學教學中，教師要善于創(chuàng)設多種數(shù)學模型的應用環(huán)境，注重啟發(fā)學生多角度思考問題，鼓勵學生積極聯(lián)想，尋求靈活的解決方法。

例如，蘇教版教材三年級上冊“間隔排列”的教學中，當學生運用圈一圈的方法以及“一一對應”的數(shù)學思想發(fā)現(xiàn)了間隔排列的規(guī)律模型后，教師可適時創(chuàng)設規(guī)律模型的應用情境，如將兔子數(shù)量提高到20只，當兔子與蘑菇一一間隔排列時，蘑菇會有幾個？30只兔子呢？50只兔子呢？還可以將手帕的數(shù)量改變?yōu)?0塊、40塊、100塊……在變化的情境中，使學生對首尾不同、首尾相同的一一間隔排列的規(guī)律模型的理解更加深刻。接著，可以設計這樣的數(shù)學模型的應用情境：如果把□和○一個隔著一個地排成一行，□有10個，○可能有幾個？這里就需要學生從剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律模型出發(fā)，多角度、全方位地去思考問題的解決方案。具體如下：

□○□○□○□○□○□○□○□○□○□○

○□○□○□○□○□○□○□○□○□○□

□○□○□○□○□○□○□○□○□○□

○□○□○□○□○□○□○□○□○□○□○

在這樣的情境中，學生不得不靈活地去思考解決問題的方案：雖然都是10個□，但是由于每個方案中第一個圖形可以是□，也可以是○，且每一個方案中的首尾圖形可以都是□，也可以都是○。全面的思考，使學生很快地找到了完整的解決方案。在全面、靈活地利用規(guī)律模型解決問題的過程中，學生的思維走向了靈活。

總之，思維品質(zhì)的提升，應該滲透在數(shù)學建模的全過程。教學中，教師要通過剖析本質(zhì)、拓展領(lǐng)域、大膽猜測、反思質(zhì)疑、個性創(chuàng)造、創(chuàng)設環(huán)境等方式，夯實建模全過程，從而全面提升學生的思維品質(zhì)。

（責編 黃春香）