畫圖：解決應用題“思”與“行”的橋梁

劉緒毅

[摘 要]畫圖法作為解決應用題的一種基本輔助方法，通過化抽象為直觀、化復雜為簡單，架構起了學生分析與解答抽象數學問題的橋梁。在教學中，教師應該將畫圖作為學生解決問題的一種習慣來滲透，一種能力來培養，從培養畫圖意識、提高識圖能力和運用畫圖策略三方面來提高學生解決應用題的能力。

[關鍵詞]解決問題;畫圖法;小學數學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）05-0017-02

小學數學中，應用題的教學是一個重點，同時也是一個難點。現行人教版教材中，對解決問題教學的編排分為閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思三個環節。縱觀小學數學教材，分析與解答環節通常離不開畫圖方法的提示與引導，從一、二年級的實物圖、示意圖到中高年級的線段圖，層層深入，逐步滲透。可以說，畫圖作為解決問題的一種基本輔助方法，它能化抽象為直觀、化復雜為簡單，架構起了學生分析與解答抽象的數學問題的橋梁。因此，無論是從教材的編排意圖來看，還是基于小學生的思維特征，教師都應該將畫圖作為學生解決問題的一種能力來培養。

一、遇題想畫——培養畫圖意識是關鍵

學生畫圖的能力不是一蹴而就的，教師需要從一年級開始逐步滲透。在解決數學問題過程中培養學生的畫圖意識是關鍵，具體做法如下：

一是鼓勵學生試畫。一年級的學生最喜歡涂涂畫畫，教師要充分利用學生的年齡特點，引導他們將這樣的興趣愛好遷移到數學學習上。解決問題的教學中，在學生充分閱讀題目的基礎上，鼓勵學生將數學信息和問題用自己喜歡的方式畫出來。通過自主嘗試和教師的引導，學生經歷從細致的情景實物圖到具有數學味的簡化示意圖的一次次提升，學生的畫圖意識在潛移默化中逐步得到了培養。這樣日積月累地訓練，畫圖就能成為學生解決問題的一種自覺的行為。

二是注重教師示范畫。教師要抓住每一次解決問題的新課學習、專題練習、習題評講的機會，堅持示范畫圖，讓學生在煩瑣的文字轉化為數學圖形的過程中感受數學的簡潔美，體會到數學的魅力。當然，這也要求教師要對每冊教材中能用畫圖法解決的數學問題有思考、有想法、有對策，同時要對整個小學階段的解決問題的脈絡有系統的研究和思考。

例如，教學一年級下冊第20頁“用20以內的退位減法解決問題” 時，在學生發現題目（如圖1）中的數學信息和數學問題后，教師可以鼓勵學生用自己喜歡的方式把題目的意思畫下來。

有的學生用1個“”表示1個人，有的學生用1個“[○]”表示1個人，有的學生用1條“/”表示1個人。在學生充分匯報自己畫圖的意思的基礎上，教師先是給予肯定，并引導學生得出“我們隊踢進了4個”這條信息是多余的，再引導學生比較、分析這些畫圖方法，感受到用圓圈、豎線畫示意圖比畫實物圖更簡潔。在這個過程中，學生不僅能在畫圖基礎上充分理解題意，找出題目中解決問題的有效信息，還能感受到用示意圖表示的簡潔性，更能在畫示意圖的過程中感受一一對應的數學思想。

二、看圖說“畫”——提高識圖能力是前提

在解決問題教學中，學生不僅要具備畫圖的意識，還應具備識圖的能力。作為數學解決問題教學中的一種“有形”的文字——圖示，學生要在充分理解的基礎上，能將它轉化為數學語言。將圖形表征轉換為語言表征，一方面有利于“輸入”——能將形象的圖形所隱藏的數量關系抽象出來，提升學生的數學思維;另一方面有利于“輸出”——對學生將文字表征轉換為規范的圖形表征有著引領指導作用，促進學生畫圖能力的形成。這就要求教師能夠提供機會讓學生識圖：或是通過教材上規范的圖示，或是通過教師示范畫的圖示，或是借助學生所畫的圖示。因此，如果說“會畫”是目的，“識圖”就是前提。

例如，三年級上冊第54頁“倍的認識”習題第5小題：

該題絕對不能當成看圖填空題，教師要充分引導學生觀察線段圖，找到圖中的數學信息和數學問題，并用數學語言完整地描述出來。其中，蝸牛的數量是具體明了的，甲殼蟲的數量需要計算，而甲殼蟲與蝸牛的數量關系是這題的關鍵。通過安排學生獨立思考、小組交流和集體匯報，重點引導學生理解每一條線段表示的是什么意思，明確“甲殼蟲的數量是蝸牛的3倍”這條信息是怎樣得到的。這樣，學生的識圖能力就能得到進一步的提升，學生也能從中感受到數學圖形的簡潔美。

三、心中有“畫”——運用畫圖策略是目的

利用畫圖解決數學問題，除了讓學生借助直觀的示意圖將題目中的數學信息和蘊含的數量關系以直觀形象的方式表示出來，更為重要的是讓學生在實踐應用中能根據遇到的實際問題，靈活運用學過的畫圖方法來解決問題。

1.借用示意圖，“畫”在不明題意之時

從心理學的角度來看，學生的認知和思維是存在差異的。大部分學生對題目的理解出現困難或模糊不清時，對問題的解決就會考慮不全面，尤其是圖形與幾何領域的問題。這時，就需要畫示意圖幫助理解題意，厘清解題的思路。

要求“如果一面靠墻，籬笆至少需要多少米？”，關鍵是要理解“至少”的意思。在學生充分說的基礎上，為了幫助學生進一步理解題意，找到解決此類問題的方法，教師可引導學生用圖示表示兩種情況。

（1）長邊靠墻：[6米][3米]? ?籬笆長度：2×3+6=12（米）。

（2）短邊靠墻： [6米][3米]? ? 籬笆長度：2×6+3=15（米）。

通過畫圖，學生能清楚地理解題意，找到答案。然而教師不能止于此，應讓學生對比、分析、歸納出解決此類問題的方法：要使籬笆的長度最短，必須長邊靠墻。這樣就能培養學生思維的全面性。

2.善用線段圖，“畫”在不清數量關系之時

現行人教版教材三年級上冊就出現了線段圖。一方面是促使學生的思維水平從形象直觀逐步向半直觀半抽象過渡，另一方面也是問題中數據越來越大、數量關系也越來越復雜的必然趨勢。而對數量關系的理解，是解決問題的關鍵。因此，當問題中的數量關系不明確時，線段圖是最有效的輔助方法。

由于數學信息較多，學生很容易出現根據所給數字直接列算式“（5+3）×2=16（個）”的情況，從而忽略熊媽媽給出的3個玉米。如果輔以線段圖就能清晰明了地找到題目中的數量關系：? ?[ ][？個][5個][3個][3個][ ][熊媽媽][小熊]

從圖中便可得知，熊媽媽的玉米數比小熊得到3個后的2倍還多3個，算式為（5+3）×2+3=19（個）。

3.巧用矩形圖，“畫”出數學問題的關系

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，在解決數學問題時把數量關系與空間形式結合起來，可以化形為數，把抽象的數學問題直觀化、生動化，還有助于學生把握數學問題的本質，提高解決問題的能力。

例如， 一項工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做20天完成。現在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息），問從開始到完工共用了多少天？

根據題目中的條件“甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）”可知，甲隊獨做8天，乙隊獨做2天，剩余的工作量就是甲、乙合作的工作量。用矩形圖表示這項工程的工作量的分布情況：

[甲、乙合作的工作量 乙隊獨做2天的工作量 甲隊獨做8天的工作量 ]

由圖可知，乙隊獨做2天的工作量是2[×][120]，甲隊獨做8天的工作量是8[×][110]，甲乙合作的工作量是1- 2[×][120]- 8[×][110] =[110]，甲乙合作的時間是 [110] ÷（[110]+[120]）= [23]（天） ，因此，從開始到完工的時間是[23]+2+8=10[23]（天）。

總之，畫圖作為解決問題中有效的輔助方法之一，應貫穿整個解決問題的教學，落實到每一次分析與解答中。在發現問題和提出問題的基礎上，教師要讓學生畫圖整理條件和問題，感受到畫圖能清楚地理解題意，這樣才有助于學生把握數學問題的本質，溝通學生在解決問題過程中的“思”與“行”，提高學生解決問題的能力。

（責編 金 鈴）