借助幾何直觀　架設思維橋梁

鄭亞云

[摘 要]分數的意義和性質比較抽象，學生理解起來比較困難。教學時，應充分整合課本情境、調動學生的生活經驗、運用幾何直觀手段，為學生架設一座思維橋梁，從而促進學生通過操作、觀察、猜測、歸納、概括等活動有效探究分數產生的背景、分數的意義、分數與除法的關系以及分數的基本性質。

[關鍵詞]幾何直觀;抽象思維; 分數意義; 分數性質

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）05-0033-02

數學課程標準指出“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想”，同時認為“幾何直觀就是利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以使復雜的數學問題變得簡明、形象”。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”領域中廣泛運用，而且在“數與代數”“統計與概率”“綜合與實踐”三個領域中也有著重要的教學實踐意義。

人教版教材五年級下冊安排了“分數的意義和性質”的內容，要求學生能了解分數的產生，理解分數的意義，明確分數與除法的關系，認識真分數和假分數，能把假分數轉化成帶分數或整數;探究與掌握分數的基本性質，會比較分數的大小。這個單元創設了豐富直觀的情境，要求教師能充分利用圖形直觀與數形結合揭示分數概念的幾何內涵，從而有效培養和發展學生的幾何直觀能力。在教學本單元時，我借助幾何直觀為學生架設了一座思維橋梁。

一、借助幾何直觀，揭示分數的現實背景

“分數的產生”的內容往往被教師視為可有可無，大多只關注到教材中的一句小結：“在進行測量、分物或者計算時，往往不能正好得到整數的結果，這時常用分數來表示。”對此，為了更好地揭示分數的產生背景，我課前制作了直觀教具——測量長度的繩結，及通過網絡收集雄偉壯麗的埃及金字塔圖片，課始通過大屏幕呈現圖片，然后進行講述：“據資料記載，古埃及的胡夫金字塔高 146.59米，相當于40層樓高，它在巴黎埃菲爾鐵塔（1889年建成，塔高312.5米）修建之前，是世界上最高的建筑物。胡夫金字塔占地80畝，塔底呈正方形，邊長230多米，周長約1千米。全塔用230多萬塊大小不同的巨石砌成，總體積為250萬立方米。平均每塊石頭重2.5噸，最重的一塊約160噸。”接著提問：“那時的埃及人還沒有我們今天的尺子、卷尺等測量工具，他們是怎樣測量這些大小不同的巨石的呢？”我引導學生觀察課本的主題圖，討論：繩結的長度一定，巨石大小不一時，會得到什么樣的測量數據？最后，我拿出自制的繩結，讓學生動手量一量黑板的長度。

上述教學中，我利用繩結創設測量情境，引導學生觀察、討論、操作，直觀形象地揭示了“測量物體得不到整數結果時，就可以用等分一個單位長度的方法再測量”的現實背景——產生分數，讓學生在幾何直觀操作中有效感知：分數是人們在生產生活的實際需要中自然產生的。引出分數概念后，再讓學生討論課本情境中分蛋糕、分月餅的方法與結果，使學生通過具體事例初步抽象出分數與除法的關系。

二、借助幾何直觀，探究分數的意義

揭示分數的生活與生產背景并不是本單元教學的終極目標。促進學生對分數意義的理解才是本單元教學的最終目標，同時也是運用圖形、圖式這一幾何直觀教學手段的又一價值所在。

教材在“分數的意義”一節中展示了一張圓形紙片、一張正方形紙片、一條線段這三個單位“1”，同時呈現了一把香蕉（4根）、一盤面包（8個）兩個實物情境，我在教學時先讓學生靜心觀察三個單位“1”的直觀幾何圖形，然后說一說這三個圖形中的陰影部分各表示什么。在三年級上學期，學生已借助動手操作、幾何直觀，初步認識了分數，理解了“平均分”“其中的一份”“幾份”等概念，因此學生都能說出“把一個圓平均分成四份，陰影部分占其中的一份”“把一個正方形平均分成四份，陰影部分占其中的一份”“把一條線段平均分成四段，一段占其中的一份”。隨后，我再讓學生觀察兩個實物情境，并討論：1根香蕉是這一把香蕉的幾分之幾？2塊面包是這一盤面包的幾分之幾？讓學生同桌互議。緊接著，我面露困惑地設疑：“1根香蕉是四分之一，2塊面包也是四分之一，為什么它們都可以用四分之一表示呢？”一部分學生很不屑地指著實物圖搶著發言：“因為一個是把4根香蕉平均分了的四分之一，一個是把8塊面包平均分了的四分之一唄！”我進一步誘導著學生鉆“圈套”：“是這樣嗎？那么上面的一個圓、一個正方形、一條線段中的一部分，也都是四分之一，它們是一回事呀？”學生紛紛舉手發言：“它們分的東西不同，但平均分的份數是一樣的！”在層層設疑之后，我一步步引導學生借助幾何直觀和形象思維實現對單位“1”的理解，并探究出如下三個描述性定義。

第一，像一把香蕉、一盤面包、一張紙、一條線段，這樣一個物體、一些物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數表示。

第二，一個整體可以用自然數1來表示， 我們可以把它叫作單位“1”。

第三，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的分數叫作分數單位。

學生在幾何直觀的啟發下，進行了自主而有效的探究。他們認為，課本第62頁中“表示其中的一份的數叫作分數單位。”這句話中的“數”表達不太明確，將其改為“分數”會更清楚一些，如“表示其中的一份的分數叫作分數單位。”雖然學生的這種表述沒有課本上對分數的描述嚴密，但是他們這種樸素的邏輯推理經歷與過程，卻是幾何直觀下綻放的思維火花。

三、借助幾何直觀，抽象出分數與除法的關系

題目：1千克葡萄干平均裝在2個袋子里，每袋重多少千克？平均裝在3個袋子里呢？

解：2÷1=2（千克）

3÷1=3（千克）

答：平均裝在2個袋子里，每袋重2千克;平均裝在3個袋子里，每袋裝3千克。

這道題是學生在學習“分數與除法”后的作業。從作業反饋中可以看出，學生在學習新知“單位1”時，與舊知“平均分”發生了負遷移，沒有弄清“把單位‘1平均分”與“一個數占另一個數的幾分之幾”的聯系與區別，模糊了被除數與除數的關系。

數論對分數有這樣的描述：①原有量的單位或數的單位能轉換成比“1”更小的單位，于是有分數定義：把單位一（或整體“1”）平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數是分數;②可以以“1”為單位重新定義一個與原有量同單位的其他量，并用分數表示，這個分數也常常被稱為那個其他量的對應分率。

數論的這段描述實質上把分數的來源做了分類，通常把①產生分數的方法稱為切分法，把②產生分數的方法稱為量比法。

切分法中的單位“1”處于分子位置，通常應用此意義求平均數， “把單位‘1平均分”表達的就是這個意思。量比法中的單位“1”處于分母位置，是將“1”平均分的總份數作為分母， “一個數占另一個數的幾分之幾”表達的就是這個意思。

經過這樣一番思考后，我覺得學生存在的認知誤區還是在單位“1”。對此，我借助“分數與除法”中例1、例2的情境圖，重點讓學生邊觀察圖形邊思考：哪個量是單位“1”？平均分哪個量？要求平均分應該怎樣列式？在觀察與思考后，學生這樣描述分數與除法的關系：將單位“1”平均分或是幾個幾個地分，在“平均分”與“幾個幾個地分”中單位“1”的量就是被除數，當商不是整數時，可以用分數很方便地表示，其中除數做分母，被除數做分子。

此時再讓學生回過頭去檢查作業，學生恍然大悟，正確列出算式：

1÷2 =[12]（千克）

1÷3=[13]（千克）

最后，我安排幾道變式練習題讓學生完成，以加強知識的鞏固與運用。

四、借助幾何直觀，概括歸納分數的性質

借助幾何直觀可生動形象地描述數學問題，直觀地反映分析問題的思路，這也是生成數學概念、探究數學算理、推導數學性質的有效渠道。數學家克萊因指出：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。”對此，在本單元的教學中，教師可借助幾何直觀，引導學生概括歸納分數的性質。

例如，在教學“分數的基本性質”前，我讓學生準備好學具——圓（透明塑料片）。上課時，我預設了操作、觀察、思考三個教學環節。

1.操作。

玩一玩：可以找到哪些分數？

比一比：哪些分數表示的數量大小是一樣的？

畫一畫：將3條等長的線段分別平均分成2段、4段和8段。

2.觀察。

引導觀察：分別取它們的 [12]、[24]、[48]，想一想這三個分數表示的線段之間有什么關系？

3.思考。

請男生從左往右觀察[12]、[24]、[48]這三個分數的分子與分母，看看它們發生了怎樣的變化。

請女生從右往左觀察[12]、[24]、[48]這三個分數的分子與分母，看看它們發生了怎樣的變化。

再請男生和女生分別推選出代表，用自己喜歡的方法運用線條、符號、數字把觀察結果與發現在黑板上表達出來。

最后請學生議一議：你能把這節課的觀察與發現用一句話總結出來嗎？

通過動手操作、直觀觀察、分析思考，學生驚喜地發現：[12=][24]=[48]。

就這樣，分數的基本性質在學生的直觀感悟中自然而然地生成了。

孔凡哲教授與史寧中教授均認為，幾何直觀具體表現為四種形式，即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀和替代物直觀。本單元的教學中，我整合課本情境、調動學生的生活經驗、運用幾何直觀手段為學生架設起從直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的橋梁，促進學生在操作、觀察、猜測、歸納、概括等活動中掌握分數產生的背景、分數的意義、分數與除法的關系以及分數的基本性質。

（責編 黃春香）