巧用柯西不等式解題

湖北省黃岡市麻城市第一中學(xué) 盧紅玲

柯西不等式，最初來源于數(shù)學(xué)家柯西，他在研究流數(shù)問題時分析得到了從此聞名于世的柯西不等式，而后又經(jīng)過其他數(shù)學(xué)家的不斷推廣和完善，逐步形成了今日我們所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如今已經(jīng)被納入新課程選修教材的教學(xué)內(nèi)容《不等式選講》。

一、合理搭配

二、構(gòu)建因式

柯西不等式的結(jié)構(gòu)十分簡單直觀，由兩個部分組成，不等號的一邊是因數(shù)相乘的形式，另一邊則是完全平方。但一般出現(xiàn)的題型中有些沒有這兩個柯西不等式的明顯標(biāo)志，比如說需要證明的不等式左右兩邊都沒有出現(xiàn)乘積或是完全平方的形式，許多同學(xué)由于對知識掌握不夠熟練、缺乏解題經(jīng)驗，不容易聯(lián)想到用柯西不等式去解題。此時我們可以在不等號某一邊自行構(gòu)建一個因式或完全平方，讓它與柯西不等式的結(jié)構(gòu)相符，從而套用柯西不等式來解題。

例2：設(shè)a+b∈R+，a+b=1，請證明

分析：本題中并沒有出現(xiàn)柯西不等式的標(biāo)志，而且需要證明的式子含有a和b的八次方項，條件中僅給出了一次方項。這里就需要構(gòu)建因式，巧用這個條件，將結(jié)論部分轉(zhuǎn)化為只要證明這個不等式就可以了，但目前離題目給出的條件還有一定距離，所以我們需要連續(xù)運用多次柯西不等式。

點評：剛接觸到這種類型題目的同學(xué)可能會覺得有些難度，不容易聯(lián)想到柯西不等式，或是不知道如何巧妙地構(gòu)建因式來解題。我們總結(jié)了這一類題型，同學(xué)們可以記住這樣的結(jié)論：“當(dāng)時，有；當(dāng)，有，以便更好地理清解題思路，掌握舉一反三的能力。另外，這道題的應(yīng)用很好地體現(xiàn)了柯西不等式的降次能力，利用三次柯西不等式，將結(jié)論左邊的八次方項成功降次。

三、調(diào)整結(jié)構(gòu)

這一類題目依舊是不具備明顯的柯西不等式的標(biāo)志，我們可以將已知結(jié)構(gòu)進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使之符合柯西不等式的一般架構(gòu)。

點評：聯(lián)系不等式兩邊，適當(dāng)對不等式進行變形，使其可以應(yīng)用柯西不等式。

在高中試題中，除了以上提到的四種變形方法，還有一些其他的小技巧，這里不一一例舉。此外，學(xué)生們可能還會遇到更加復(fù)雜的一些不等式問題，涉及以上幾種技巧的組合，又或是關(guān)聯(lián)到其他數(shù)學(xué)知識，如基本不等式等。歸根結(jié)底，這類問題的關(guān)鍵還是在于如何建立題目所給條件與所求結(jié)論之間的聯(lián)系，只要把握好這一重點，以往我們望而卻步的難題將迎刃而解。