基于張量網(wǎng)絡(luò)算法的自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量的研究

李生好, 雷國平

(1.重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 重慶 402260; 2.重慶大學(xué)現(xiàn)代物理中心, 重慶 400060; 3.重慶三峽學(xué)院電子與信息工程學(xué)院, 重慶 404000)

1 引 言

近年來, 量子信息理論為量子多體系統(tǒng)的量子相變的研究掀開了嶄新的一頁. 通過量子多體系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)得到的局域序參量或非局域序參量來研究量子相變, 這主要由于兩方面的進(jìn)展, 一是不斷發(fā)展的基于張量網(wǎng)絡(luò)表示的準(zhǔn)嚴(yán)格數(shù)值算法, 為量子多體系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)研究提供了更加有效的工具; 二是量子多體系統(tǒng)不管是否存在朗道對稱性破缺序還是存在其他非局域序, 為了更好地理解所涉及的內(nèi)稟序, 系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)均可以用來刻畫重整化群流和相應(yīng)的量子相變[1-4].

在凝聚態(tài)物理研究中, 自旋梯子系統(tǒng)已經(jīng)成為一個課題, 并取得了很大的進(jìn)展[4-8]. 人們通過對自旋1/2的海森堡多腿自旋梯子類物質(zhì)的研究, 如對應(yīng)的兩腿自旋梯子模型的SrCu2O3[9]和對應(yīng)的三腿自旋梯子模型的Sr2Cu3O5[10], 發(fā)現(xiàn)自旋梯子系統(tǒng)存在著緩慢衰減的反鐵磁關(guān)聯(lián), 會隨著自旋梯子的自旋鏈條(支腿)的數(shù)目的增加, 漸漸轉(zhuǎn)變到二維系統(tǒng)所具有的長程關(guān)聯(lián), 形成復(fù)雜得令人驚訝的維度過渡行為. 在這個維度過渡過程中, 自旋梯子系統(tǒng)自旋鏈條(支腿)的數(shù)目的奇偶性與其性質(zhì)有著密切的關(guān)系, 也就是偶數(shù)自旋鏈條(支腿)系統(tǒng)和奇數(shù)自旋鏈條(支腿)系統(tǒng)的性質(zhì)有著本質(zhì)的不同[11]. 當(dāng)系統(tǒng)自旋鏈(支腿)的數(shù)目越多時, 其準(zhǔn)一維結(jié)構(gòu)空間將越趨向于二維結(jié)構(gòu)空間, 因而對于自旋梯子層狀類物質(zhì)的探討可以為二維自旋結(jié)構(gòu)物質(zhì)的理解提供豐富的信息. 當(dāng)對具有自旋梯子層狀類物質(zhì)摻入空穴類雜質(zhì)時, 系統(tǒng)為了能量體系最穩(wěn)定, 空穴將占據(jù)自旋梯子鏈間(橫檔)兩端的格點(diǎn)形成空穴對, 從而可能導(dǎo)致超導(dǎo)態(tài)的出現(xiàn)[12, 13].

自旋梯子系統(tǒng)存在著很強(qiáng)的量子漲落, 因而絕大多數(shù)自旋梯子模型幾乎是不能嚴(yán)格求解的. 為了得到自旋梯子系統(tǒng)的基態(tài), 人們相繼提出了多種數(shù)值方法來研究自旋梯子系統(tǒng), 主要使用的數(shù)值方法包括有變分量子蒙特卡洛方法(VQMC)、平均場理論[14]、精確對角化方法(ED)[15]、密度矩陣重整化群方法(DMRG)[16]、張量網(wǎng)絡(luò)算法(TN)[6, 7]等. 如含有次近鄰相互作用(即自旋梯子系統(tǒng)的對角相互作用)的兩腿自旋1/2阻挫梯子系統(tǒng), 人們通過多種數(shù)值方法來研究發(fā)現(xiàn)其具有復(fù)雜的相圖. 在梯子系統(tǒng)鏈間(橫檔)存在鐵磁耦合競爭的情況下, 王孝群等人[17]與Hikihara等人[18]運(yùn)用DMRG進(jìn)行了研究, 在Rung-Singlet (RS)相與Haldane相之間是否存在一個狹窄區(qū)域, 即Columnar dimer (CD)相, 分別給出了不同的結(jié)果. 在梯子系統(tǒng)鏈間(橫檔)存在反鐵磁耦合競爭的情況下, 也存在著這類情況[6]. 而對于基于矩陣乘積態(tài)(MPS)的自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)算法來說, 可以通過弦序參量來研究自旋梯子系統(tǒng)的量子相變和量子臨界現(xiàn)象, 解決此類問題, 其所模擬的系統(tǒng)結(jié)果將有著有著相當(dāng)高的精度和相當(dāng)快的效率.

本文基于張量網(wǎng)絡(luò)算法的自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量, 來研究刻畫系統(tǒng)的量子相變, 從而得到相應(yīng)的量子系統(tǒng)相圖. 對于自旋梯子系統(tǒng)來說, 張量網(wǎng)絡(luò)算法能夠模擬生成基態(tài)波函數(shù), 從而可以計(jì)算系統(tǒng)可能存在的非局域序參量, 來探測自旋梯子系統(tǒng)的量子相變點(diǎn), 以及自旋梯子系統(tǒng)的量子相圖[6,19-21], 這為我們提供了一個研究自旋梯子系統(tǒng)的量子多體物理性質(zhì)強(qiáng)有力的工具. 為了說明這個方法, 本文研究了兩腿與三腿Staggering dimerization (SD)海森堡自旋梯子模型, 通過張量網(wǎng)絡(luò)算法得到的基態(tài)波函數(shù), 來研究系統(tǒng)存在的非局域序參量, 即弦序參量, 從而來說明自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)算法是有效的, 運(yùn)用非局域的弦序參量來探測自旋梯子系統(tǒng)的量子相變和量子臨界性是成功的.

2 弦序參量

如果系統(tǒng)沒有破壞任何對稱性, 或系統(tǒng)缺乏相關(guān)的局域序參量, 或者系統(tǒng)不存在朗道對稱性破缺序, 為了更好地理解系統(tǒng)所涉及量子態(tài)的內(nèi)稟序, den Nijs和Rommelse引入了所謂的拓?fù)湎倚騾⒘縖22-24]的概念, 來完整地研究一些缺乏局域序的拓?fù)淞孔酉嘧兊牧孔酉到y(tǒng). 系統(tǒng)沒有破壞任何對稱性的一些非局域的拓?fù)湎倚騾⒘? 會通過對偶變換, 成為類似于系統(tǒng)的局域序參量的形式, 這也給傳統(tǒng)意義上的朗道對稱性破缺序的相變理論帶來一些豐富和發(fā)展.

對于缺乏傳統(tǒng)意義上的局域序參量的自旋梯子系統(tǒng)的某些相, 如Rung-Singlet相中, 系統(tǒng)鏈間上格點(diǎn)自旋反向形成成對自旋單態(tài), 其乘積可以直接看成基態(tài)波函數(shù)的表示. 系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)有能隙, 其關(guān)聯(lián)函數(shù)呈指數(shù)性衰減, 故Rung-Singlet相的基態(tài)沒有破壞任何對稱性, 所以缺乏局域序參量, 而是存在非局域的弦序序參量. 對于自旋梯子系統(tǒng)的Haldane相, 鏈間上格點(diǎn)自旋同向, 由兩個自旋1/2形成一個自旋1的自旋三態(tài), 其局域自旋三態(tài)的乘積可以直接看成基態(tài)波函數(shù)的表示. 因此, Haldane相與Rung-Singlet相都可以通過非局域序參量(弦序參量)來進(jìn)行刻畫, 其在本質(zhì)上完全相同. 這里, 定義自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量為

(1)

對于自旋梯子系統(tǒng)來說, 其傳統(tǒng)意義上的局域序參量能夠由基態(tài)波函數(shù)得到的約化密度矩陣讀出, 如果系統(tǒng)不存在傳統(tǒng)意義上的朗道對稱性破缺序, 而存在非局域的弦序參量, 那么其能夠從式(1)得到.

3 理論模型與數(shù)值模擬

3.1 兩腿Staggering dimerization(SD)自旋梯子模型

無限長自旋1/2兩腿SD自旋梯子模型的哈密頓量為

(2)

其中,Si,α為作用在第α條自旋鏈條(支腿)的第i個格點(diǎn)上的Pauli算符.J表示在鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù).Ji,α表示在第α條自旋鏈條(支腿)的第i個格點(diǎn)與第i+1個格點(diǎn)之間的耦合系數(shù), 按照i+α奇偶性進(jìn)行交錯取值,Ji,α=1+(-1)i+αδ, 如圖1.

圖1 兩腿SD自旋1/2海森堡自旋梯子示意圖. 系統(tǒng)具有沿腿方向平移兩個格點(diǎn)不變性. 其中Ji,α為沿腿方向最近鄰耦合常數(shù), J為橫檔上耦合常數(shù).Fig. 1 Generalized infinite two-leg SD spin ladders with exchange interaction constants Ji,α and J along the leg and rung directions, respectively.

本文研究的無限長兩腿SD自旋梯子模型, 耦合系數(shù)為Ji,α=1+(-1)i+αδ,Ji,α隨δ改變而改變,即i+α為奇數(shù)與i+α為偶數(shù)時,Ji,α取值會有差異. 在圖1中, 當(dāng)i+α為奇數(shù)時,Ji,α=J1,2; 當(dāng)i+α為偶數(shù)時,Ji,α=J1,1. 考慮dimerization發(fā)生沿自旋梯子的兩條鏈條(支腿)方向上, 給定一個δ值, 選擇系統(tǒng)鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù)J作為控制參量. 對于這樣的(δ,J)取值, 很容易得出無限長兩腿SD海森堡自旋梯子的性質(zhì)[16]: (i)δ=1時, 此自旋梯子系統(tǒng)是交錯二聚物梯子系統(tǒng); (ii)δ=0,J>0時, 此自旋梯子系統(tǒng)是兩條相同自旋鏈條耦合的有能隙的海森堡系統(tǒng); (iii)δ=0,J=0時, 此自旋梯子系統(tǒng)退化成兩條沒有耦合的無能隙的海森堡自旋鏈.

通過基于矩陣乘積態(tài)(MPS)的自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)算法, 給定一個δ值, 選取自旋梯子模型鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù)J, 作為控制參量來進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬, 得到自旋梯子系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù), 根據(jù)系統(tǒng)的約化密度矩陣, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)不存在朗道對稱性破缺序, 也就是說自旋梯子系統(tǒng)沒有局域序參量, 我們通過應(yīng)用非局域的奇偶弦序參量來探測量子相變點(diǎn), 得到系統(tǒng)相圖. 對于兩腿SD自旋1/2梯子系統(tǒng), 奇弦序參量Oodd與偶弦序參量Oeven可以由式(1)計(jì)算得到. 一般地說, 通過計(jì)算奇弦序參量Oodd與偶弦序參量Oeven, 可以確定這個相為Rung-Singlet相還是Haldane相.

圖2 兩腿梯子系統(tǒng)奇弦序參量的計(jì)算示意圖. 紅色實(shí)線方框表示或作用, 黑色虛線方框表示作用. (i)abcd單位元胞的AB結(jié)構(gòu); (ii)abcd單位元胞的AA結(jié)構(gòu); (iii)badc單位元胞的BA結(jié)構(gòu); (iv)badc單位元胞的BB結(jié)構(gòu). 其中和是轉(zhuǎn)移矩陣E1的最大左、右本征矢量,和是轉(zhuǎn)移矩陣E2的最大左、右本征矢量.Fig. 2 Sketch of calculation of odd string order parameters in the two-leg spin ladder system.

圖3 兩腿梯子系統(tǒng)偶弦序參量的計(jì)算示意圖. 紅色實(shí)線方框表示或作用, 黑色虛線方框表示作用. (i)abcd單位元胞的AB結(jié)構(gòu); (ii)abcd單位元胞的AA結(jié)構(gòu); (iii)badc單位元胞的BA結(jié)構(gòu); (iv)badc單位元胞的BB結(jié)構(gòu). 其中和是轉(zhuǎn)移矩陣E1的最大左、右本征矢量,和是轉(zhuǎn)移矩陣E2的最大左、右本征矢量.Fig. 3 Sketch of calculation of even string order parameters in the two-leg spin ladder system.

選擇系統(tǒng)數(shù)值模擬截斷維數(shù)為D=6, 經(jīng)過計(jì)算,AA結(jié)構(gòu)的弦序參量Oodd、Oeven與BB結(jié)構(gòu)的弦序參量Oodd、Oeven數(shù)值均為0;AB結(jié)構(gòu)的弦序參量Oodd、Oeven與BA結(jié)構(gòu)的弦序參量Oodd、Oeven數(shù)值分別相同, 如圖4所示. 原因在于, 具有平移兩個格點(diǎn)不變性的兩腿梯子模型, 存在著特定對稱性, 即在交換兩自旋鏈的同時, 加上沿自旋鏈方向平移一個格點(diǎn)的一并操作下, 模型具有不變性, 所以不管選擇哪一種單位元胞來計(jì)算奇弦序參量Oodd與偶弦序參量Oeven, 都能得到完全相同的值.

在圖4中, 對于兩腿SD海森堡自旋1/2梯子系統(tǒng), 畫出了δ=0.4,J作為控制參數(shù)時的奇弦序參量Oodd和偶弦序參量Oeven. 我們選擇系統(tǒng)格點(diǎn)j-i為奇數(shù), 這時Oodd和Oeven為系統(tǒng)的弦序參量. 當(dāng)J<1.03時, 自旋梯子系統(tǒng)只有Oodd≠0和Oeven=0, 顯示這是Haldane相; 而當(dāng)J>1.03時, 自旋梯子系統(tǒng)只有Oodd=0和Oeven≠0, 顯示這是Rung-Singlet相; 當(dāng)然當(dāng)J=1.03時, 系統(tǒng)有Oodd=0和Oeven=0. 此時弦序參量為連續(xù)的, 說明系統(tǒng)相變是連續(xù)相變, 當(dāng)增大截斷維數(shù)D時, 連續(xù)相變點(diǎn)Jc=1.03保持不變.

圖4 兩腿自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量Oodd與Oeven. 這里, 截斷維數(shù)為6.δ=0.4時, Jc =1.03為連續(xù)相變點(diǎn).Fig. 4 The string order parameters Oodd and Oeven for the two-leg spin ladder as a function of J at δ=0.4. The phase transition takes place at Jc =1.03. Here, the truncation dimension is 6.

圖5 兩腿SD自旋梯子系統(tǒng)的(δ,J)相圖. 分別對應(yīng)著RS相與Haldane相.Fig. 5 The phase diagram of the two-leg spin ladder with staggering dimerization in the (δ,J) plane. These are the RS and Haldane phases.

3 .2 三腿SD海森堡自旋梯子模型

研究的無限長三腿SD海森堡自旋梯子模型的哈密頓量為

(3)

其中,Si,α為作用在第α條自旋鏈條(支腿)的第i個格點(diǎn)上的Pauli算符;J為在相鄰鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù);Ji,α為在第α條自旋鏈條(支腿)上的第i個格點(diǎn)與第i+1個格點(diǎn)之間的耦合系數(shù),Ji,α=1+(-1)i+αδ, 如圖6所示.

圖6 三腿SD海森堡自旋梯子示意圖. 系統(tǒng)具有沿腿方向平移兩個格點(diǎn)不變性, 其中Ji,α為沿腿方向最近鄰耦合常數(shù), J為橫檔上耦合常數(shù).Fig. 6 Generalized infinite three-leg SD spin ladders with exchange interaction constants Ji,α and J along the leg and rung directions, respectively.

本文研究的無限長三腿SD海森堡自旋梯子模型的耦合系數(shù)Ji,α=1+(-1)i+αδ, 隨δ改變而改變.無限長三腿SD海森堡自旋梯子模型和上文中研究的兩腿SD自旋梯子模型的性質(zhì)有著一些不同[25]: (i)δ=0時, 此系統(tǒng)變?yōu)槿龡l相同的自旋鏈條且沒有dimerization的無能隙的海森堡梯子; (ii)δ=1時, 此系統(tǒng)變成三條相同的相互交錯二聚物的自旋鏈; (iii)δ≠0,J≠0時, 此系統(tǒng)中的交錯二聚物相, 除了在臨界點(diǎn)處沒有能隙之外, 其它情況都是有能隙的. 近來人們用DMRG對δ≠0,J≠0這樣的參數(shù)取值條件, 進(jìn)行了研究[25,26].

通過基于矩陣乘積態(tài)(MPS)的自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)算法, 給定一個δ值, 以相鄰鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù)J為控制參量, 來進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬而得到系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù). 根據(jù)系統(tǒng)的約化密度矩陣, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)同樣不存在朗道對稱性破缺序, 我們同樣可以通過應(yīng)用非局域的奇偶弦序參量來探測量子相變點(diǎn), 區(qū)分不同的相, 得到系統(tǒng)相圖.

選擇系統(tǒng)數(shù)值模擬截斷維數(shù)為D=6, 經(jīng)過計(jì)算, 如圖9所示,AB結(jié)構(gòu)的弦序參量Oodd、Oeven(上圖)與BA結(jié)構(gòu)的弦序參量Oodd、Oeven(下圖)數(shù)值分別不一致. 而AA結(jié)構(gòu)的弦序參量Oodd、Oeven與BB結(jié)構(gòu)的弦序參量Oodd、Oeven數(shù)值均為0. 這一點(diǎn)與上文中研究兩腿SD海森堡梯子系統(tǒng)的結(jié)果不一樣. 這是因?yàn)閷τ诖俗孕葑酉到y(tǒng), 交換第一條與第三條這兩條自旋鏈, 中間的那條自旋鏈保持不變, 與此同時在沿自旋鏈方向平移一個格點(diǎn)一起進(jìn)行操作, 這時自旋梯子系統(tǒng)不會再保持不變性, 因而此自旋梯子系統(tǒng)弦序參量Oodd與Oeven數(shù)值會有兩個結(jié)果.

圖7 三腿梯子系統(tǒng)奇弦序參量的計(jì)算示意圖. 紅色實(shí)線方框表示或作用, 黑色虛線方框表示作用. (i)abcdef單位元胞的AB結(jié)構(gòu); (ii)abcdef單位元胞的AA結(jié)構(gòu); (iii)badcfe單位元胞的BA結(jié)構(gòu); (iv)badcfe單位元胞的BB結(jié)構(gòu). 其中和是轉(zhuǎn)移矩陣E1的最大左、右本征矢量,和是轉(zhuǎn)移矩陣E2的最大左、右本征矢量.Fig. 7 Sketch of calculation of odd string order parameters in three-leg spin ladder system.

圖8 三腿梯子系統(tǒng)偶弦序參量的計(jì)算示意圖. 紅色實(shí)線方框表示或作用, 黑色虛線方框表示作用. (i)abcdef單位元胞的AB結(jié)構(gòu); (ii)abcdef單位元胞的AA結(jié)構(gòu); (iii)badcfe單位元胞的BA結(jié)構(gòu); (iv)badcfe單位元胞的BB結(jié)構(gòu).Fig. 8 Sketch of calculation of even string order parameters in three-leg spin ladder system.

在圖9中, 對于三腿SD海森堡梯子系統(tǒng), 畫出了δ=0.4,J作為控制參數(shù)時的弦序參量Oodd和Oeven. 我們選擇系統(tǒng)格點(diǎn)j-i為奇數(shù), 這時Oodd和Oeven為系統(tǒng)的弦序參量. 對于選擇“abcdef”元胞即AB結(jié)構(gòu), 圖9(上圖)所示, 當(dāng)橫檔耦合系數(shù)J<0.80時, 弦序參量Oodd≠0和Oeven=0, 類似于Haldane相; 當(dāng)橫檔耦合系數(shù)J>0.80時, 弦序參量Oodd=0和Oeven≠0, 類似于RS相. 對于另一種選擇“badcfe”元胞即BA結(jié)構(gòu), 圖9(下圖)所示, 當(dāng)橫檔耦合系數(shù)J<0.80時, 弦序參量Oodd=0和Oeven≠0, 類似于RS相; 當(dāng)橫檔耦合系數(shù)J>0.80時, 弦序參量Oodd≠0和Oeven=0, 類似于Haldane相. 但不管怎么選擇AB結(jié)構(gòu)或BA結(jié)構(gòu), 都能發(fā)現(xiàn)當(dāng)橫檔耦合系數(shù)J=0.80時, 弦序參量Oodd=0和Oeven=0, 這說明三腿SD海森堡梯子系統(tǒng)在δ=0.4時, 其相變點(diǎn)在Jc=0.80, 為連續(xù)相變. 當(dāng)增大截斷維數(shù)D時, 系統(tǒng)量子相變點(diǎn)Jc與弦序參量幾乎沒有漂移. 在圖9中, 我們注意到當(dāng)選擇元胞abcdef時, 獲得的奇弦序參量Oodd與文獻(xiàn)[25,26]中由DMRG方法計(jì)算出來的奇弦序參量值幾乎一致.

圖9 三腿SD自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量Oodd與Oeven. 這里, 兩種不同的元胞選擇(上圖與下圖)都顯示在截斷維數(shù)為6時,Jc=0.80為連續(xù)相變點(diǎn).

Fig. 9 The string order parametersOoddandOevenfor the three-leg spin ladder with staggering dimerization as a function ofJatδ=0.4. Here, the top and the bottom panels correspond to two different choices of the unit cell for the ladder system, respectively. For both choices, the phase transition point is located atJc=0.80. The truncation dimension is 6.

圖10 三腿SD自旋梯子系統(tǒng)的(δ,J)相圖.Fig. 10 The phase diagram of the three-leg spin ladder with staggering dimerization in the (δ,J) plane.

本算法應(yīng)用于三腿梯子系統(tǒng)與兩腿梯子系統(tǒng), 同樣是收斂的, 同樣可以得到基態(tài). 對于本文中的三腿梯子系統(tǒng)具有平移兩個格點(diǎn)不變性, 所以弦序參量是有兩種選擇方式, 而這兩種選擇方式所計(jì)算出來的奇偶弦序的值恰恰是不同的.

4 結(jié) 論

近幾年, 張量網(wǎng)絡(luò)算法成為在數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域中的研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子量子格點(diǎn)系統(tǒng)最為重要的算法, 是基于張量網(wǎng)絡(luò)表示的高效的數(shù)值模擬算法. 人們一直在發(fā)展和優(yōu)化, 以盡可能的利用有限的計(jì)算資源, 直接對熱力學(xué)極限下的量子強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行最大程度的數(shù)值模擬. 本文通過基于矩陣乘積態(tài)(MPS)的自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)算法, 摸索研究自旋梯子量子多體系統(tǒng)的弦序參量,探測系統(tǒng)的量子相變點(diǎn), 刻畫系統(tǒng)的量子臨界現(xiàn)象, 獲取系統(tǒng)的量子相圖, 這為我們提供了一個研究自旋梯子系統(tǒng)的量子多體物理性質(zhì)強(qiáng)有力的工具和方法: 在不知道系統(tǒng)是否缺乏朗道對稱性破缺序或者系統(tǒng)是否存在相關(guān)的拓?fù)湎倚虻那闆r下, 可以先得到系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù), 如果基態(tài)缺乏朗道對稱性破缺序, 或者通過另外方式找出系統(tǒng)存在若干非局域的弦序參量, 來完整地描述一些拓?fù)淞孔酉嘧凕c(diǎn), 獲得系統(tǒng)的量子相圖, 從而豐富和發(fā)展了傳統(tǒng)的朗道對稱性破缺的相變理論.