側阻附加彎矩對橋梁樁基水平承載力影響研究

竺明星,戴國亮,盧紅前,龔維明,萬志輝

(1.中國能源建設集團江蘇省電力設計院有限公司,南京 211102； 2.東南大學土木工程學院,南京 211189)

引言

樁基礎由于其構造簡單、施工便利、承載力大等優點被廣泛應用于高層建筑、橋梁等工程中[1]。橋梁水平受荷樁樁身響應求解的眾多方法中，基于Winkler模型的彈性地基梁法是最常用的方法[2]。然而，彈性地基梁法將樁等效為一維桿單元進而無法考慮樁徑尺寸效應的影響。事實上，橋梁樁基礎的直徑普遍較大，隨著樁徑的增加，基樁水平承載特性的尺寸效應問題越來越顯著[3]。

Lam等[4]認為樁身產生水平變形時，樁身前后兩側豎向摩阻力將形成力偶作用且隨著樁徑、樁身截面轉角的增加而增加，并首次提出附加彎矩-轉角概念。McVay等[5]開展了豎向側摩阻力對嵌巖樁水平承載特性影響的離心模型試驗研究，結果表明嵌巖樁較高的豎向側摩阻力所產生的附加彎矩效應非常顯著，不能忽略。上述研究尚未求得考慮附加彎矩影響的樁身響應解?；羯倮赱6]假定樁側摩阻力為定值，進而求解了考慮側阻附加彎矩影響的水平受荷樁樁身響應解，但由于假設的局限性使得結果應用受到限制且只考慮單一的側阻附加彎矩影響因素。Alikhanlou[7]、Tseng[8]采用能量法開展沉井側壁豎向摩阻力、端部水平阻力對超大直徑沉井水平承載特性的理論研究，結果表明考慮豎向側摩阻力影響時沉井在泥面處的變形比不考慮的情況小40%左右，且結果與實測值更為接近，同時，這一影響隨著基礎直徑的增加而增加。Gerolymos等[9]綜合考慮沉井側附加彎矩、沉井端部水平阻力及端部土抗力產生的反彎矩等影響因素，建立四彈簧Winkler彈性地基梁模型，并解得沉井水平響應彈性解。然而這些求解理論均假定地基土體為彈性模型，當水平荷載較大時，這些理論計算所得結果將明顯偏小。Varun等[10]通過大量有限元分析發現：當基礎長徑比較大時，基礎底部豎向土抗力產生的反彎矩作用可忽略不計，王伯惠[11]也得出相同的結論，因此Ashour等[12]認為樁基礎只考慮樁側水平土抗力、樁側豎向摩阻力產生的附加彎矩以及樁端底部水平阻力即可滿足工程精度要求。

本文首先推導了任意樁側摩阻力τ-s曲線作用下的樁側摩阻力附加彎矩計算表達式；隨后推導得出樁端水平阻力解析表達式?；趥鬟f矩陣法原理[13]并結合樁土相互作用p-y曲線模型，分別求得了樁身彈性段、塑性段傳遞矩陣系數解析解，進而得出考慮側阻附加彎矩效應的橋梁基樁水平承載力半解析解。通過案例對比驗證了本文方法和推導的正確性。最后開展了附加彎矩對橋梁基樁水平承載特性影響的參數分析。

1 樁身響應模型建立與求解

1.1 解析模型建立

如圖1所示，圓形截面樁的總長為L，樁垂直嵌入成層地基土中。為后文表述便利，按照張玲等[14-15]作法，將地面上自由段樁側引入“虛擬土層”，因此總土層數(包含虛擬土層)為n層，第i層土中對應的樁長、樁徑以及抗彎剛度分別為Hi、di和EIi。樁頂分別作用水平荷載Ft、彎矩荷載Mt。地面上樁身作用分布力q(z)。

圖1 樁身解析模型

推導過程中假定圖1所示的模型符合Winkler彈性地基梁模型的假設條件，同時各物理量正負號規定與文獻[14，16]規定一致。

1.2 樁側豎向摩阻力產生的附加彎矩

為推導地面下任意樁身截面的側阻附加彎矩作用，將樁身截面按照轉角正值的規定逆時針旋轉任意θ角度，如圖2(a)所示；相應的樁身豎向側摩阻力沿樁周的分布如圖2(b)所示。此時，樁側豎向摩阻力作用產生的側阻附加彎矩以順時針旋轉為正，如圖2所示。

由圖2(b)可知，當樁身截面產生轉角變形時，樁側豎向側摩阻力沿樁周呈非線性分布特征，且樁周摩阻力分布狀態受截面轉角以及假定的樁側摩阻力τ-s曲線模型的影響非常顯著，很難得出側阻附加彎矩一般性解析解。

圖2 樁身豎向側摩阻力分布示意

本文采用McVay等[5]離散疊加求和的思路推導豎向側摩阻力產生的附加彎矩計算表達式。如圖3所示，取地面下任意深度處樁身截面的剖面。

圖3 樁身橫截面離散示意

(1)

式中，βi=i×π/(2nβ)，為等分后任意角度；li=πr/(2nβ)，為等分之后每小段圓弧的弧長度；r為樁身半徑。

Msi=τi(ave)lixi(ave)

(2)

將公式(1)代入公式(2)并求和可得任意截面處豎向側摩阻力產生的附加彎矩

(3)

式中，Ms為只考慮樁側土壓力被動區豎向摩阻力所產生的附加彎矩作用，kN·m/m，順時針旋轉為正，其物理含義為樁身單位長度上作用的抗力矩[5，9]。

1.3 樁端水平阻力模型

針對大直徑基礎，Gerolymos等[9]綜合考慮水平土抗力、側阻附加彎矩、沉井端部水平阻力及端部土抗力產生的反彎矩等影響因素，提出如圖4所示的受力模型體系。然而，Varun等[10]通過大量有限元分析發現：當基礎長徑比大于1時，基礎底部土體豎向應力(σz)產生的反彎矩Mb可忽略不計。王伯惠[11]、Ashour等[12]也認為對于樁基礎而言，基礎底部反彎矩Mb作用可以忽略。因此，只考慮樁端水平阻力Fb的作用。

Ashour等[12]提出地基土體為黏性土時的樁端水平阻力-樁端位移(Fb-yb)本構關系為

(4)

式中，Fb為樁端水平阻力，kN；Cu為黏性土不排水抗剪強度，kPa；Ab為樁端橫截面積；yb為樁端水平位移；d為樁徑；ε50為三軸儀實驗中最大主應力差一半時對應應變值；v為泊松比。

然而公式(4)是針對黏性土提出，對于非黏性土無法直接使用。因此，對公式(4)進行求導得出樁端水平阻力-位移模型的初始剛度

(5)

式中，kby為樁端水平阻力-樁端位移(Fb-yb)關系曲線的初始剛度，kN/m。

由于E50(=Cu/ε50)為對應50%強度的割線模量，同時土體E50模量與彈性模量E之間的關系[17]如下

(6)

式中，Rf為破壞比，Plaxis推薦該值取為0.9。

將公式(6)代入公式(5)化簡后可得

(7)

公式(7)即為推導所得的樁端水平阻力-樁端位移(Fb-yb)關系曲線初始剛度計算表達式，該公式只與土體的彈性模量E、泊松比v以及樁徑d相關，適用于任意性質的土體。

當樁端水平位移yb達到一定值時，樁端水平阻力將達到極限值Fbu，隨著水平位移yb的增加，Fbu保持不變，則樁端極限阻力為

Fbu=τbuAb=πτbud2/4

(8)

式中，τbu為樁端與土體極限側摩阻力，當樁端土體為黏性土時，τbu為不排水抗剪強度Cu；當端部土體為砂土或c-φ土時，τbu=c+σvtanδ，c為土體的黏聚力，其中砂土c=0；σv為樁端位置處上覆土體自重產生的有效豎向應力；δ為樁端與土體之間的界面摩擦角，一般取為0.75φ[18]，φ為樁端土體內摩擦角。

樁端水平阻力-位移一般呈非線性特征[12]，因此結合公式(7)和公式(8)，建立雙曲線型樁端水平阻力-樁端位移(Fb-yb)本構關系式

(9)

1.4 虛擬土層中樁身傳遞矩陣系數

如圖1所示，地面上自由段樁側不存在地基土體，此時“土體”假定為虛擬土層；同時，如果地面下某一層的地基土非常軟弱時，設計過程中忽略該層土體水平抗力作用，亦可采用虛擬土層的假定。

圖5 虛擬土層中樁身離散示意

任取第i層虛擬土層，如圖5所示，該層土中的樁被等分為mi份，則第i層中樁等分后的每小段樁長度為hi=Hi/mi。根據傳遞矩陣法原理并結合文獻[13，15]可得第i層虛擬土層中第j小段樁身傳遞方程為

S(i，j)=U(i，j)S(i，j-1)

(10)

式中，S(i，j-1)=[y(i，j-1)θ(i，j-1)M(i，j-1)Q(i，j-1)1]T以及S(i，j)=[y(i，j)θ(i，j)M(i，j)Q(i，j)1]T分別為第i層虛擬土層中第j小段樁的樁頂與樁端變形、轉角、彎矩和剪力狀態矩陣向量；U(i，j)為第i層中第j小段樁的樁身傳遞矩陣系數，根據Laplace正逆變換可得

(11)

式中，qave(i，j)為第i層中第j小段樁的樁側平均分布荷載，等于(q(i，j-1)+q(i，j))/2；q(i，j-1)和q(i，j)分別為第i層中第j小段樁的頂部與底部位置處分布荷載值。

1.5 地面下彈性階段樁身傳遞矩陣系數

1.5.1 樁身微單元受力模型

取地面下樁身微單元并假定該段的樁土作用處于彈性階段，如圖6所示。由樁身微單元彎矩平衡可得

(12)

式中，Ms，ave為單側豎向摩阻力產生的彈性段范圍內樁身附加彎矩平均值，kN·m/m。

圖6 彈性段樁微單元受力分析

1.5.2 彈性段樁身傳遞矩陣系數

如圖7所示，假定地面下第i層樁被離散等分為mi份，離散等分后每小段樁長度為hi=Hi/mi。取等分后的第j小段分析，采用Laplace正逆變換，建立如下微分方程組

(13)

式中，y(i，j)、θ(i，j)、M(i，j)和Q(i，j)分別為第i層樁中第j小段樁端水平位移、轉角、彎矩和剪力；kave(i，j)為第i層樁中第j小段樁的樁側土抗力模量平均值，等于(k(i，j-1)+k(i，j))/2，其中k(i，j-1)和k(i，j)分別為第i層樁中第j小段樁的頂部與底部位置處土抗力模量；Ms，ave(i，j)為第i層樁中第j小段樁的樁身附加彎矩平均值，等于(Ms(i，j-1)+Ms(i，j))/2，其中Ms(i，j-1)和Ms(i，j)分別為第i層樁中第j小段樁的頂部與底部位置處豎向側摩阻力引起的附加彎矩值。

采用公式(3)計算Ms(i，j-1)和Ms(i，j)過程中，側摩阻力τ所需的轉角θ值采用前一次迭代計算所得的轉角值，首次迭代計算時假定任意截面處的Ms(i，j)均為0。

令β(i，j)=[kave/(4EIi)]0.25，結合文獻[13，15]可解得方程組(13)為

S(i，j)=U(i，j)S(i，j-1)

(14)

式中，S(i，j-1)=[y(i，j-1)θ(i，j-1)M(i，j-1)Q(i，j-1)1]T以及S(i，j)=[y(i，j)θ(i，j)M(i，j)Q(i，j)1]T分別為地面下土層中第i層中第j小段樁的樁頂與樁端變形、轉角、彎矩和剪力狀態矩陣向量；U(i，j)為第i層中第j小段樁(處于彈性階段)的樁身傳遞矩陣系數，如下所示

U(i，j)=

(15)

其中χ1、χ2、χ3和χ4分別為

(16)

上述兩式中：令t(i，j)=β(i，j)hi，則φ1、φ2、φ3和φ4為

(17)

圖7 彈性段樁身離散示意

1.6 地面下塑性階段樁身傳遞矩陣系數

如圖7所示，假定地面下第i層樁土相互作用為塑性階段，該段樁被離散等分為mi份，離散等分后每小段樁長度為hi=Hi/mi。取等分后的第j小段分析，此時圖7中的樁側土抗力平均值pave(i，j)替換為極限土抗力平均值pu，ave(i，j)，則采用下式計算

pu，ave(i，j)=(pu(i，j-1)+pu(i，j))/2

(18)

式中，pu(i，j-1)和pu(i，j)分別為第i層樁中第j小段樁的頂部與底部位置處極限土抗力值。

將公式(13)中kave(i，j)y(i，j)采用公式(18)替換并結合Laplace正逆變換可解得第i層中第j小段樁(處于塑性階段)的樁身傳遞矩陣系數

U(i，j)=

(19)

1.7 樁身響應求解

根據傳遞矩陣法原理[13，15]可得整個樁身的傳遞矩陣方程為

Sn=U(n，mn)…U(i，j)U(i，j-1)…U(1，1)S0

(20)

其中，Sn=[ynθnMnQn1]T和S0=[y0θ0M0Q01]T分別為整個樁的樁端和樁頂處變形、轉角、彎矩和剪力的狀態矩陣向量；U(i，j)為樁身傳遞矩陣系數，當樁側土體為虛擬土體時采用公式(11)計算，當樁側土體為彈性階段時采用公式(15)計算，當樁側土體處于塑性階段時采用公式(19)計算。

為求得樁頂響應矩陣S0，需引入樁頂、樁端邊界條件。常見的邊界約束條件主要有自由、鉸接和嵌固，如下所示

(21)

(22)

公式(22)中，樁端自由邊界條件時樁端水平阻力Fb采用公式(9)計算，其中第1次迭代計算時假定Fb值為0，隨后采用前一次迭代計算所得樁端位移yb計算Fb值。

根據樁頂、樁端邊界條件將公式(21)、公式(22)中對應值代入公式(20)中即可解得樁頂響應矩陣S0，則任意位置處的樁身響應為

S(i，j)=U(i，j)U(i，j-1)…U(1，1)S0

(23)

由于樁身響應求解過程中可能選取非線性或彈塑性樁土相互作用p-y曲線模型以及側阻附加彎矩Ms需要迭代才能求解，則本文方法樁身響應求解迭代詳細步驟如下。

(1)第1次計算時假定樁土相互作用均處于彈性階段，樁側土抗力模量取p-y曲線的線性段土抗力模量或取p-y曲線模型初始土抗力模型；由于側阻抗力矩依賴于樁身截面轉角，初始計算時可假定轉角均為0，此時位置處Ms，ave(i，j)的值均為0；當樁端自由邊界條件時假定Fb值為0。

(2)根據前一次計算結果，將樁身截面轉角帶入公式(3)重新計算附加彎矩Ms，ave(i，j)；如果樁土相互作用處于彈性階段時，則按照割線剛度法重新計算任意截面處土抗力模量值；當樁土相互作用處于塑性階段時，土抗力采用p-y曲線模型極限值計算；當樁端為自由邊界條件時，根據前一次計算所得樁端位移yb重新計算Fb值；重新計算考慮附加彎矩作用的彈性段和塑性段樁身傳遞矩陣系數，并結合新的邊界條件值進而重新解得樁身響應。

(3)經過s次迭代后，判斷任意截面處樁身轉角是否滿足下述精度要求

(24)

如果不滿足公式(24)所述的精度要求，則按照第(2)步重新計算；如果滿足精度要求，則按照公式(23)輸出任意截面處樁身響應值。

2 案例驗證

Bhushan等[20]在硬質黏性土中開展了灌注樁水平承載特性試驗研究?？倶堕LL=5.185 m，地面上長度為0.23 m，地面下長度為4.995 m，樁徑d=1.22 m，抗彎剛度EI=2.25×106kN·m2。樁長范圍內土體為均質硬黏土，根據文獻[21]可得該土體彈性模量為24.44 MPa，泊松比v=0.3，則根據公式(5)可知kby=1 039 kN/m。樁土相互作用p-y曲線采用API規范推薦的黏土模型，不排水剪切強度Cu=227 kPa；有效重度γ=18.8 kN/m3；ε50=0.007 2。

樁側豎向摩阻力曲線采用API規范推薦模型，如表1所示。API規范附錄中規定：“當黏性土不排水剪切強度Cu>72 kPa時，τu=0.5Cu”，因此τu=113.5 kPa；su為相對位移極限值，Mokwa[22]等認為樁側摩阻力完全發揮所需的樁土相對位移為2.54～7.62 mm，其中較小的值對應于打入樁，較大的值對應于灌注樁；而Juirnarongrit等[23]認為極限位移值su與樁長、樁徑無關，一般在5～8 mm之間。從偏于安全的角度出發本文取su=8 mm。

表1 歸一化側摩阻力曲線

根據公式(8)得出樁端水平阻力極限值Fbu=265.36 kN，按公式(9)可得Fb-yb關系為

(25)

則根據本文方法可得樁頂變形計算結果與實測對比如圖8所示。

圖8 不同工況條件下樁頂荷載-位移對比

根據圖8可知：當只考慮樁土相互作用p-y曲線時的計算結果與實測值相差較大，且差異隨著荷載的增加而顯著增加(最大誤差約40%)；如圖8中“考慮p-y曲線+Ms影響”所示，本文考慮側阻附加彎矩影響時的計算結果與實測值非常接近，最大誤差不超過9%，這是由于地基土體為硬質黏性土，相應的樁側摩阻力較大(τu=113.5 kPa)，此時樁身豎向摩阻力產生的附加彎矩Ms對水平承載特性影響顯著，已不能忽略。從圖中還可明顯看出：考慮樁端水平阻力Fb作用時的計算結果與相同工況下不考慮Fb作用的結果幾乎完全一致，即樁端水平阻力Fb作用可忽略不計，這是由于隨著樁頂荷載增加，樁端阻力Fb值盡管也增加，但其量值太小，對整體受力可忽略不計，如圖9所示。

圖9 樁端水平阻力

3 附加彎矩參數影響分析

為研究附加彎矩對水平受荷樁承載力的影響，以“案例驗證”的模型為背景，分別開展不同樁側摩阻力τ-s曲線、樁長徑比等因素影響分析。

3.1 樁側摩阻力τ-s曲線的影響

關于黏性土層中灌注樁極限摩阻力發揮時對應的極限位移值su，不同學者得出不同值：Mokwa[22]認為su為2.54～7.62 mm，Juirnarongrit等[23]取為5～8 mm，美國橋梁標準[24]取為6.1 mm(=0.005d，d為樁徑)，而肖宏彬[24]通過統計得su為2～20 mm。因此本節分析時su最小值取為2 mm，最大值為20 mm；極限摩阻力τu分別取56.75，113.5 kPa和227 kPa；殘余強度比值分別取0.7和1.0，進而建立如表2及圖10所示的模擬工況。

表2 側摩阻力曲線計算工況

圖10 不同側摩阻力曲線模型

圖11為只考慮p-y曲線作用時樁頂荷載-位移關系，從圖11可看出，樁身失穩時的極限加載值Fc≈2 000 kN，而樁身水平極限承載力Fu≈1 640 kN。

圖11 樁頂荷載-位移曲線

圖12為6種工況情況下樁身最大位移降低幅度(與不考慮附加彎矩效應時結果對比)關系。由圖12可知，樁頂水平荷載作用下變化規律基本一致且主要分為4個階段：

第①階段，加載初始階段(Ft=0～0.15Fu)的樁身最大位移降低幅度幾乎保持不變。這是由于樁身變形和轉角非常小，樁側摩阻力發揮基本保持在線彈性階段導致的。

第②階段，隨著樁頂水平荷載Ft的持續增加，最大位移降低幅度增加至最大值。這是因為樁身轉角逐漸增加使得樁側摩阻力產生的附加彎矩也增加，當相對位移達到極限位移值su時，相應的附加彎矩也將達到最大值。

第③階段，最大變形降低幅度從最大值開始逐漸降低。這是由于當樁頂荷載Ft逐漸接近樁身極限承載力Fu時，樁身側摩阻力基本均達到峰值τu，此時側阻附加彎矩增加量非常微弱，由于樁身變形和轉角進一步逐漸增加，進而使得最大變形降低幅度衰減。

第④階段，當水平荷載超過樁身極限承載力Fu時，很小的荷載增量也會導致很大的位移增量，由此可知，側阻附加彎矩增量會顯著降低樁身水平變形，進而使得最大位移增加幅度顯著提高。

如圖12(a)可知，極限位移值su越小，最大位移降低幅度最大值越大且對應的樁頂水平荷載值越小。由圖12(b)可知，極限側摩阻力τu越大，相應的最大位移降低幅度整體增加。對比第3組和第6組可知：在相對位移s未達到極限位移值su之前，兩組工況結果完全一致；當超過極限位移值su之后，由于第6組的τ-s曲線無衰減和殘余階段，進而使得最大位移降低幅度大于第3組工況。

由圖11可知，當水平荷載Ft超過樁身極限承載力Fu時，很小的荷載增量也會導致很大的位移增量，而圖12中第④階段的最大位移降低幅度也完全吻合該特征，因此也可將圖12中離極限加載值Fc最近的一個位移降低幅度極小值點所對應的水平荷載定義為樁身極限承載力Fu，從圖12可明顯看出，該極小值點對應的荷載與通過圖11確定的樁身極限承載力Fu幾乎一致。

圖12 不同τ-s曲線對最大位移影響

3.2 樁長徑比影響分析

為研究不同長徑比情況下側阻附加彎矩效應對樁基水平承載特性的影響，假定樁側摩阻力τ-s曲線采用表2中第2組模型，且忽略柔性樁樁身塑性鉸彎矩影響。樁徑d=2 m和樁嵌入深度Lb=4 m保持不變，兩組樁長徑比(Lb/d)均分別為1，2，4，6，8和10。由于樁頂水平荷載Ft具有工程意義的是0～Fu(樁身極限承載力)階段，因此，圖13中橫坐標采用Ft/Fu表示。樁長徑比(Lb/d)分別為1，2，4，6，8和10時樁身最大變形降低幅度對比如圖13所示。

從圖13(a)可知，當長徑比為1和2時，考慮樁端水平阻力Fb作用時影響較為顯著，尤其是Ft/Fu=0.45～1范圍內；然而，隨著長徑比的增加，水平端阻Fb影響明顯降低，當長徑比等于4時，平均誤差小于1%，因此當長徑比Lb/d≥4時可忽略水平端阻Fb影響。

由圖13可知：考慮側阻附加彎矩效應時的樁身最大位移降低幅度均隨著長徑比的增加而逐漸降低，且降低幅度越來越大，當長徑比Lb/d=10時，最大位移降低幅度平均值分別為1.8%和0.72%。由此可知,，對于柔性長樁而言，樁側豎向摩阻力產生的附加彎矩效應對基樁水平承載特性的影響可忽略不計。需要注意的是：長徑比Lb/d相同時，樁徑d越大，相應的初始階段最大位移降低幅度也越大。

圖13 長徑比對最大位移影響

4 結論

為分析樁側豎向摩阻力對橋梁基樁水平承載特性影響，首先引入附加彎矩概念并建立任意樁側摩阻力τ-s曲線作用時附加彎矩計算公式；隨后建立樁端水平阻力雙曲線本構模型，在此基礎上推導得出樁身傳遞矩陣系數解析解，并結合給出的迭代求解策略進而解得樁身響應。通過案例對比分析驗證了本文方法和解的正確性與合理性。最后，開展了考慮附加彎矩影響的參數分析，得出以下結論。

(1)不同τ-s曲線作用下附加彎矩效應對樁身最大位移降低幅度變化規律均一致，存在4個階段，即：在Ft=0～0.15Fu時為初始階段，最大位移降低幅度基本保持常數不變；隨著樁頂水平荷載增加，最大位移降低幅度逐漸增加至最大值；隨后最大位移降低幅度逐漸減小，當Ft=Fu時達到較小值；最后當Ft=Fu～Fc時最大位移降低幅度快速增加。

(2)極限位移值su越小，最大位移降低幅度最大值越大且對應樁頂水平荷載值越??；極限側摩阻力τu越大，相應的最大位移降低幅度整體增加。

(3)考慮側阻附加彎矩效應時的樁身最大位移降低幅度隨著長徑比的增加而逐漸降低，且降低幅度越來越大，當長徑比Lb/d≥10時，可忽略側阻附加彎矩效應的影響；同時，當長徑比Lb/d≥4時可忽略水平端阻Fb影響。

(4)長徑比Lb/d相同時，樁徑d越大，相應的初始階段最大位移降低幅度也越大。