基于混合系統模型預測控制的列車優化運行

王攀琦,湯旻安,2

(1.蘭州交通大學自動化與電氣工程學院,蘭州 730070； 2.蘭州理工大學機電工程學院,蘭州 730050)

隨著人工智能的發展，對高速鐵路自動駕駛的研究也越來越廣泛，干線鐵路也開始自動駕駛的研究。列車自動駕駛系統(ATO)可以代替司機，被證明是有效提高運輸系統的效率的方法[1]。而針對列車的建模大多是建立列車單質點模型，未充分考慮運行工況的變化影響，對列車動力學行為描述不夠精確。對列車動力學特性的掌握，關系到列車運行的安全性，同時影響列車速度的調整和舒適性的提高，因此，建立準確的動力學模型，是提高列車各項性能的基礎[2]。文獻[3]利用模糊PID軟切換控制算法來對模糊控制與PID之間進行切換，實現了ATO系統調速控制的平滑過渡。文獻[4]將模糊推理系統與神經網絡進行結合，用兩級模糊神經網絡對高速列車運行過程進行控制。以上皆是基于連續狀態變量對列車進行建模，對列車進行建模的方法隨著研究的深入也不斷改進。文獻[5]通過對列車車輛、列車編隊、滾動阻力、軌道環境等方面的研究，提出了一種高速列車的非線性縱向動力學模型，并對列車自動運行的縱向控制器設計進行了研究。文獻[6]提出了混合動力系統模型來描述高速列車的新特性，研究具有固定旅行時間的高速列車的最小能量駕駛策略。但是，以上文獻未充分考慮列車運行過程中離散變量對列車運行狀態的影響。因此，需要建立一種更有效的動力學模型來描述列車的運動過程。近年來，關于混合系統的研究逐漸熱門起來。混合系統內部連續狀態和離散狀態相互作用相互耦合。列車運行過程本身是一種連續變量和離散變量相互作用影響的過程，基于混合系統進行建模將更有效地分析列車的運行狀態。本文基于混合系統建立列車運行動力學方程，引入整數變量，建立基于混合系統的列車混合邏輯動態模型，采用模型預測控制來設計控制器。由于列車在運行過程中需要滿足對控制量和輸出量一定的約束條件，而必須采用二次規劃來獲得控制律的最優解。同時為了克服預測控制計算量大的特點，引入階梯式控制策略，簡化運算過程，降低控制器運算量，提高控制器精度。

1 混合系統列車動力學模型

在系統離散部分和連續部分聯系比較緊密時，需要對系統的連續部分和離散部分進行動態的描述，混合系統的優勢在于可以有效地描述這種復雜的系統。混合系統的建模方法在描述混合系統的行為特征方面的能力各不相同，不同的建模方法有各自的特點和便利之處，并有各自適合的混合系統的模型。分段仿射模型(PWA)能夠比較方便的分析系統的穩定性；混合邏輯動態模型(MLD)能夠很容易地建立并求解混合系統的優化控制、狀態估計、系統的故障檢測等。研究結果表明，混合系統的模型在一定的附加條件下都是等價的[7-8]。目前為止，對于混合系統的研究也逐漸廣泛。文獻[9]提出用一個混合模型預測控制(MPC)框架來設計ATO系統的控制器，用于在硬約束條件下實現速度控制，但是追蹤精度還不盡理想。這里先建立分段仿射模型，便于轉化為混合邏輯動態模型。

1.1 分段仿射模型

動車組一般有8節車廂。令第i節車廂的質量、速度、位移分別為mi，vi，xi，Fqi，Fzi，fri分別為第i節車廂受到的牽引力、制動力和運行阻力。一般來說，運行阻力又包括基本運行阻力和附加運行阻力。運行阻力可以表示為

(1)

由于運行阻力的非線性，隨著列車速度的增加，運行阻力也跟隨速度逐漸變化，因而需要對其進行線性化處理。運行阻力分段線性化函數表示為

fri=aj+bjvi，j=1，2，3

(2)

線性化處理后參數取值見表1。

表1 列車運行阻力分段參數

選取其中任意一節車廂，例如第2節車廂，其運動學方程為

mivi(t)=Fqi-Fzi-fri(i=2，3，…，n-1)

(3)

通過分段線性化的方法處理之后，對非線性列車模型進行離散化，得到狀態空間方程為[10]

(4)

仿真過程為了簡化計算，取列車車廂數為3，則有

x=[v1，v2，…，vn]T為列車運行系統狀態變量；u=[u1，u2，…，un]T為系統輸入。定義δ為列車運行狀態變量，δ=1表示牽引工況，δ=0表示制動工況。當δ取不同的值時，式(4)可表示為

(5)

其中，Bt，Bb分別為牽引力矩陣和制動力矩陣。

1.2 列車運行約束

列車運行過程中，需要滿足一定的約束條件，包括線路、機車以及控制輸入輸出的限制。這里主要考慮的約束有：

(1)由線路條件限制的列車最大允許速度；

(2)車廂額定功率限制的最大牽引力、制動力；

(3)乘客乘坐舒適度，即對加速度變化量的控制，其最大變化率應控制在0.8 m/s3。

以上約束可用不等式表示為

(6)

1.3 混合邏輯動態模型

MLD模型具有一般性，混合系統的多個模型都可以轉化為MLD模型。利用MLD模型可在一個集成的框架下方便地對混合系統進行分析和綜合[11-12]。其主要思想是把命題邏輯變換成混合整數線性不等式，同時需要引人輔助變量[13]。這里建立混合邏輯動態模型所要解決的最優控制問題可以表述為：已知系統的初始狀態、期望曲線尋求最優控制作用序列，使系統在該控制序列的作用下有效跟蹤目標曲線，并使性能指標函數最小。

對(6)式展開得到

x(k+1)=[Ax(k)+Btu(k)+fAj]δ(k)+

[Ax(k)+Bbu(k)+fj][1-δ(k)]=

Ax(k)+Bbu(k)+(Bt-Bb)u(k)δ(k)+fj

(7)

引入連續輔助變量z，令z(k)=u(k)δ(k)，可得

x(k+1)=Ax(k)+Bbu(k)+(Bt-Bb)z(k)+fj

(8)

轉換得到的MLD方程為[14-15]

(9)

輔助變量及輸入需要滿足的約束為

(10)

2 性能指標

列車在實際運行過程中，需要考慮執行器飽和特性、列車安全限速和車間最大耦合力等約束條件，同時還需綜合考慮運營準時性、節能高效和乘客乘坐舒適度等性能指標。性能指標函數的選取是保證控制器設計目標實現的保障，同時需要滿足列車自動駕駛的條件，通過優化指標的實現，使系統在未來的輸出滿足系統跟蹤要求[16]。

(1)準時性和定點停車

(x1(k+i|k)-xr(k+i))2}

(11)

vr，xr分別為參考曲線的速度和位移。

(2)乘客乘坐舒適度

(12)

(3)運行節能

(13)

綜上所述，總的性能指標函數J將由上面3個部分組成，根據實際情況選擇合適的權重，總的優化函數為

(14)

將其化簡為向量形式有

(15)

M是優化變量的個數，也即控制增量的維數，P為預測時域的步長，即是對未來P個時刻進行預測。M越小，控制機動性越弱。Q為誤差權重矩陣，R為控制權矩陣。控制權重矩陣R的作用是對Δu的變化加以適度的限制。它可以防止控制量過于劇烈的變化。

在預測控制中，為了使輸出y(k)按一定響應速度平滑地過渡到設定值，參考軌跡通常取為下一階滯后模型，有

(16)

式中，α∈[0，1)為輸出柔化系數，當需要緩慢過渡時，可選擇α接近于1。這樣可以使w(k+j)平滑地過渡到設定值yr，同時也可使未來控制序列得到“柔化”[17]。

3 控制器設計

3.1 預測控制

預測控制只注重模型的功能，而不注重模型的結構，通常只實施當前時刻的控制作用。采用模型預測控制來設計列車控制器，其優勢在于可以充分考慮系統輸入及狀態約束同時處理多目標優化問題等優點[18]。

模型預測控制一般包括預測模型、滾動優化、反饋校正3個部分。令γ為優化變量

未來輸出預測表示為

假定系統是時不變的，由混合邏輯動態模型的一般形式可得x(k)，y(k)相應的預測值

B2δ(k+j-1-i)+B3z(k+j-1-i)]

(17)

j-1-i)+B2δ(k+j-1-i)+

B3z(k+j-1-i)]

(18)

由式(8)可知，B2=0，所以有

X(k)=Fxx(k)+Gxγ

Y(k)=Fyx(k)+Gyγ

(19)

其中

(20)

Fy=CFx，Gy=CGx

(21)

(22)

將預測輸出量代入性能指標中，得到將最小化性能指標等價于函數最小化混合整數二次規劃問題如下[19]

J=min{1/2γTHγ+f′γ}

s.t.Aeqγ≤beq

中國高鐵國際化，為中國發展提供了更加廣闊的地域空間。高鐵作為連接世界的紐帶，將不斷把中國的產業、文化和思想傳播出去，讓全世界見到一個全新的中國，實現中華民族的偉大復興。

(23)

其中

f=(Gy′Q′-(Fy-W))′

(24)

W為柔化后的參考軌跡曲線。由于邏輯變量及不等式約束的出現，上式沒有解析解，需要將其轉化為標準混合整數二次規劃問題進行求解。

考慮約束條件式(5)、式(10)，對其轉化得到

(25)

式中，Ft，Fb分別為每節車廂的最大牽引力和最大制動力。

選取有效集法來解決二次規劃問題，通過求解等式約束的可行解，并不斷加以改進，直至獲得最優解。主要步驟為：

(1)假設在第j次迭代中獲得可行解γ(j)；

(2)考慮改進可行解γ(j)+Δγ，代替γ；

(3)將有條件約束轉化為無條件約束，即將其寫成拉格朗日函數，從中獲得優化解Δλ(j)和λ(j)；

(4)判斷是否獲得了最優解。

3.2 階梯式控制策略

列車控制系統要求快速響應的實時控制，計算量大，除了要求輸出有效地跟蹤期望值，控制增量Δu需要避免劇烈變化。這里在預測控制的基礎上引入階梯式控制策略，可以避免控制量頻繁波動，使控制量盡可能朝著一個方向變化。具體方法為使控制量以成比例的形式顯示，實現對預測控制算法的優化。

用增量形式來表示控制量，可以得到從k時刻開始的未來控制表示為

(26)

對于用增量形式表示的控制量，引入階梯因子

(27)

其中，β即為階梯因子。β的大小可對控制量變化快慢進行控制。因而有

(28)

(29)

基于模型預測控制算法步驟如下：

(1)根據預測模型和運行約束集合式形成優化問題；

(2)采樣當前時刻k列車的速度和位置，獲得系統初始狀態x(k)；

(3)選取合適的控制器參數和性能指標函數權重矩陣；

(4)求解混合整數二次規劃問題，得到最優序列Δu(k)；

(5)將最優解序列的第一項用于系統實現；

(6)在k=k+1時刻重復上述步驟，反復迭代，直到控制過程結束[20]。

4 仿真結果分析

高速鐵路列車現多為動力分散型動車組，速度一般不超過350 km/h，本文選取CRH3型動車組參數如表2所示。控制器的參數如表3所示。速度控制器的功能實質上是保證被控列車能夠準確及時地跟隨列車運行過程中的目標曲線(該曲線在1 100 s和1 400 s進行制動減速)。這里讓列車跟隨一條時變的線段，如輸出圖形中紅色曲線所示。

表2 CRH3列車參數

表3 控制器參數

case1選取表3中控制器參數進行Matlab仿真，結果如圖1所示。

圖1 case1仿真結果

在輸出曲線圖中，紅色為參考曲線，藍色為輸出曲線。case1結果表明，當控制器權重及預測時域選擇恰當時，不僅可以保證列車速度能夠很好地跟蹤上目標曲線，還可使輸入在約束范圍內。

case2選取表3中控制器參數，得到傳統模型預測控制方法仿真結果如圖2所示。

圖2 case2仿真結果

case1與case2對比可得，兩種控制器都能保證速度追蹤的效果，引入階梯式控制策略后的控制器相比較傳統模型預測控制，響應速度更快，追蹤精度較好。在實際運用中，應根據線路、環境等各項情況，應用合適的控制器。

case3在case1的基礎上，減小預測時域，使P=6，仿真結果如圖3所示。

圖3 case3仿真結果

case4在case3的基礎上，保持控制時域不變，繼續減小預測時域，使P=3，結果如圖4所示。

圖4 case4仿真結果

case1、case3、case4對比可知，當逐漸減小預測時域時，系統的響應速度越來越慢，誤差也越來越大。說明預測時域對于系統的穩定性與快速性有較大影響。因此，預測時域和控制時域需要進行考量后再進行選擇，避免過大或者過小極端情況出現。

case5在case1的基礎上，增大控制權重R′=2R，結果如圖5所示。

圖5 case5仿真結果

case1、case5對比可知，當保持預測時域不變，增大控制權重為原來的2倍時，系統輸入值變小，同時也導致系統響應慢，但波動較小，控制律的變化更為平緩。因此，應根據實際的需求來調節權重矩陣，來保證目標曲線跟蹤的效果。

5 結語

針對列車自動駕駛系統，首先基于混合系統建立列車混合邏輯動態模型，其次基于傳統的模型預測控制，采用基于階梯式策略的預測控制。利用基于混合系統的混合邏輯動態模型，對列車建模可充分地考慮離散變量的影響。該控制算法通過二次規劃逐步逼近方式求得最優控制律，能有效地滿足約束條件。實施階梯式策略的控制器，達到了減小計算負擔的目的，在實際應用中有更強的適應能力。