考慮通脹指數債券的最優投資-閑暇與自愿退休選擇

余 鵬,張繁紅，費為銀,惲 珍

(安徽工程大學 數理學院，安徽 蕪湖 241000)

Merton[1]于1969年利用動態規劃原理解決連續時間最優消費與組合投資問題,隨后,一系列拓展模型不斷完善現實框架.Bodie[2]等將代理人的勞動收入和閑暇納入連續時間最優消費與組合投資模型中,其中代理人勞動供給是彈性的.Choi[3]等討論了代理人最優自愿退休與消費決策問題,其中代理人可自由選擇何時退休,而他選擇工作即可獲得勞動收入，同時伴有因勞動產生的效用損失.代理人一旦選擇退休就避免了因勞動產生的效用損失，但同時也失去了勞動收入.在代理人勞動收入具有隨機性的情況下,利用對偶方法,Barucci[4]等分析了最優消費、勞動供給和退休時機選擇.退休選擇權具有相機而擇時,Lee[5]等研究了代理人的最優消費、投資組合和閑暇,其中代理人的效用由不變替代彈性效用(CES型)刻畫.

伴隨經濟的發展,通貨膨脹不可避免,適度的通脹可以促進經濟快速發展,但通脹水平過高對經濟的健康發展會起到阻礙作用,尤其通脹不確定性的加大往往會改變人們的預期，從而影響人們的消費投資行為.在通脹不確定下,Munk[6]等分析了代理人在現金賬戶、名義債券和股票上的最優動態資產配置問題,而Bensoussan[7]等研究了在物價水平完全可觀察和不可觀察下最優組合投資和消費.利用鞅方法,Kwak[8]等刻畫了通脹對家庭最優消費、組合投資和人壽保險決策的影響.在通脹不確定下的最優消費和組合投資也為國內許多學者研究.例如，姚海祥[9]等研究了通貨對投資終止時間不確定最優投資組合的影響.基于跳擴散環境,費為銀[10]研究了通脹對投資者資產配置的影響．

基于上述分析可以發現,在代理人的消費-組合投資、閑暇與自愿退休選擇框架下,應該考慮通脹不確定對代理人決策的影響.Koo[11]結合通脹因素分析了最優組合投資、消費、閑暇和自愿退休選擇,利用動態規劃原理建立了代理人值函數所滿足的HJB方程,并給出了最優組合投資、消費、閑暇與自愿退休選擇策略.陳雅豪[12]等研究了通脹不確定下最優消費-投資組合與自愿退休選擇問題,其中效用僅僅來自代理人消費的效用,沒有考慮代理人的閑暇對其效用的影響.文章在考慮代理人消費和閑暇兩個變量給其帶來效用(用Cobb-Douglas效用函數刻畫)的前提下,研究了代理人的效用優化問題.其中投資機會集中不僅有無風險債券、風險股票,還有通脹指數債券.這使得模型的分析和結論更具有一般性,得到了更具現實經濟意義的結論.由于引入閑暇，代理人的效用不同于傳統僅依賴于消費一個變量，而是依賴消費和閑暇兩個變量，用Cobb-Douglas效用函數刻畫，由此帶來的分析發生了本質的改變；由于通貨膨脹的引入，使得最優策略的分析不同于現有文獻的工作，為得出結論需要隨機分析技術，方法上有一定的創新；正因為考慮代理人的閑暇、消費-投資組合和退休選擇與宏觀經濟變量通脹的緊密聯系使得研究問題更切合實際，具有較高的應用價值.

1 基本模型

假設金融市場所有隨機過程關于完備帶流概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)都是適應的，W(t)和Z(t)是其上的Brown運動.用居民消費價格指數(CPI)度量通脹水平P(t),其服從隨機微分方程

式中，μp是預期通脹率;σp>0是通脹波動率．

經濟代理人在三種資產上投資,一種是名義利率為R的無風險資產或銀行賬戶,另一種可投資的是預期收益率為μs和波動率為μs>0的風險股票,還有一種是實際利率為r的通脹指數債券.用下列隨機微分方程分別描述無風險債券名義價格BN(t),股票名義價格SN(t)以及通脹指數債券名義價格IN(t)

于是代理人名義財富過程XN(t)滿足

(1)

2 代理人效用優化

代理人最大化期望貼現消費和閑暇累計效用的值函數為

(2)

其中,主觀貼現率β>0,A(x)表示所有允許策略(c,l,π,τ)之集并滿足

其中,u-:=max(-u,0).代理人既要消費又要閑暇,兩者的效用可以用如下Cobb-Douglas效用函數刻畫

且γ≠1,

(3)

假設1 下列變量滿足

在式(2)中,代理人退休后的值函數U(·)與經典Merton問題類似,退休后的值函數

(4)

假設k+>0和k-<-1是式(5)方程的兩個根

(5)

定理1 在上述假設下，最優消費、閑暇、組合投資和自愿退休選擇為

ξ和ζ是下列代數方程的解：

證明 當0≤t<τ,0≤l

根據一階條件,可得(c,l,π0,π1,π2)關于V(x)的表達式,再代入上述方程整理得值函數如下

當0≤t<τ,l=L時,優化問題的值函數滿足下列HJB方程

由一階條件,經整理可得值函數

3 數值模擬和經濟學解釋

利用MATLAB數值模擬直觀分析通脹不確定性對最優消費與組合投資的影響.

圖1中每個圖都由三條線組成.其他參數不變,僅改變代理人相對風險厭惡系數,觀察通脹不確定性對最優股票投資的影響.由圖1可知,對風險厭惡越高,代理人的投資意愿越低．

圖1 通脹波動率σp對最優投資π2的影響

圖2 通脹波動率σp對消費水平Ct的影響

4 小結

通貨膨脹成為經濟活動過程中不可忽視的因素.經濟代理人的財富往往因通脹而貶值，基于通脹不確定風險，代理人如何做出最優的決策是需要研究的基本問題.假設代理人考慮消費-投資、閑暇和退休選擇，代理人的閑暇雖然會給代理人帶來效用，但由于勞動時間的減少而工資收入降低，從而減少了代理人的財富；另一方面，代理人可以選擇提前退休以便享受更多的閑暇，但提前退休也會減少代理人的財富積累，所以需要在消費、閑暇與勞動時間之間進行權衡，從而達到消費、閑暇的生命周期內預期累積效用最大化.為了解決優化問題，利用隨機分析和隨機控制方法解決代理人的消費-投資、閑暇與退休選擇問題，得出代理人的最優決策.將代理人生命周期分為低閑暇、高閑暇和退休后三個階段，通過求解方程,獲得關于消費、閑暇、投資和退休的最優決策.通過數值模擬發現，隨著代理人財富的增加,其消費和投資也會一定程度地增加.面對變化的通脹波動率時,代理人為了減小風險、增加收益,在不同的階段會選擇不同的最優投資-消費、閑暇策略.所得結論可以給代理人在金融市場的投資-消費、閑暇和退休選擇決策提供一定的理論指導．