數(shù)學史的方法與中學數(shù)學教學的融合

丁彬

【摘要】 我國的數(shù)學課堂教學一般比較注重模式化的數(shù)學思維的推理演練，往往忽視對學生數(shù)學學科的思想體系和文化內(nèi)涵的培養(yǎng).在新課程改革的背景下，將數(shù)學史引入數(shù)學課堂，越來越受到有關教育部門的重視，已成為數(shù)學課程改革發(fā)展的必然要求.本文主要從數(shù)學方法的比較、結合某一體系，講授發(fā)展概況、從具體問題出發(fā)，引導學生積極思考、利用數(shù)學史上的名題及軼聞趣事這五個方面論述了中學數(shù)學教學與數(shù)學史有關知識的融合過程，最后提出了數(shù)學史與教學融合的要求.

【關鍵詞】 數(shù)學思維;數(shù)學史;融合;數(shù)學教學

一、利用數(shù)學史的方法

（一）通過方法的比較，引導學生發(fā)現(xiàn)學習

古往今來，數(shù)學思想方法不計其數(shù)，每一種數(shù)學思想方法都閃爍著人類智慧的火花，以史為源，在數(shù)學教學中引導學生從數(shù)學發(fā)展的痕跡中尋找養(yǎng)料，對古今中外的解決方法進行對比，以便使學生了解各種方法的特點或古今方法的演變，從而更好地習得一些處理數(shù)學問題的方法.

例如，證明1+2+3+…+n= 1 2 n（n+1）.

（1）數(shù)學歸納法證明：

① 當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立;

② 假設當n=k時，等式成立，即1+2+3+…+k= 1 2 k（k+1）;

③ 當n=k+1時，1+2+3+…+k+k+1= 1 2 k（k+1）+k+1= 1 2 （k+1）（k+2）.

等式也成立，根據(jù)①②③，可知等式成立.

該題還可以用古代數(shù)學中形與數(shù)相結合的思想方法來解決.

（2）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)從1開始，任意多個自然數(shù)之和構成三角形數(shù)，一點代表1，二點代表2，三點代表3等，并且在三角形數(shù)旁補一個倒立的三角形數(shù)，如下圖.

根據(jù)圖1可以得到1+2+3+…+n= 1 2 n（n+1），

畢達哥拉斯還用正方形數(shù)的構成得出：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

數(shù)學史中的“圖說一體”的例子很多隱含著數(shù)學家在發(fā)現(xiàn)數(shù)學時的思想方法，然而在今天這類思想方法卻被遺忘或者忽略了，而這類涵蓋數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學思想的史料，在教學時是不應被忽視的.

（二）結合某一體系，講授發(fā)展概況

數(shù)學每一個知識體系的形成都經(jīng)歷了漫長的歷史時期，教師在教學過程中，可根據(jù)教材中的數(shù)的理論體系、解析幾何的理論體系的形成等，談其發(fā)展概況.如數(shù)的發(fā)展概況自然數(shù)——整數(shù)——有理數(shù)——無理數(shù)——實數(shù)——復數(shù).原始人在分配獵取食物和制造打獵武器時，總要先“數(shù)一數(shù)”和“量一量”，然后進行分配，并經(jīng)過多次實踐，才逐漸產(chǎn)生了自然數(shù)的概念.在分配食物和度量過程中，常有分不完和量不盡的情況，但仍然需要繼續(xù)分和更精確地量下去.為了解決這些矛盾，于是就產(chǎn)生了分數(shù)，為了表示相反意義的量，則又產(chǎn)生了負數(shù)，至此，就有了有理數(shù)這一家庭.

那么無理數(shù)是如何誕生的呢？以 2 誕生的危機為著手點，引出無理數(shù).

L老師：畢達哥拉斯學派有一個門徒叫希帕索斯，發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形，根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)其對角線長不是有理數(shù)而是我們之前所學過的無理數(shù)，正是因為這個發(fā)現(xiàn)而動搖畢達哥拉斯學派神秘的信仰，由于泄露這一秘密，被拋進大海，史稱“第一次數(shù)學危機”.那么希帕索斯發(fā)現(xiàn)的究竟是個怎樣的無理數(shù)呢？我們一起來看看.

請同學們填寫下面表格.

L老師：上述的問題已知和要求的分別是什么呢？

生（眾）：已知的是正方形的面積，求的是正方形的邊長.

L老師：那它們邊長分別是多少呢？

生（眾）：3，2，0.5，0.4，0.1.

L老師：這幾個都可以求出來，而且這幾個數(shù)可以用我們今天需要引進的新的概念，即“算術平方根”?? 來表示.

L老師：同樣這個?? 也有其悠久的發(fā)展歷史，例如， 9 表示9的算術平方根，雖說這是一個細小的數(shù)學符號，但在數(shù)學史上歷經(jīng)了漫長的過程，古埃及人用符號“”表示算術平方根.印度人在開平方時，在被開方數(shù)的前面寫上“ka”，用ka9表示“ 9 ”，1480年前，德國人用一個點“·”來表示算術平方根，例如，“·5”就表示5的算術平方根.直到16世紀，小點帶上一條尾巴成為“～”，這可能寫快時，帶上的小尾，在此基礎上演變成“?? ”，表示成算術平方根;1525年，魯?shù)婪虻拇鷶?shù)書用 8 表示;1637年笛卡爾的《幾何學》中，出現(xiàn)了歷史上第一個算術平方根號“?? ”，他寫道：如果我想 求a2+b2的算術平方根就寫作“ a2+b2 ”.當一個被開方數(shù)是一個多項式時，為了避免混淆，又在這上面加一條“-”，左邊又加上一個小門，就是現(xiàn)在的根號了，即“?? ”.[7]

類似，正方形面積為9，邊長為 9 ，這個 9 我們可以讀作9的算術平方根，即 9 =3， 4 =2，同學們能將表1中的其他數(shù)字用類似的形式表示其算術平方根嗎？

生（眾）：能， 4 =2， 0.25 =0.5……

L老師：同學們可以發(fā)現(xiàn)開平方算出來的是它們邊長，那么面積為2的正方形的邊長怎么表示呢？

生（眾）： 2 .

L老師：那 2 等于多少呢？請同學們拿出計算器，利用計算器計算，看一看得出來的是什么類型的數(shù)字呢？

生（3）： 2 =1.41421356237309504880168872420是無限不循環(huán)小數(shù)，是個無理數(shù).

L老師：回答得很好，同學們希帕索斯算出的數(shù)正好就是 2 ，從而引發(fā)了第一次數(shù)學危機.（概念解讀、例題講解和課堂練習略）

（三）從具體問題出發(fā)，引導學生積極思考

要使數(shù)學教學過程在某種程度上反映出數(shù)學的創(chuàng)造過程，需做到既讓學生理解“證明”，又讓學生學會“猜測”，使學生能夠“知其然又知其所以然”.教師可以設計出適當?shù)慕虒W情境，讓學生在這樣的情境中像數(shù)學家那樣自己去猜想、發(fā)現(xiàn)真理，比機械模仿、記憶那些不理解其來源、意義和相互聯(lián)系的命題和證明的現(xiàn)成體系更容易使學生理解.數(shù)學史上新概念、新思想、新方法、新理論的出現(xiàn)往往是由于解決問題的需要.從具體問題出發(fā)，讓學生通過觀察實驗建立猜想，當學生感到用已有的知識無法解決，需要學習新方法或新理論的必要時，教師才開始講授這種新的方法或理論.

（四）利用數(shù)學史上的名題

數(shù)學史為我們提供了豐富的史料，許多可以完全運用于教學，如古希臘的三大幾何難題、孫子算經(jīng)、雞兔同籠等問題、九章算術中的運用題等，這些歷史名題的提出一般來說都是非常自然的，且直接提供了相關數(shù)學內(nèi)容的現(xiàn)實背景，或者揭示了實質性的數(shù)學思想方法，這對于學生理解數(shù)學內(nèi)容和方法都是重要的.

例如，在初中代數(shù)的“列方程組解應用題”的教學中可以使用“雞兔同籠”問題.

例，一個農(nóng)民有若干只雞和兔子，它們共有50個頭和120條腿，則這個農(nóng)民有多少只雞？多少只兔子？

（1）有的學生使用了直觀的方法將所有的情況列表如下.

通過幾次試探，得到了答案，即有40只雞，10只兔子.

（2）有的學生使用了算術法：若給每只動物2條腿，則用去了100條腿.這樣就剩余20條腿，把它們成對給出就得到10個4條腿的，40個2條腿的.所以，有10只兔子，40只雞.

（3）有的還使用了代數(shù)法假設雞有x只，兔子有y只.

列方程如下： x+y=50，2x+4y=120，? 解得x=40，y=10.

在上述解答中，教師以為學生做的是“列方程”，但事實上學生除了“列方程”以外，還給出了直觀的方法，試驗的方法.正因為有了這些，教師才能在了解學生真實思維過程后進行有針對性的教學.

（五）利用歷史上的逸聞趣事

在數(shù)學教學中，有意識地介紹一些數(shù)學家的成長過程、治學精神、軼聞趣事等，即所謂的給數(shù)學知識裹上“糖衣”的方法.帕斯卡16歲成為射影幾何的奠基人，19歲發(fā)明原始計算器.牛頓22歲發(fā)現(xiàn)一般的二項式定理，23歲創(chuàng)立微積分學.這些杰出數(shù)學家的故事對于今天的許多學生來說，無疑有著巨大的激勵作用.

許多大數(shù)學家在成長過程中遭遇過挫折，不少著名數(shù)學家都犯過今天看來相當可笑的錯誤，介紹一些大數(shù)學家是如何遭遇過挫折和犯錯誤的，不僅可以使學生在數(shù)學方法上從反面獲得全新的體會，而且知道大數(shù)學家也同樣會犯錯誤、遭遇挫折，對學生正確看待學習過程中遇到的困難、樹立學習數(shù)學的自信心會產(chǎn)生重要的作用.數(shù)學思想形成中的曲折與艱辛以及那些偉大的探索者的失敗與成功還可以使學生體會到，數(shù)學既不僅僅是訓練思維的過程，也是科學研究的工具，它有著豐富的人文內(nèi)涵.

二、中學數(shù)學教學中利用數(shù)學史的要求

專業(yè)知識與歷史知識總是互補的.就是說，不僅研究學習歷史需要具備一定的專業(yè)知識，而且學習專業(yè)知識也同樣需要用歷史知識幫助分析和思考.所以數(shù)學史是學習數(shù)學、認識數(shù)學的工具.人們要弄清數(shù)學概念、數(shù)學思想和方法的發(fā)展過程，增長對數(shù)學的認識，建立數(shù)學的意識可以運用數(shù)學史作為補充和指導，給人以啟迪和明鑒.因此，教師要在教學中注意發(fā)揮好數(shù)學史的現(xiàn)代教育價值.

1.教師在上課前要深入研究教材的數(shù)學知識，理清隱含在該次課的每個公理、定理、公式、概念和圖形等數(shù)學史的知識，充分做好課前的儲備工作.

2.結合學生的認知水平和特點來分析數(shù)學知識，以此找出其中的難點和重點，利用數(shù)學史的知識促進學生對數(shù)學知識的理解.

3.研究數(shù)學教學目標，制訂合理的教學方法和過程.確定哪些知識需要數(shù)學史知識的幫助，哪些不需要確定出在教學時如何給學生講解和介紹確定出在什么環(huán)節(jié)上補充數(shù)學史知識等.

4.由于數(shù)學史的內(nèi)容廣泛，加上數(shù)學學科本身源遠流長，分支較多，所以面對長長的數(shù)學史卷，應該合理轉化為教育形態(tài)，根據(jù)自己的教學安排詳細地向學生講解.

5.在給學生講解數(shù)學史知識時，應當力求簡單通俗，使學生易于接受.

6.在給學生講解數(shù)學史知識時，應當結合數(shù)學知識及時補充，確保教學效果.

7.不能忽視課外的數(shù)學史知識的適當教育.

【參考文獻】

[1].楊渭清.數(shù)學教育中融入數(shù)學史的若干問題探究[J]西安文理學院學報（自然科學版），2009（3）：125-128.