“變臉”

湯愛花

案例背景

《數學課程標準》指出：教學中要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同水平.意即教師在課堂教學中應關注問題設計的層次性、開放性，引導學生主動參與探索活動，展示其解決問題的策略，豐富數學活動經驗，提高思維水平.筆者結合一節課——（“2.5直線與圓的位置關系”選自《義務教育課程標準實驗教科書（蘇科版）》九年級上冊第二章2.5）中一道例題的教學片段，談談自己的教學嘗試與反思，和大家共勉.

案例過程

例題? 如圖1所示，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAD=∠ABC.判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由.

師：請生1來談談你是怎樣思考并解決的？

生1：問題是判斷直線AD與⊙O的位置關系，根據條件和圖形知道OA是⊙O的半徑，因此，只要得到OA⊥AD即可.AB是⊙O的直徑，所以∠C=90°，所以∠CAB+∠ABC=90°，又∠CAD=∠ABC，所以∠CAB+∠CAD=90°，即OA⊥AD即可，所以直線AD與⊙O相切.

師：其實問題1中的條件有多余的.不相信？請看變式題1，并思考如何解決？

變式題1? 如圖2所示，△ABC內接于⊙O，∠CAD=∠ABC.判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由.

生2：開始，我想到連接OA，但不知如何得到OA⊥AD，始終覺得條件∠CAD=∠ABC派不上用場.小組討論時，我們把這個問題與問題1做了對比，發現兩個問題的圖形中線段AB的位置發生了變化，當AB是⊙O的直徑時（即問題1）非常容易解決，于是大家思考是否要過點A作一條直徑？嘗試后恍然大悟.

具體是：作直徑AE，連接CE（如圖3所示）.則∠ABC=∠ACE，由問題1的解決容易得到：OA⊥AD，所以直線AD與⊙O相切.

師：生2的分析與思考值得每位同學借鑒.我們在探索問題解決過程中既要關注問題的條件與結論，也要關注問題涉及的圖形與平時所熟悉的基本圖形之間存在怎樣的變化與聯系.

生3：思考這個問題時，我先連接OA，發覺條件∠CAD=∠ABC派不上用場.

由同弧所對圓周角與圓心角的關系發現：只要再連接OC即可得到∠AOC=2∠ABC.又OA=OC，所以∠OAC=∠OCA.因為∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，所以可得2∠ABC+2∠OAC=180°，所以∠ABC+∠OAC=90°，由∠CAD=∠ABC可知：∠CAD+∠OAC=90°，即OA⊥AD，所以直線AD與⊙O相切.

師（小結2）：很好！現在大家找到了兩種解決變式題1的途徑.其實，這兩種方法告訴我們，問題解決的策略發生變化時，具體解決方法就有差異.顯然思考過程是非常關鍵的，只有對所學知識、方法有清晰的理解，才能尋求出好的解題策略.

變式題2? 如圖1所示，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑.請你添加一個條件，使直線AD是⊙O的切線，并說明理由.（不添加輔助線和其他字母）

生：（全體學生）添加條件∠CAD=∠ABC即可.

師：還有其他添加條件的方法嗎？

生4：只需添加條件AB⊥AD即可.

師：生4的方法不行嗎？

生：（集體回答）行！只是太簡單了.

師：（小結3）我們解決問題時不就想尋求簡單一些的方法嗎？從這個問題的解決可以看出：許多同學在探究問題時往往視問題本身于不顧，導致有時想了許多卻找不著北.

案例反思

本節課的例題教學關注問題設計的層次性與開放性，通過對變式問題的探究，使不同層次學生都有所收獲;同時關注了問題探索過程的有效教學與指導，使學生的思維水平有較好的提升.

1.問題設計有利于學生主動學習

根據問題的提出共創設了3道變式問題，通過問題的探究促使學生積極主動地參與課堂，對學習有困難的學生給予鼓勵和指導.

2.策略分析有利于揭示思維過程

變式題1的思維含量較高，尤其學生在思考第二種解法時顯得更加困難.在組織教學時，教師請生2回答時要求“談談你最初的想法及小組討論的情況”，生2完成解答后又提出“還有其他不同解決辦法嗎？”，接著對生3的回答給予了充分肯定.

對變式題3的策略分析與解決則由學生盡情發揮，教師只是從分析方法層面給予了歸納與指導.

3.適時小結有利于提高思維水平

在這組問題教學的過程中，教師共安排4次階段性小結，使學生明確探索問題的一般性方法，幫助學生學會歸納、類比和總結.長期這樣，學生的分析問題能力、思維水平必然會有明顯的提高，從而達到由“學會”到“會學”的轉變.