例談高中數學解題中巧用均值不等式

胡霞

【摘要】 本文重點分析了高中數學例題解題中使用均值不等式的相關問題，并圍繞具體的試題，對均值不等式的使用方法進行了研究.從本次研究結果可知，巧用均值不等式能夠提高高中數學解題能力，幫助學生尋找解題的新路徑，所以應該做進一步推廣.

【關鍵詞】 高中數學;數學解題;均值不等式

一、對均值不等式確定最值問題的研究

在當前數學問題的計算中，均值不等式是計算最值問題的有效手段，同學們在利用均值不等式來解答數學問題時，需要先明確均值不等式的概念，并且均值不等式本身并不產生最值問題，而要產生最值問題必須要明確不等式的變量情況，并且在確定定式數據內容的基礎上，確定兩個變量所產生的其他代數值參數水平.

在這種情況下可以認為，在利用均值不等式解答問題時，需要了解兩個變量數據的變化情況，在保障不等式定值s確定的情況下，則有乘積的最大值： s2 4 ;并且在兩個變量乘積是定值P的情況下，有最小值2 P ;在和是定值的基礎上，其積是定值時也不一定能獲得乘積的最大值與和的最小值.

二、均值不定式在高中數學例題解題中的應用研究

（一）掌握均值不等式的解題技巧，深入剖析問題的要點

在利用均值不等式解題時，通過適當的問題變換能夠進一步明確問題的解題思路，這也是均值不等式解題的最常見的方法.以下面例題為例：

假設實數a，b滿足 （a-4）2 4 + （b-3）2 3 =2，計算a+b的最大值與最小值.

在上述問題的計算過程中，分析到：由于2= （a-4）2 4 + （b-3）2 3 ≥ （a+b-7）2 4+3 ，所以- 14 ≤a+b-7≤ 14 ，即- 14 +7≤a+b≤ 14 +7，在這種情況下可以分析認為，當3（a-4）=4（b-3）時兩者的關系是成立的.在這一研究結論的基礎上，可以判斷得出，在條件 a=4+ 4 14? 7 ，b=3+ 3 14? 7?? 時，就可以確定a+b的最值情況，其中a+b的最大值等于 14 +7，最小值等于- 14 +7.

在上述問題的計算過程中，需要通過均值不等式將問題中的兩個孤立的變量聯系在一起，通過確定兩者之間的數據關系，最終完成對最大值與最小值的計算.從習題內容來看，該題型在高中數學中較為常見，所以需要同學們能夠進一步掌握均值不等式的概念，并根據問題的已知條件快速確定問題的要點，這樣才能在短時間內尋找到問題的解題思路.最后在問題解題過程中，需要關注運用均值不等式時出現等號不成立的情況，所以在使用均值不等式的情況下，需要使用添項法來對不等式的內容進行明確，獲得更精準的數據結果[1].

（二）利用均值不等式的成立條件來計算最值問題

根據均值不等式的概念（a+b≥2 ab ）可知，若兩個正數的和是確定的，那么當且僅當兩數相等時，乘積取最大值.簡而言之，若兩個正數的和是確定的，并且兩個正數之間的差是零的條件下，兩個數之間的乘積才是最大的.根據這一定理，我們在問題的分析中，可以嘗試將一個正數拆分成為兩個正整數的和，在這種情況下，若兩個正數之間的差越小，那么兩個數之間的乘積將會越大，例如，x，y∈ N ，且x+y=c，x-y=d（x≥y），則有xy= c+d 2 × c-d 2 = c2-d2 4 .根據這一結果可知，在d越小的情況下，xy的取值就越大;當d=0時，xy的取值最大.根據這一例題可以判斷均值不等式所要闡述的內容，即：若c不能有效地分解成兩個相等的正數之和時，此時如果d=1，則xy的取值最大.

根據上述研究結論可以判斷，在利用均值不等式解題時，需要將一個正整數分解成為兩個相等或者相鄰的整數和，此時這些數據的乘積最大.那么根據這一思路，在解題過程中，可以利用均值不等式的概念，將一個正整數分解成為若干個正整數的和，并利用不等式的這個特點完成數學例題的解答.

假設有例題：分別用長度為1，2，3，4，5的五根細棒連成三角形（不允許細棒折斷），計算三角形的最大面積.

在上述問題的解題計算過程中，可以假設三角形的半周長為l，則此時三角形面積的計算公式為S= l（l-a）（l-b）（l-c） ，這是因為三角形的周長是一致的，所以三邊長在越接近的條件下，三角形的面積越大.在這種條件的影響下，可以確定三角形的三邊構成應該為：1+4，5，2+3，則計算出三角形的最大面積為 25 3? 4 .

三、結 論

均值不等式在高中例題解題中發揮著重要作用，通過進一步了解均值不等式的概念與使用方法，同學們能夠熟練地掌握均值不等式的特征，并根據數學例題要求情況，有計劃地對問題進行分解與優化，這樣才能在最大限度上幫助學生了解數學問題的解題路徑與手段，加深學生對問題的認識與了解，最終提高問題的解題能力，促進學生數學學習能力的提升.

【參考文獻】

[1]羅仕明，李柳青.對“均值不等式的八種證法”再思考[J].白城師范學院學報，2017（6）：53-59，66.