高階常系數(shù)線性非齊次常微分方程的解法

耿麗芳

【摘要】 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，高階常系數(shù)非齊次常微分方程解法只有幾種.比如，在解決齊次線性方程的時(shí)候所利用的特征代數(shù)方程，在本文當(dāng)中提出了常系數(shù)線性非齊次常微分方程的其他解法，在非齊項(xiàng)是任意連續(xù)函數(shù)的時(shí)候，通過(guò)第二類特征代數(shù)方法的求解過(guò)程，得到求特解的公式，并且通過(guò)實(shí)例對(duì)解法進(jìn)行了系統(tǒng)分析.

【關(guān)鍵詞】 常系數(shù);特征方程;非齊次常微分方程

一、高階常系數(shù)線性非齊次常微分方程解法

常系數(shù)線性非齊次常微分方程的形式如下所示.

x（n）+p1x（n-1）+p2x（n-2）+…+pnx=f（t）. （1）

（一）常數(shù)變易法

可以將方程的特解設(shè)為：

x（t）=c1（t）x1（t）+c2（t）x2（t）+…+cn（t）xn（t）， （2）

c，i均為常數(shù)，將其代入到（1）當(dāng)中，可以得到方程組：

x1c1′（t）+x2c2′（t）+…+xncn′（t）=0，x1′c1′（t）+x2′c2′（t）+…+xn′cn′（t）=0，x（n-2）1c1′（t）+x（n-2）2c2′（t）+…+x（n-2）ncn′（t）=0，x（n-1）1c1′（t）+x（n-1）2c2′（t）+…+x（n-1）ncn′（t）=f（t）.

通過(guò)解方程組，最終得到關(guān)于c1′（t），c2′（t），…，cn′（t）的方程式，將它們積分處理，從而獲得c與i的值，并將它們代入到（2）當(dāng)中，能夠得到方程1的特解.

這種方法不會(huì)限制f（t）的形式，因此，具有比較廣的使用范圍，可是在求解過(guò)程中，工作量相對(duì)較大.

（二）比較系數(shù)法

常系數(shù)線性非齊次方程，我們通常是會(huì)用比較系數(shù)法，它能夠?qū)⑽⒎址匠剔D(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題，自由項(xiàng)是

f（t）=pm（t）eλt

或者是f（t）=[pn（t）cosβt+ps（t）sinβt]eθt，

pm（t），pn（t），ps（t）是m次、n次以及s次多項(xiàng)式.當(dāng)λ，α，β都是常數(shù)的時(shí)候，特解x ～ =tkQm（t）eλt，Qm（t）是待定多項(xiàng)式.或者x ～ =tk[Q（1）m（t）cosβt+Q（2）m（t）sinβt]eαt，m=max[n，s].Q（1）m（t），Q（2）m（t）是兩個(gè)待定的m次項(xiàng)式，而k則是方程含根α±βt次數(shù).

將其代入到方程（1）當(dāng)中，并且比較兩邊t同次冪的系數(shù)，從而確定待定系數(shù)的多項(xiàng)式.按照線性微分方程解結(jié)構(gòu)定理能夠求出方程通解.

（三）創(chuàng)新解法

dny dxn +a1 dn-1y dxn-1 +…+an-2 d2y dx2 +an-1 dy dx +any=Am（x）eλx，? a

其中，ai∈ R （i=1，2，…，n），λ∈C，Am（x）是實(shí)變量x次數(shù)m的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.在對(duì)a進(jìn)行求解的時(shí)候，通常是按照與之相對(duì)應(yīng)的齊次線性方程特征方程特征根和Am（x）eλx特征使用特定待定系數(shù)法加以解決，該方法存在的問(wèn)題在于運(yùn)算量非常大，從而影響計(jì)算過(guò)程，本文所使用的齊次線性方程特征方程、特征多項(xiàng)式、特征根和Am（x）eλx特征，使用這個(gè)公式能夠比較容易地計(jì)算出方程a的特解.

假設(shè)和方程a所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程特征多項(xiàng)式是

F（r）=rn+a1rn-1+…+an-2r2+an-1r+an. b

此時(shí)，特征方程F（r）=0當(dāng)中的r=λ，便是b的特征根.

主要結(jié)果和證明

引理1? b對(duì)r的l階導(dǎo)數(shù)是

F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k rn-l-k， c

∪ i n （i=0，1，2，…，n）為組合數(shù)，在r=λ的時(shí)候，存在

F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k λn-l-k.

引理2? 方程a特解

y（l）（x）=∑ l s=0 ∪ s l λsQ（l-s）（x）eλx

=∑ l s=0 ∪ s l λl-sQ（s）（x）eλx. d

Uin代表了組合數(shù)，Q（x）是實(shí)變量x次數(shù)在m以下的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，s表示s階導(dǎo)數(shù).

引理3??? ∑ n l=0 ∑ l s=0 an-1Uslλl-sQ（s）（x）eλx

=∑ n l=0 ∑ n-l k=0 akUln-kλn-k-lQ（l）（x）eλx.

Uin代表了組合數(shù)，Q（x）是實(shí)變量x次數(shù)在m以下的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.

定理1? 方程a的特解為y=Q（x）eλx的充分必要條件為

1 l！ ∑ n k=0 F（l）（r）Q（l）（x）=Am（x）. e

二、實(shí)例分析

解方程 d2y dx2 +2 dy dx +3y=（x+1）e3x.

解? 特征多項(xiàng)式是F（r）=r2+2r-3，令F（r）=0，根是r=-3，r=1，λ=3不是特征根，所以可以設(shè)特解是（Ax+B）e3x，此時(shí)Q（x）=Ax+B，Q′（x）=A，Q′（x）=0，同時(shí)，F(xiàn)（3）=12，F(xiàn)′（3）=8，F(xiàn)′（3）=2，將其代入到e當(dāng)中，存在F（3）Q（x）+F′（3）Q′（x）+ 1 2！ F′（3）Q′（x）=x+1，也就是12（Ax+B）+8A=x+1，方程的解為A= 1 12 ，B= 1 36 ，因此，特解是 1 36 （3x+1）e3x.

三、結(jié) 語(yǔ)

本文主要介紹了常數(shù)變易法、比較系數(shù)法等高階常系數(shù)線性非齊次常微分方程基本的求解方法，同時(shí)，對(duì)求解方法進(jìn)行了適當(dāng)創(chuàng)新，推出了創(chuàng)新解法，并以此為基礎(chǔ)，列舉了實(shí)例進(jìn)行系統(tǒng)分析，希望能夠?qū)?shí)際應(yīng)用產(chǎn)生一定的推動(dòng)作用.

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