等價變換原則在全等三角形證明中的應用

歐陽雪泳 楊靈娥

【摘要】 全等三角形是研究圖形的重要工具，在初中數學幾何圖形中占有非常重要的地位，是初中生學好數學的基礎.等價變換原則是一種常見且重要的解決數學問題的原則.本文首先對等價變換原則進行說明介紹，然后分類探討等價變換原則在全等三角形證明中的應用，希望能對數學學習與教學方面有一定的借鑒意義.

【關鍵詞】 全等三角形證明;等價變換原則;等價變換原則的應用

全等三角形是研究圖形的重要工具，在初中數學幾何圖形中占有非常重要的地位，是初中生學好數學的基礎.等價變換原則是一種常見且重要的解決數學問題的原則.等價變換原則，簡言之，就是在同一個系統中，保持問題的量或性質不變的前提下，改變問題的形式與條件，一步步地排除無關因素，簡化問題，從而轉化為一個比較容易解決的等價問題，以便更好地指導解決數學問題.熟練掌握等價變換原則的應用將有助于培養學生簡化問題的能力，使解題思路清晰化、明了化，也更好地提高學生數學解題的思維能力，促進學生系統嚴謹的邏輯推理能力的形成與發展.進一步地，如果說“數學地看待世界、解決問題”可被看成“數學素養”的顯性表現，那么我們應當通過數學教學幫助學生學會如何把日常生活中遇到需要解決的繁雜問題進行合理科學地簡單化、清晰化，也即能夠逐步學會想得更清晰、更全面、更深刻、更合理[5].再者，對相關文獻資料的分析和研究得出，目前關于全等三角形證明方面的介紹主要有以下三個方面：介紹運用全等三角形的性質定理的解題策略[3，4，6，7];介紹等量代換的解題方法[8];歸納總結證明三角形全等的題型，并分別從公共邊、角等類型進行了一般解題方法的介紹[2].以上并沒有具體深入地介紹相關的數學思想以及應用原則的指導，所以本文從掌握等價變換的數學思想的角度入手，分類探討等價變換原則在全等三角形證明中的應用.

一、等價變換原則的概念和意義

（一）等價變換

等價變換，是在同一個系統中，保持問題的量或性質不變的前提下，改變問題的形式與條件，通過一步步地排除無關因素，簡化問題，直至變換成某種可以獲解的標準形式或得出所要的結果，從而轉化為一個比較容易解決的等價問題[1].

（二）等價變換原則

運用等價變換的思想去指導解決數學問題的原則，稱為等價變換原則.在數學解題過程中，常常需要通過尋找等價的輔助問題來解題，例如，我們需要解決問題A，可能要直接求出它的解答比較困難，我們可以尋找與A等價的另一問題B.考慮B時，我們又可能聯系與B等價的第三個問題C，如此下去，利用等價變換來改變問題的形式與條件，直到最后得到問題L，其解答為已知或明顯可知的[1].這些等價的問題，往往只是所用的對象不同，而這些對象間存在著某對應關系，使得一切關系和所有運算實際相仿的.

（三）應用等價變換原則的意義

在等價變換原則的指導下解題，有助于向學生提供另一個角度的解題策略，幫助學生把繁復的待解決問題轉化為較為簡明、易于解決或已解決的等價問題，使待解決的問題得到簡化，使解題思路清晰化、明了化;同時通過培養學生的逆向思維的能力，有助于提高和發展學生的數學解題的思維能力，從而促進學生系統嚴謹的邏輯推理能力的形成與發展.

二、例題與思路分析

掌握全等三角形知識在初中數學學習中十分重要，它可以使學生掌握一些基本的推理技能，建立空間觀念，并且促使學生多角度思考問題，充分挖掘與提升學生的幾何素養和數學思維能力.

全等三角形的證明貫穿于本文例題的解決過程中，以三角形的基本元素來區分，分別以三邊之間的關系和三角之間的關系來進行分類討論，旨在為理解、掌握如何有效應用等價變換原則解決全等三角形的證明等題型提供思路和方法上的引導.

（一）三邊之間的關系

1.證明線段平行

證明線段平行，需要結合已知條件和平行線的判定定理進行分析，利用性質定理改述原問題[1]，從而改變問題的形式與條件，轉化為易求證的等價的輔助問題，以達到簡化問題的目的.

例1?? 如圖1所示，AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD.求證：DC∥AB.

分析? 要證DC∥AB，需要利用平行線的判定定理，結合已知圖形，判斷出可以利用平行線的判定定理中的“內錯角相等，兩直線平行”;要證內錯角相等，觀察圖形可知內錯角在兩個三角形中，而且根據題目條件OA=OC，OB=OD和圖形中隱含的對頂角相等，這時我們把問題轉化為易求證的△ODC≌△OBA的等價問題.

證明? 在△ODC和△OBA中，

∵OC=OA，∠DOC=∠BOA，OD=OB，

∴△ODC≌△OBA（SAS），

∴∠CDO=∠ABO（或∠DCO=∠BAO），

∴DC∥AB（內錯角相等，兩直線平行.）

2.證明線段相等

分析已知條件，如果待求證線段分別位于兩個三角形中，而且題目提供的條件有利于全等三角形的證明，那么我們可以利用邏輯關系改述原問題[1]，把問題轉化為易于解決的證明線段所在的兩個三角形全等的等價問題，使解題思路清晰化、明了化.

例2?? 如圖2所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點.∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F.試證明AE=EF.

分析? 觀察圖形可知，AE和EF分別在Rt△ABE和△ECF中，要證明線段相等，可以通過證明線段所在的三角形全等，顯然Rt△ABE和△ECF不全等.考慮到點E是邊BC的中點，因此，可以選取AB的中點M，連接EM后，嘗試去證明△AEM≌△EFC.

證明? 如圖3所示，取AB的中點M，連接EM.

∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°.

又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC.

∵點E、M分別為正方形的邊BC和AB的中點，

∴AM=EC，BE=BM.

從而可知△BME是等腰直角三角形，∠BME=45°，

∴∠AME=135°.

∵CF是正方形外角的平分線，∴∠ECF=135°，

∴△AEM≌△EFC（角邊角），∴AE=EF.

說明：要證明線段AE=EF，把問題轉化為等價的證明線段所在的兩個三角形全等的問題;在繁復的三角形全等證明的過程中，把問題繼續轉化為等價的對應角相等，對應邊相等的問題.在證明對應角相等的問題時，涉及先證兩個角和另外一個角的和相等，從而得出這兩個角相等的較簡明的等價問題.

3.證明線段的和差關系

在三角形中，借助“截長”或“補短”的等價變換都可實現原問題向更容易解決的等價問題的轉化.

截長法：在長線段中截取一段等于另外兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另外一條;補短法：將一條短線段延長，延長部分等于另外一條短線段，然后證明延長后的新線段等于長線段.

例3?? 如圖4所示，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2.求證：AB=AC+CD.

分析? 從結論分析，“截長”或“補短”都可實現原問題向更容易解決的等價問題的轉化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.在這里只說明補短法的證明.

證明? 如圖5所示，延長AC到E，使CE=CD，則∠CDE=∠CED.∴∠ACB=2∠E.

∵∠ACB=2∠B，所以∠B=∠E.

在△ABD與△AED中，∠1=∠2，∠B=∠E，AD=AD，

∴△ABD≌△AED，AB=AE.

又AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD.

說明：這兩種方法都是遵循了等價變換原則：把要解決的問題等價轉化為易解決的問題.在補短法中，具體體現在把要證的AB=AC+CD等價變換為求證△ABD≌△AED;在截長法中，具體體現在把要證的AB=AC+CD等價變換為求證△AFD≌△ACD，FD=FB.

（二）三角之間的關系

1.證明兩角相等

對已知條件進行分析后，得出待求證的兩角分別位于兩個三角形中，可以通過把問題轉化為易求證的等價的輔助問題——證明兩個三角形全等，以求出對應的兩角相等，使解題思路清晰化、更具有方向性.

例4?? 如圖6所示，AB平分∠CAD，AC=AD，求證∠C=∠D.

證明? ∵AB平分∠CAD，

∴∠CAB=∠BAD.

在△ACB和△ADB中，AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB，

∴△ACB≌△ADB（SAS），∴∠C=∠D.

2.角的和差關系

分析已知條件，利用邏輯關系改述原問題，把待求證的角等價變換為已知的或易求得的角，使得問題得到等價的簡化.一環接一環的，通過不停地尋找并解決等價輔助問題，從而逐步地解決原問題.在此過程中，要關注新問題與原問題間的等價性[1].

例5?? 如圖7所示，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證∠A+∠C=180°.

?分析? 在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，要證∠A+∠C=180°，條件不足，如果不作任何輔助線構造新的圖形，本題是很難解答出來的.那么，我們應該如何構造新的圖形，把問題轉化為更容易解決的等價的問題呢？已知條件都分布在兩個三角形中，所以需要作輔助線構造全等三角形.

證明? 如圖8所示，在BC上截取BE，使BE=AB，連接DE.

∵BD是∠ABC的角平分線（已知），

∴∠1=∠2（角平分線定義）.

在△ABD和△EBD中，

∵AB=EB（已知），∠1=∠2（已證），BD=BD（公共邊），

∴△ABD≌△EBD，

∴∠A=∠3（全等三角形的對應角相等），

AD=ED（全等三角形的對應邊相等）.

∵AD=CD（已知），AD=ED（已證），

∴ED=CD（等量代換），∴∠4=∠C（等邊對等角）.

∵∠3+∠4=180°（平角定義），∠A=∠3（已證），

∴∠A+∠C=180°（等量代換）.

說明：以上的證明過程中，由已知條件得出∠1=∠2，AD=CD，在BC上截取BE，使BE=AB，作輔助線DE.要證∠A+∠C=180°，需要尋找等價的輔助問題——先證∠A=∠3，以及∠4=∠C.要證∠A=∠3，繼續尋找等價輔助問題——先證明∠A和∠3所在的兩個三角形全等，而且根據已知條件，該等價的輔助問題較易于解決.由得出的△ABD≌△EBD的結論，得到上一個問題的解決——∠A=∠3;可以進一步得到AD=DE，繼續由已知條件得出DE=DC，等量代換得到要證的∠4=∠C;接著觀察圖形由∠3+∠4=180°，最終得到原問題的解決.這一道題，整個過程貫穿著等價變換原則的運用，把要解決的無法直接求出的原問題A，通過不斷地尋找等價的易于解決的輔助問題L來解題，每一個輔助問題都與前一個問題等價，最后一個問題L也必定和原問題A等價[1].運用等價變換原則解題能夠有效地把繁復的不易于解決的問題轉化為較簡明的易于解決的等價問題，從而實現逐步地降低題目的難度，使原問題更容易地得到解決.

三、結束語

用等價變換原則指導解題的過程，實質上是把繁復的問題轉化為較簡明的等價問題的過程.問題分析的過程中形成了一個等價輔助問題鏈[1]：

鏈中的每一次變換，或使問題得以簡化、或使問題易于處理.解答的過程，只要把這個順序顛倒過來，逐個敘述就可以了.

總之，在教學全等三角形的證明時，教師首先應該幫助學生熟練掌握判定定理，在此基礎上，根據學生的實際學情，引導學生審題讀圖，從分析條件、結論入手[4]，遇到不能直接證明或欠缺條件的證明題時，引導學生應用等價變換原則來理清證明思路，最后，教師可以通過示范，教會學生如何把應用等價變換原則推導而得的證明思路用標準的幾何語言有條理地、規范地把證明過程書寫出來.同時，教師應教會學生歸納總結解題策略，反思解題過程，不斷積累數學解題的思維經驗，力求舉一反三，做到“做一題，通一類，會一片”[4].

進一步地，如果說“數學地看待世界、解決問題”可被看成“數學素養”的顯性表現[5]，那么我們應當通過數學教學幫助學生學會如何把日常生活中遇到需要解決的繁雜問題，合理科學地進行簡單化、清晰化，也即能夠逐步學會想得更清晰、更全面、更深刻、更合理.

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