分離法解決幾何問題

劉東莉

【摘要】 在平面幾何的學習中，幾個基本圖形就可以組合成一個復雜圖形.反之，要在一個復雜圖形中進行推理論證，我們往往可以把它分離成幾個基本圖形，采用各個擊破的方法，這樣就可以使復雜問題簡單化.

【關鍵詞】 分情況;復雜圖形;分離;抽取;基本圖形

在平面幾何的學習中，幾個基本圖形就可以組合成一個復雜圖形.反之，要在一個復雜圖形中進行推理論證，我們往往可以把它分離成幾個基本圖形，采用各個擊破的方法，這樣就可以使復雜問題簡單化.這種“分離法解決幾何問題”是一種行之有效的數學學習方法，下面我們舉例來說明這種方法.

例1?? 如圖1所示，已知AB∥CD，你可以得出哪些結論？并加以證明.

分析? 這是一道開放性題目，圖形比較復雜，到底能得出哪些結論學生會比較困惑，在AB∥CD這種情況下，我們把它分成五種情況，根據這五種情況可分離出五種圖形，如圖所示：

（1）以AD為截線如圖2所示，則可得出∠DAB+∠ADC=180°;

（2） 以AE為截線如圖3所示，則可得出∠EAB+∠AEC= 180°或∠DEA=∠EAB;

（3） 以AC為截線如圖4所示，則可得出∠DCA=∠CAB;

（4）以CF為截線如圖5所示，則可得出∠DCF+∠CFA=180°或∠DCF=∠CFB;

（5）以CB為截線如圖6所示，則可得出∠DCB+∠CBA=180°.

? 例2?? 證明：兩平行直線被第三條直線所截，同位角相等.

已知：如圖7所示，直線AB∥CD，∠1和∠2是直線AB、CD被直線EF截出的同位角.

求證：∠1=∠2.

教材中應用了反證法.證明如下：

證明? 如圖8所示，假設∠1≠∠2，那么我們可以過點M做直線GH，使∠EMH=∠2，

根據同位角相等，兩直線平行，可得到GH∥CD.

又因為AB∥CD，這樣經過點M存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行.

這與“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”這個基本事實相矛盾.

這說明假設∠1≠∠2是不成立的，所以∠1=∠2.

分析? 此題用反證法學生普遍感到比較難理解的原因在于：其一反證法學生第一次接觸，前面沒有相應的基礎，無從入手;其二圖8是兩個圖形糅合在了一起，圖形復雜，使學生看起來眼花繚亂，就更談不上證明思路了;其三明明是AB和GH都和CD平行，而給我們的視覺感受GH又明顯不與CD平行.基于以上三點給學生造成了很大的困擾，為解決這個難題筆者采用的辦法是“分離法”，將圖8分離成兩個圖形圖9和圖10.

對于圖9假設∠1≠∠2，但已知直線AB∥CD.

對于圖10既然∠1≠∠2，我們可以過點M做直線GH，使∠EMH=∠2，根據同位角相等，兩直線平行，可得到GH∥CD.

由圖9和圖10兩個圖形我們可以清楚地看到經過點M存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行.

這與“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”這個基本事實相矛盾.

這說明假設∠1≠∠2是不成立的，所以∠1=∠2.

例3?? 如圖11所示，矩形ABOC的頂點A的坐標為（-4，5），D是OB的中點，E是OC上一點，當△ADE的周長最小時，求點E的坐標.

?分析? 此題難度很大，首先需要確定點E的位置，如圖11所示，在△ADE中，AD的長度固定要使周長最短只需AE+ED最短.

圖11中E點的位置不固定，我們無法解決問題，為此我采用的方法仍然是“分離法”從圖11中抽取出了圖12，在圖12中已知兩點A，B在y軸上找一點E使AE+ED最短.這樣就從復雜圖形中抽取出了學生非常熟悉也非常容易解決的基本圖形——兩點一線，求距離之和最短問題.

解題思路如圖13所示，作A點關于y軸的對稱點A′，連接A′D交y軸于點E，則點E就是所求作的點.用待定系數法求出A′D的表達式，再求出與y軸的交點坐標即可.

以上筆者從三個實例入手解析了分離法在解決平面幾何問題中的優越性，希望對廣大師生有所幫助.