光和引力波專題Ⅰ
——廣義相對性原理、光速不變原理及引力論

王雯宇 許 洋

(北京工業大學應用數理學院，北京 100124)

1 背景

2016年2月11日LIGO團隊宣布成功探測到了引力波的現象，2017年的諾貝爾物理獎授予了對探測引力波作出重要貢獻的雷納·韋斯、巴里·巴里什和基普·S·索恩3人。在此之后2017年8月17日，LIGO和Virgo探測器又分別探測到了一個持續時間為100s左右的新引力波信號。在該引力波信號到達后大約1.7s，美國國家航空航天局(NASA)費米衛星搭載的伽瑪暴監測器(GBM)、歐洲INTEGRAL和中國紫金山天文臺等世界各地的多家天文臺都探測到了一個暗弱的短時標電磁伽馬射線暴。2017年10月16日多國天文學家同時宣布了這一消息，引起了世界的轟動，這也標志著以多種觀測方式為特點的“多信使”天文學進入一個新時代[1]。引力波是廣義相對論預言中的重要現象。在相對論創立100余年后，引力波的觀測再次驗證了愛因斯坦引力理論。在廣義相對論中，引力波的速度是真空中的光速。為什么引力波速與真空電磁波速度相同？這并不是一個簡單的問題。因為光速是由真空麥克斯韋方程組得到的，這是一個純粹的電磁理論的結果。廣義相對論中，引力波是時空度規的震蕩，也就是通常所說的時空彎曲的漣漪，這是一個關于時空的理論。為什么時空度規的引力波要以真空電磁波的速度來傳播？如果讀者對廣義相對論不是很熟悉的話，是很難說清楚這一點的。

現代物理的一個重要基礎就是相對論理論，該理論又分為狹義相對論和廣義相對論兩部分。狹義相對論以相對性原理和光速不變原理為出發點，系統地描述了慣性系中的力學和電磁學現象。廣義相對論處理的是引力存在時的經典力學系統。愛因斯坦提出了等效原理，即時空局域一點的引力場可用相應的局域非慣性參考系去描述，而各個局域慣性參考系的關系由愛因斯坦場方程聯系起來，這樣就將引力問題等同于時空的幾何問題。黎曼幾何恰當地描述了廣義相對論。在高等物理教學中，狹義相對論通常是必修的重要課程，許多物理理論都需要用到狹義相對論的基本概念。廣義相對論理論由于其物理效應相對其他理論來說，應用較少，通常放在擴展閱讀中由學習者自由選擇。很多不從事理論物理研究的學者對廣義相對論了解較少，特別是狹義相對論和廣義相對論之間的關系是什么，等效原理中光速是否還能保持不變等。很多物理學的擴展閱讀并沒有說清楚。因此做一個狹義相對論和廣義相對論之間關系的簡單介紹是必需的。

討論引力波速和光速之間的關系其實也是一個前沿的科學問題。在平直時空電磁理論中，由于電磁介質的存在，電磁波的速度是可以低于真空中的光速的，比如玻璃中的光速就小于真空中的光速。因此要做到引力波的速度和光速不同是很容易的，那就是時空充滿某種電磁介質，此時電磁信號的傳播速度就與引力波速(真空光速)不同了。那么介質存在時電磁理論和引力理論的具體形式是什么？怎么區分引力波速和光速是需要做深入研究的。本文作者在文獻[2]中就討論了平直時空介質存在時的協變麥克斯韋方程組的形式。介質中的電磁波速低于真空中的光速，而且是相對論協變的。如果要處理引力波問題，則需要把該理論再做進一步的推廣，把介質電磁理論推廣到引力存在的情況。其實純粹的引力理論也需要考慮是否有類似電磁理論中介質存在的情況，引力波速會不會也因此而改變，這是一個非常有意思的問題。

基于以上考慮，本專題試圖盡量淺顯地介紹廣義相對論引力理論，特別是廣義相對論和狹義相對論之間的關系。然后討論介質存在時電磁和引力理論，最后再研究一下光速和引力波速不同的情況。論文分為兩篇。第一篇主要討論經典廣義相對論引力的原理、理論及其檢驗。文中第2節討論廣義相對性原理、光速不變原理以及時空坐標的理解，第3節簡介引力論的具體內容以及檢驗。第4節給出本篇的小結。第二篇主要討論介質存在時的電磁理論與引力理論，重點討論電磁波與引力波速度的異同和引力場方程以及弗雷德曼方程的修正。文中需要用到的黎曼幾何知識也在第二篇附錄中給出，正文將主要關注物理理論。

2 等效原理、廣義相對性原理和光速不變原理

談到引力，人們首先會想到的是牛頓萬有引力理論。雖然與廣義相對論一樣都是描述引力，但是二者存在本質的區別：萬有引力是絕對時空觀下力的平方反比定律，簡潔卻有著清晰的理論預言；廣義相對論則是一個關于度規的理論，其核心思想是四維時空引力幾何化，即引力的作用等同于時空的彎曲。為什么愛因斯坦要把萬有引力推廣為廣義相對論理論呢？這是因為狹義相對論很好地處理了電磁場、牛頓力學在不同慣性系之間的變換問題。慣性系電磁場、牛頓力學都可以修改為狹義相對論洛倫茲協變的形式。而仔細分析萬有引力理論就可以知道，它是很難寫成洛倫茲協變形式的。為此愛因斯坦就提出了等效原理，把引力幾何化，成功地得到了洛倫茲協變引力理論。因此討論廣義相對論之前，必須說明廣義相對論的等效原理，以及它與狹義相對論理論之間的關系。狹義相對論理論源自兩個原理：相對性原理，即物理方程在不同的慣性系中形式不變；光速不變原理，即光在真空中的傳播速度為一個常數。在等效原理的指導下，相對性原理和光速不變原理的具體內容都有所修正，這正是廣義相對論理論的出發點。具體情況在下面兩小節中做出說明。

2.1 等效原理與廣義相對性原理

廣義相對論是一個協變的引力理論，理論基礎是等效原理。等效原理的表述為：物體的慣性質量和引力質量相等，慣性力與引力的動力學效應局域不可分辨。這實際上初步建立了引力與幾何之間的橋梁，引力幾何化的思想正源自于此。通常的例子就是，在一個加速下降的電梯里面，人無法區分地球的吸引與電梯的加速。為了理解它的物理內涵，我們可以考慮一個在地球引力勢

(2.1)

中的自由下落的質點。其中，M是地球的質量，G是牛頓萬有引力常數。根據牛頓力學，它的運動方程是

(2.2)

其中，g代表地球表面的重力加速度，假設其為一個常矢量；mI,mG分別表示慣性質量與引力質量。如果mI=mG，那么求解運動方程得到

(2.3)

這是一個非常簡單的描述地球引力的例子(自由落體)，它表示在引力場中某個靜止的觀察者A看到的質點運動情況。然而，如果換到某個與質點共同自由下落的慣性系B(隨動坐標系)，即對式(2.3)做非線性坐標變換：

(2.4)

這表示A參考系承受著的一個

F=-mIg

的慣性力。現在式(2.3)在隨動坐標系B下表述為

(2.5)

這是一個不受外力的質點的運動方程。我們發現在觀察者A看來的引力相互作用，在慣性系B中則表現為不受任何相互作用，這說明我們可以通過坐標變換將引力的作用局域消除。注意，以上坐標變換只有在重力加速度g為一常數時才成立，這即是等效原理中“局域”的意思。當重力加速度g是時間與空間的函數時，則需要做一個更加復雜的非線性變換。

既然引力的效果可以被局域得消除，那就可以放棄“力”的觀點，將動力學問題轉化成運動學問題，這就是引力的幾何化思想。根據式(2.5)可以看出，不受力的物體，在歐幾里得空間中的自由運動是直線，這其實對應著歐幾里得幾何中的測地線，也即兩點之間的短程線。根據相對論理論，現實的時空并不是滿足歐幾里得幾何，而是由黎曼幾何(要點見第二篇附錄)來描述的，而且時間空間是一體的。物體在引力作用下的動力學方程就等價于黎曼幾何中的測地線方程。因此，引力的問題就被引入到了時空幾何的研究范疇中，黎曼幾何中的測地線和曲率是廣義相對論理論的重要概念。下面分析彎曲時空測地線的具體表達形式。

為了求得一般坐標系下的測地線方程，根據等效原理，首先要將引力消除，得到一個不受外力的自由運動方程

(2.6)

其中，τ是固有時(粒子靜止參考系中粒子所處位置經歷的時間)，

(2.7)

是固有速度(與坐標速度不同，后文詳細說明)。注意一般坐標系中μ指標為零表示時間維度，其它數值(1,2,3)表示空間維度，此時的速度可以是三維速度，也可以是四維速度。對式(2.6)做一個坐標變換

x→x′

(2.8)

結果為

(2.9)

在計算中我們采用了相同指標求和的約定(下同)。其中，

(2.10)

稱為聯絡[3]，這是描述彎曲時空幾何的一個重要概念。利用固有速度式(2.7)的定義，方程(2.9)的另外一種形式為

(2.11)

若坐標變換是線性的，則二階偏導項為零，聯絡為零。因此聯絡代表著坐標變換的非線性性質。式(2.9)和式(2.11)就是黎曼幾何的測地線方程，它描述了經過一般坐標變換后的引力場的運動方程。測地線方程也可以由拉格朗日量得到，取

(2.12)

作為拉格朗日量。其中，gμ ν是度規張量，刻畫了時空彎曲的性質，其幾何意義在第二篇附錄中有較詳細的說明，后文我們還要討論其物理意義。由變分原理得到的歐拉-拉格朗日方程即是測地線方程(2.9)，具體過程也可以參看第二篇附錄。另外需要注意的是，以上速度定義中的求導都是對粒子固有時間的導數，對于光子或者其他無質量粒子，無法定義固有時間，因此應該換成對另外的某個參數(比如隨動坐標系中的時間坐標σ)的求導，相同的坐標變換也可以得到類似的運動方程

(2.13)

此時

(2.14)

聯絡的定義不變。

基于等效原理，我們就知道引力存在時，時空可以看作是彎曲的，引力作用下物體的運動是彎曲時空的測地線。相應地，物理理論就應該修改為以彎曲時空為背景的理論。那么具體的物理理論比如電磁理論、牛頓力學等應該做怎樣的修改才能成為一個彎曲時空的理論？此時可以回到構建狹義相對論理論的邏輯歷程。狹義相對論理論開始于相對性原理和光速不變原理。相對性原理表明物理規律在所有的慣性系中的形式都是一樣的。等效原理表明，引力局域等效于非慣性系，非慣性系可以非線性變換為慣性系。那么相對性原理就可以做這樣的推廣：物理理論在任意的參考系形式都是不變的，即物理規律不僅在慣性系間的洛倫茲變換下是協變的，而且在任意坐標變換下都是協變的。這就是廣義相對性原理。如何具體表達廣義相對性原理呢？廣義相對性原理要求的結果就是描述物理規律的方程必須是一個張量方程。就像狹義相對論中，物理量可以寫成四維矢量或者張量形式一樣，張量形式是不依賴于坐標系選擇的。張量方程只要它在一個坐標系中成立，那它就在所有的坐標系中都成立。在狹義相對論中，根據洛倫茲變換性質定義了張量和旋量。洛倫茲變換是一種線性坐標變換。在廣義相對論中，就可以做以下推廣：在任意坐標變換下定義相關物理量的張量形式，由這種廣義協變張量形式物理量重新構建物理方程。這樣物理方程在任意坐標變換下都是協變的，也就自然滿足廣義相對性原理了。

事實上，廣義相對性原理沒有說明方程應該怎么寫，它只表明方程應當是一個廣義協變的張量方程。這里注意區分協變性與不變性。協變性實際上是對物理方程的形式要求，原則上任意一個不協變的方程都可以通過一些技巧把它寫成協變的[4]。相比協變性，方程的不變性則對方程的內容施加了限制。在量子場論中，可以依據場在洛倫茲變換下的不變量寫下相應的拉格朗日量，因此洛倫茲變換不變性的要求決定了拉氏量中各項的具體形式。依據等效原理與廣義協變性，就可以建立起通過幾何描述引力的一般方程。不止是引力，牛頓力學、電磁學都可以通過廣義相對性原理表述成廣義協變形式。在這之前，先應了解廣義相對性原理給物理方程施加了哪些限制。

廣義協變性最直接的要求即是方程中只允許出現張量。我們可以根據廣義協變性定義一個一階張量Aμ，它在廣義坐標下的變換法則是

(2.15)

其中，x′α是另外一個坐標系；A′α是在x′α坐標系的張量，其中

(2.16)

表示某一坐標變換。滿足這種變換法則的一階張量Aμ稱為逆變矢量。若一階張量Aμ的變換法則為

(2.17)

則稱Aμ為協變矢量。逆變矢量和協變矢量之間的通過度規相聯系

Aμ=gμ νAν,Aμ=gμ νAν

(2.18)

二階、三階以及高階張量也做類似定義。由這種方式定義的張量Aμ可以是長度、電磁場等物理量。這樣定義的張量自然是變換協變的。物理方程中，由非線性變換造成的改變在于張量的導數項。比如張量Aμ的一階導數項?νAμ。廣義坐標變換后，一階張量的簡單微分并不能給出一個二階張量。我們需要對式(2.17)兩邊取微分

(2.19)

上式等號右邊第一項的存在使得一階張量的普通導數不是張量。這是因為廣義坐標變換是一個任意的坐標變換，廣義的坐標變換不能保證等號右邊第一項為零。廣義相對性原理的關鍵——不存在一個特殊的參考系，要求所有坐標系都是等權的。因此物理方程不能使用普通導數。把物理理論推廣為引力存在時彎曲時空的情況，則需要將普通導數?μ替換為協變導數μ。所謂協變導數就是μAν的坐標變換為

(2.20)

根據黎曼幾何，協變導數的具體形式為

(2.21)

Aν的協變導數則用分號表示，即

F=ma

(2.22)

首先將其寫為張量形式，

(2.23)

其中μ指標可以是三維空間指標1,2,3，也可以是四維時空坐標0,1,2,3。如果是四維時空，F0是相對論四維力的零分量(低速情況即功率)，其中

(2.24)

是加速度。由于dxμ是一個矢量，dτ是固有時微元，因此速度uμ是一個矢量。但是彎曲時空中duμ就不是一個矢量了，因此加速度不是一個廣義協變的矢量。對方程(2.23)變形

(2.25)

將以上方程(2.25)與測地線方程(2.9)對比發現，力Fμ[6]可以定義為

(2.26)

(2.27)

該項減去方程(2.25)右邊的Fμ項剛好就湊成了協變導數ν，即

(2.28)

這樣得到廣義協變的牛頓力學方程

uννuμ=0

(2.29)

這就是式(2.11)。也就是說，牛頓力學方程變成了彎曲時空的極短路徑的運動方程。這正是等效原理的體現。再次強調，這里牛頓力學方程可以是三維的力學方程，也可以是四維時空的力學方程，只要引力幾何化就可以，下節將更詳細的說明此點。

經典電磁學用麥克斯韋方程組來描述。方程組是自然狹義相對論洛倫茲協變的，其協變形式為

其中，Fμ ν是電磁場張量；jν是電流。可以看到，方程都是對坐標的一階導數，所以彎曲時空的電磁理論的推廣很簡單，就是把普通導數替換為協變導數即可。因此彎曲時空的真空麥克斯韋方程組形式成為

關于彎曲時空電磁理論的具體內容在第二篇論文中再做說明。

綜上，將物理規律推廣至引力存在彎曲時空理論的方法就是，把普通導數替換為協變導數，方程就具有了廣義協變的形式。這就是廣義相對性原理。

圖1 二維曲面圓周運動等效于極坐標直線運動

2.2 廣義光速不變原理

上節描述了等效原理和廣義相對性原理，根據這兩個原理，原則上所有理論都可以寫成彎曲空間的理論。是否廣義相對論已經建立完成了呢？不是這樣的。狹義相對論中，除相對性原理之外，還需要光速不變原理才能構建完整理論。光速不變原理要求不同慣性系中保持真空中光速不變。由此才能得到洛倫茲變換和狹義相對論時空觀等理論。在廣義理論中，相對性原理要求把理論寫成一個彎曲時空廣義協變的形式。而彎曲時空具體形式是什么，廣義協變性并不能給出指導。也就是說，根據上節的方法，物理理論可以在任意的坐標變換下都可以寫成協變形式。協變導數中需要用到的聯絡也沒有明確的限制。

顯然，如果要得到廣義相對性理論，光速不變原理也要推廣為廣義形式。有讀者會認為，四維時空張量的固有間隔ds2(后文詳述該物理量定義。)是一個標量，廣義相對性原理要求張量坐標變換不變，那不就可以得到光速不變的要求了么？其實不是這樣的，上節說明的廣義相對性原理時，我們一再強調彎曲時空可以三維的，也可以是四維的。即可以拋開時間一維，構建一個三維彎曲空間廣義協變的理論，滿足絕對時空觀和廣義相對性原理，而不滿足光速不變原理。光速不變原理則要求必須構建一個時空一體的閔氏時空，由黎曼幾何表達的物理理論。為了說明這一點，下面舉一個絕對時空兩維彎曲面廣義理論的例子。

如圖1(a)所示，一個質量為m的行星圍繞中心天體作勻速圓周運動，軌道半徑為ρ0，角速度為ω。行星在一個平面內運動，這就是一個二維系統。根據牛頓第二定律，在直角坐標系中其動力學方程可以寫為

其解可以寫為

行星軌跡是一個圓，它的速率為

這就是牛頓力學描述的平面圓周運動，加速度ω2ρ0歸因于萬有引力的作用，此時空間是平直的。

根據等效原理，平面上的勻速圓周運動就是一個二維彎曲面上的測地線，式(2.34)(2.35)可以寫成彎曲空間中的運動方程。此時彎曲面的度規、聯絡的具體形式是什么呢？這暫時是不清楚的。如圖1(b)所示，可以做一個坐標變換將直角坐標(x,y)轉化至極坐標系(ρ,φ)，

在極坐標系行星的運動方程非常簡單

也就是說，極坐標系中，行星做ρ為常數，φ勻速變化的運動，類似于平面內的勻速直線運動。注意這是一個絕對時空觀描述的運動，時間是獨立參量，與空間無關。此時(ρ,φ)坐標系的度規是什么也不清楚，但是由于已經知道了坐標變換式(2.40)和式(2.41)，根據式(2.10)可以計算聯絡，我們已經可以根據彎曲空間張量理論重新理解(x,y)空間的運動了。(ρ,φ)坐標系測地線方程為

此時萬有引力幾何化，空間是平直的。(x,y)空間運動的形式可以由坐標變換式(2.40)、(2.41)的逆變換

來得到。將極坐標系轉化至笛卡爾坐標系中。此時測地線方程為

(2.48)

根據聯絡的定義式(2.10)和坐標的正逆變換，可以得到

將行星速率的表達式(2.38)、(2.39)以及聯絡分量的表達式代入至測地線方程(2.48)中，讀者可以驗證，運動方程就回到了

(2.52)

y的運動方程推導與此類似。這一方程與牛頓第二定律得到的動力學方程(2.34)形式相同，但是意義卻完全不同。在方程(2.34)中，等號右邊的項(-ω2x)是萬有引力導致的加速度，空間是平直的，而式(2.52)左邊ω2x是幾何量，空間是彎曲的，引力的效果被彎曲空間效應所替代。(x,y)空間度規不再是一個常量矩陣，其具體形式是什么，這就牽涉到下節要研究的引力場方程，這里先不討論。

以上二維彎曲面運動方程(2.52)就是測地線方程，亦即式(2.29)的三維表述形式。它是滿足廣義相對性原理的，這說明萬有引力定律是可以寫為彎曲空間中廣義協變形式的。以上方程也都滿足伽利略變換，因此一個無限大的速度在絕對時空觀下是允許的。從這個例子可以看出，光速不變原理是不能拋棄的。光速不變要求時空一體，四維時空的固有間隔ds2不變，這樣才能建立符合真實物理世界的相對論理論。由于時空彎曲，固有間隔ds2、時空度規gμ ν和聯絡之間的關系很復雜，下面做具體的說明。

彎曲時空的的性質由每個時空度規gμ ν來刻畫。根據等效原理，局域一點都可以做一個坐標變換變為一個平直時空。局域平直時空光速不變導致的不變量就是四維時空固有間隔ds2，它表示兩時空點之間的不變距離，在任何度規下都為一標量。ds2由度規張量gμ ν確定，即

ds2=gμ νdxμdxν

(2.53)

注意，基于以上廣義光速不變原理的討論，相對論理論中希臘字母如μ就必須取四維時空坐標0,1,2,3了。由于dxμdxν關于μ、ν指標對稱，在本文中我們假設度規張量gμ ν是對稱的，即gμ ν=gν μ。度規張量非對稱的情況，具體可以參考文獻[7]。在四維時空中，對稱的度規張量一般有10個分量，它們完全確定了時空的幾何性質。度規張量有著非常豐富的物理內容，對度規張量各個分量的檢驗將直接驗證引力的效果。下小節將說明度規分量的物理意義。

另外一個重要的量dτ稱為固有時，它與時空間隔的關系是

ds=cdτ

(2.54)

其中c代表真空中的光速，在本文中采取自然單位制，即c=1，這樣簡化之后有

ds=dτ.

(2.55)

式(2.53)也可以寫為

dτ2=gμ νdxμdxν

(2.56)

兩邊同時除以dτ2，就得到一個恒等式

(2.57)

時空間隔與固有時是描述廣義光速不變原理的重要物理量。同時，引入了度規之后就可以定義該時空中的面積、體積等幾何量了。而這些幾何量相對于閔科夫斯基時空的偏離正是引力場的效果。這一點使得對廣義相對論的檢驗變得更加直觀，因此有著清晰而豐富的物理內涵。

根據黎曼幾何，可得到聯絡和度規的關系。如四維時空間隔dτ2不變，即

βgμ ν=0

(2.58)

將上式用聯絡寫開，根據黎曼幾何

(2.59)

上式是由聯絡表示度規的方法。反過來，也可以用度規表示聯絡。為此把上式中的指標μ、ν、β循環排列，得到

將式(2.60)與式(2.61)相加并減去式(2.59)，經化簡，得到

(2.62)

這就是四維時空由度規計算聯絡的公式，該聯絡稱為克里斯多夫聯絡。注意在廣義相對論中，聯絡的下指標是交換對稱的。聯絡不對稱(撓率不為零)的情況不屬于本文討論范圍。

在某個確定度規彎曲空間中，度規與度規一階二階導數可以組成的張量為黎曼曲率張量，其形式為

(2.63)

該張量確定了時空彎曲的具體性質。另外還可以對黎曼張量進行指標縮并得到里奇張量和標量

這些量的幾何定義都在第二篇附錄中，這里就不詳細說明了。在廣義相對論引力理論中，里奇張量和標量有重要的應用。

在等效原理的指導下，本節推廣了相對性原理和光速不變原理，由此就可以建立廣義相對論了。后文的關于度規gμ ν的廣義相對論引力論就是以上原理的直接結果。但是僅在等效原理的指導下，已經可以理解很多引力物理的內涵了，特別是關于引力存在時坐標系和時間膨脹，尺子收縮等相對論時空觀效應的理解，下面專門用一小節來進行說明。

2.3 坐標系與時空觀

狹義相對論改變了我們對時間和空間的理解。不同慣性系之間的變換，時間和空間的測量都會發生改變，因此在相對論理論中，參考系以及參考系之間的變換尤為重要。物理學中，為了確定物體的運動，首先要選擇一個參考系。第一步就是選定一個物體，認為它是靜止的。然后以此為參照，在空間布滿靜止尺子測量每個點的空間坐標；在每個空間點放一個時鐘，測量當地的時間坐標。絕對時空觀認為時間和空間是相互獨立的，所以時間空間的測量不會因參照物的改變而改變。相對論理論中，以上定義的參考系的意義就需要特別注意。參考系就是數學中常用的坐標系，物理學的時空坐標系有4個參數(t,x,y,z)，相對論理論中通常取xμ指標μ為(0,1,2,3)來表示。狹義相對論處理的慣性參考系，問題相比于非慣性系或者引力存在情況就簡單很多。空間布滿靜止尺子測量顯示的數值就是空間坐標，這個空間坐標就稱之為固有距離或者固有長度。每一個地點時鐘顯示的時間就是當地的時間值，也就是固有時。當然，全空間的時鐘是需要對齊的，這就是相對論中“對鐘”的概念。在沒有探測到引力波之前，人類對鐘所使用的相互作用只有電磁相互作用。這種情況下，物理學上能夠確定的是所謂的“雙程光速”“單程光速”不變只能作為假設，因而狹義相對論的各種修改版本其實無法實際實驗檢驗。當有了引力波探測之后，原則上人類又有了新的對鐘手段，相對論如何修改是一個很大的課題，具體內容讀者可以參考文獻[8]、[9]。當對鐘之后，每個地點的固有時就是當地的坐標時間。以上是慣性系的坐標的定義，讀者也許會覺得有點多余。但是根據上文的等效原理就會知道，當引力存在時，問題就變得麻煩了。首先需要明確的就是，每個靜止的尺子顯示的不是空間坐標值，而是當地的固有距離；每個點的時鐘顯示的也不是時間坐標值，而是當地的固有時。這點有點難以理解，下面就以時間坐標和固有時之間的關系為例來專門作出說明。

廣義相對論中，度規張量是描述時空幾何的基本變量，是坐標的函數。根據式(2.53)，彎曲時空中的固有時微元為

(2.66)

這是一個不變量，也就是上節說明的光速不變原理的要求。平直時空中，度規等于1(當地靜止時鐘顯示的)，坐標時間dt就和固有時間間隔dτ相等。引力存在時，度規不等于1，坐標時間隔dt就不等于固有時間間隔了。二者之比為

(2.67)

如果鐘表在引力場中保持靜止，即

dxi=0

那么式(2.67)變為

(2.68)

圖2 引力場中靜止時鐘顯示當地固有時

上式說明引力場影響了時間的測量，造成了時間的膨脹或者收縮的效應，坐標時間和當地固有時并不是相等的。現在的問題是，在當地靜止的時鐘顯示的時間是那個時間？是坐標時間還是固有時間？根據上文參考系坐標定義的方法，有讀者可能會認為，時鐘顯示的是坐標時間。這樣理解是不正確的，其實靜止時空不管是有沒有引力的存在，顯示的都是時鐘運行的固有時間。那么引力不是造成了時間膨脹或者收縮，鐘表怎么不能顯示坐標時間呢？這是因為在引力場中坐標時dt是不可觀測的，根據等效原理，在引力場中可以找到一個局域慣性系使得引力的效果消除。引力場造成了時間膨脹或者收縮，但是不能對鐘的快慢有直接的影響。不管鐘是機械鐘，還是原子鐘，它測量時間一定依賴于某個具體的物理機制，比如單擺或者原子震蕩等。如圖2所示，彈簧振子與一個鐘表二者保持相對靜止。引力場改變對所有物理過程的效應是一樣的，如果它造成了一個彈簧諧振子振動周期的改變，相應時鐘內部計時物理機制也發生了相同的改變，所以時鐘測量的彈簧振子周期與慣性系時鐘測量的結果是相同的。換一個參考系看，也是一樣的。如果換成局域慣性系，則鐘和彈簧振子在力的作用下上升。鐘和彈簧振子相對靜止，時鐘顯示的當然是彈簧振子固有周期。空間測量也存在類似的情況，這點的理解非常重要，也就是說引力存在時，時間坐標和空間坐標具體值只能由時鐘和尺子顯示值通過度規計算來得到。這并不意味著坐標沒有意義，相反，這會帶來重要的物理效果，即比較引力場中不同地點同一物理機制，比如光，就看到了引力造成的紅移或者藍移等時間改變效應。

由于dt1，dt2是全局的坐標時間，因此，兩點經歷的坐標時間間隔dt2與dt1是相等的，則

(2.71)

如果在引力場中對比兩個不同地點，同一物理機制發出的固有振動周期相同的光波(兩點發出的光傳播到同一地點)，相應的頻率之比為

(2.72)

這就是引力造成的紅移或者藍移的現象。后文將具體說明該現象的實驗驗證。

坐標系和固有時、固有距離之間的關系也可以解釋相對論理論中經常會被提到一個問題：雙生子佯謬。狹義相對論中，由于處理的是慣性系問題，兩個相對運動的物體，互相看到對方都是時間膨脹了。比如一對雙胞胎，弟弟留在了地球上，哥哥坐上宇宙飛船做高速旅行。若干年后，哥哥返回地球見到了弟弟。根據狹義相對論理論，從地球上弟弟的角度看，哥哥的時間膨脹了，也就是哥哥經歷的時間短，因此比弟弟年輕。但是從哥哥的角度看，弟弟以相反的方向高速運動，應該是弟弟的時間膨脹了。到底誰的時間發生了改變？這就是著名的雙生子佯謬。因為物理結果只能有一個，不可能因為參考系的改變而改變。這個情況其實比較復雜，因為我們不清楚哥哥具體的加速情況，我們舉另外一個類似的例子來說明這個問題，同時借此來更加深入理解坐標時與固有時的關系。

如圖3所示，兩個人A、B在互相觀察對方。其中A在地面上處于慣性系中；B站立在一個圓盤上，隨著圓盤一起作相對于地面的旋轉，角速度為ω。A與B距旋轉中心C點的徑向長度為ρ0。令A觀測者為O坐標系，B觀測者為O′坐標系。這個圓盤常被用來講解廣義相對論引力論，因此也被稱為愛因斯坦轉盤。首先，A處于慣性系，情況比較簡單，相關運動學的效應都可以用狹義相對論來處理。O系中，B做勻速圓周運動，所以B受到一個向心力的作用。沿著旋轉方向尺子會發生收縮；圓周的徑向則沒有收縮。如上文所述，由于B點測量到的是固有長度，從B測量的角度看，B所處的空間不再是平直的了，圓周周長Z與半徑ρ之間的關系為

(2.73)

圖3 愛因斯坦轉盤

公式中的

(2.74)

就是當前情況下的洛倫茲因子。因此B的參考系就必須用非歐幾何來描述了。依據狹義相對論運動學，此時A也會看到B的時間膨脹了，因為B相對于A運動的速度為

vB=ωρ0

(2.75)

每轉一周，A經歷的時間是

(2.76)

A會看到相對于B靜止的時鐘顯示經歷的時間是自己經歷時間除以洛倫茲因子即

(2.77)

旋轉中心C點相對A點靜止，C點時鐘顯示的時間與A點時間是同步的。所以在O慣性系看，以上結論都是正常的。

在O′系中的B看來，就會出現所謂的雙生子佯謬，即B看到A相對于自己在做圓周運動，根據狹義相對論，A的時間應該是膨脹的。這就與O系中A看到現象相反了，那到底是哪個有問題呢？這里我們需要知道，B所處的O′系是一個非慣性系，依據等效原理，O′系和慣性系是等權的，B可以認為O′系并不是非慣性系，而是時空中存在著引力作用。正是引力作用造成了時空的彎曲，時空由黎曼幾何描述。此時B看C點，發現C點時鐘相對于B點運行的快。B的理解為，C點的彎曲時空的度規00分量大于自己當地的00分量。根據O慣性系的分析可知，徑向ρ處時空度規的00分量為

g00=1-ω2ρ2

(2.78)

因此C點時鐘就走的快正是因為上文式(2.71)描述的引力造成的時空觀效應。那B看到A的時間到底是膨脹還是收縮了。要說清楚這一點就必須進一步明確O系和O′系之間的坐標變換。如果兩個坐標系都采用極坐標，仔細分析就會發現，相應的坐標變換可以取為

t=t′的原因在于C點的引力為零，A點的時間與C點時間同步。O′系B點坐標時間與C點同步，但是B點時鐘顯示的固有時間間隔小于當地的坐標時間間隔，這正是B鐘慢的原因。可能有讀者認為以上坐標變換不就是上小節所說明的絕對時空么？其實不是這樣的，此時的坐標變換是時空一體的變換，變換要求四維時空長度ds2不變(不考慮垂直與盤面的軸向)，此即光速不變原理的要求。O系時空度規為

(2.82)

按照式(2.79)、(2.80)、(2.81)坐標變換之后，O′度規為

(2.83)

此時B應該怎么計算A經歷的時間呢？在牛頓力學里，計算一個物體運動的時間很簡單，就是物體運動軌跡的長度除以速率積分即可。按相對論理論，問題就變得復雜了。速度uμ定義為坐標對固有時間的變化率，軌跡長度除以速率計算的是固有時間。而這正是我們所需要的。也就是說，我們并不需要坐標變化微元除以dt的坐標速度(等于距離引力源無窮遠處觀測者測量到的速度)。因此B點計算A旋轉一周經歷的固有時間間隔為

(2.84)

其中

(2.85)

這正像狹義相對論中兩個相對運動的慣性系一樣，A、B互相看到對方的相對旋轉角速度為ω。因此在O′參考系中B計算A的時間確實是比自己經歷的固有時間間隔長，這點是毋庸置疑的。由此讀者也會理解，在O慣性系中，A計算B旋轉一周經歷的固有時間間隔可以由坐標時間間隔2πρ0/vB除以洛倫茲因子得到；也可以完全按照運動方程直接計算B經歷的固有時間間隔

(2.86)

可見雙生子佯謬是不存在的，請讀者仔細體會其中的物理規律。在理解了坐標系與固有時、固有距離之間區別與聯系之后，下面開始具體的廣義相對論引力理論的旅程。

3 相對論引力論及其檢驗

上節已經說明了等效原理，廣義相對性原理和光速不變原理。原則上任何理論都可以寫為廣義協變的形式，時空一體則意味著廣義光速不變。牛頓力學、經典電磁學都可以寫為廣義協變理論形式。在量子場論中也可以考慮一個量子過程在彎曲時空的修正[10]。這實際上是廣義相對論理論的一半內容。而另一半，引力幾何化自身，時空本身如何彎曲？即刻畫彎曲時空的度規，曲率等幾何量滿足什么規律？等效原理并沒有說明，而這才是引力論核心內容。本節將研究如何將引力幾何化，得到最終的愛因斯坦引力場方程。引力論成功地將萬有引力推廣為相對論理論，它可以描述了引力和宇宙等。它所預言的光線偏折、水星近日點進動、引力紅移以及引力波等也被逐一驗證[11]。本節首先將導出愛因斯坦場方程，進而討論它的幾種重要的解，以及引力論的重要檢驗等。

3.1 引力場方程

首先要寫出彎曲時空自身的物理理論來。彎曲時空由度規來刻畫，因此廣義相對論引力理論描寫的是度規的動力學。引力場方程是一個度規的物理方程，這正是前文所說的等效原理的要求。麥克斯韋方程組的形式可以提示我們引力場方程的形式。麥克斯韋方程組左邊是電磁場的動力學項，右邊是場源項。度規的物理方程應該也是度規的動力學項等于引力源項。然而，引力的描述其實沒有其他特別的物理要求，根據廣義相對性原理和光速不變原理，做以下兩個假設[12]：

(1) 方程是一個四維時空的張量方程；

(2) 方程是二階微分方程，并且對二階導數是線性的。

第一個假設很明顯，不需要再做說明。第二個假設并沒有堅實的根據，只是由于已知的物理定律最多也只包含二階導數，所以我們希望引力的方程也是如此。當然，包含高階導數的引力理論也有很多研究，主要代表有f(R)引力[13]，f(T)引力[14]等，這些理論超出了本文的討論范圍。根據黎曼幾何，由度規張量，以及度規一階、二階導數構成的張量有黎曼張量，里奇張量，里奇標量，符號分別為

(3.87)

這些張量中最基礎的黎曼張量，后面兩個張量都是黎曼張量的指標縮并。通常，場論的構建方法就是把所有允許的項寫下來，然后確定各項前面的系數即可。寫完度規組成的張量，這等于寫下來度規物理方程一邊的形式。

度規物理方程另外一邊的張量就是引力的源。物體的引力質量產生了引力。由于引力質量與慣性質量的等價，而慣性質量即能量密度，因此可以認為能量密度提供了引力。但是能量密度只是能量在空間中的分布，最多也只能寫成標量形式。所以要寫下完整的引力源項，就應該使用能量動量張量

Tμ ν

(3.88)

能量密度只是Tμ ν的一個分量。能量動量張量Tμ ν可以依據諾特爾定理，由拉格朗日量的時空對稱性得到，其具體形式可以參看后文的討論。這是一個二階張量，因此這也決定了度規的動力學項只能由黎曼張量縮并產生的里奇張量和標量來構成。這樣，描述引力的方程所需要的項就齊全了。

(3.89)

為了做到這一點，只需要經過坐標變換，使得

(3.90)

這其實是在這一點取度規場切空間。此點附近度規為

(3.91)

hμ ν是一個小量，它的一階導數為零，即

hμ ν,α=0

(3.92)

因此在測地坐標下度規的一階導數項都為零，只剩下二階導數項，即

(3.93)

度規的一階導數為零，克里斯多夫聯絡也為零，此時問題得到了大大簡化。

現在可以嘗試導出描述引力場的物理方程。如上文所述，黎曼張量是唯一可用gμ ν二階導數的線性組合來構造的張量，方程左邊必須是關于黎曼曲率張量的某種縮并形式。由于方程是二階張量方程，因此方程左邊關于黎曼曲率張量的組合只能是

Rμ ν+agμ νR+Λgμ ν

(3.94)

其中，a、Λ是待定系數。而方程的右邊是能量動量張量Tμ ν，引力場方程可以初步確定為

Rμ ν+agμ νR+Λgμ ν=κTμ ν

(3.95)

其中，κ決定了引力的強度。要確定方程中的待定系數，需要從物理上對方程做進一步的要求：

(1) 該理論低速時應該回到牛頓萬有引力理論；

(2) 理論應該保持廣義能量動量守恒。

這兩個要求都是是自然的：既然現在要建立引力的相對論理論，物體速度遠遠小于光速時當然應當回到牛頓萬有引力；平直時空中能量動量守恒，在相對論理論中保持守恒也是自然的。第二個要求是對引力源的要求。有了以上假設和要求，就可以確定引力場方程了。平直時空中物質的能量動量張量守恒的要求即

?μTμ ν=0

(3.96)

這可以看作是測地坐標系中局域時空點成立的方程。當引力場存在時，守恒定律需要推廣為廣義形式。根據廣義相對性原理，只需要把測地坐標系中成立的守恒方程普通導數替換為協變導數即可，即

μTμ ν=0

(3.97)

利用坐標變換式(3.90)，將式(3.95)轉化到測地坐標下，形式為

(3.98)

上式中符號上的“撇”代表經過了坐標變換。將上式兩邊取四維散度，根據能量守式(3.96)，有

(3.99)

利用克里斯多夫聯絡的式(2.62)，可以得到

以及

其中，

h=hμ νημ ν

(3.102)

是測地坐標下度規張量的跡。由以上公式可以得到測地坐標下的里奇張量

(3.103)

以及里奇標量

R′=?2h-?α?βhα β

(3.104)

將以上兩式代入至式(3.99)中，可以將其化簡為

(3.105)

可以看出，能量守恒式(3.99)的條件導出待定系數

(3.106)

而另外一個系數Λ稱為宇宙學常數，不能由此方式求出。這是一個非常小但不等于零的數，在很多廣義相對論文獻中都省略了。愛因斯坦最初得到的引力場方程中也省略了這一項。但是它對宇宙的演化至關重要，在此我們保留它。由此就得到描述引力場的物理方程，即愛因斯坦場方程

(3.107)

這一方程是描述引力(能量動量張量)與時空(曲率張量)相互作用的方程。當然引力強度κ具體值仍然沒有確定，下一節依據上文所述的低速下回到牛頓萬有引力的要求，就能完成最終的引力場方程。

3.2 牛頓近似

為了確定引力強度κ，將牛頓引力理論與廣義相對論做對比來尋找其線索。牛頓引力理論是一個非相對論的弱場理論，所考慮的速度遠小于光速。牛頓萬有引力公式為

(3.108)

上式右邊負號代表吸引力；m1、m2為兩物體的質量(這里不再區分慣性質量與引力質量)。根據牛頓第二定律，得到牛頓引力理論的運動方程，即

(3.109)

其中，g就是重力加速度。據此定義牛頓引力勢Φ，它和牛頓引力F的關系是

F=-mΦ

(3.110)

對一個連續的質量分布，引力勢是

(3.111)

利用關系

可以將上式改寫為

2Φ(x)=4πGρ(x)

(3.112)

因此引力勢作用下的運動方程為

(3.113)

現在證明，在低速、弱場、靜態引力場以及空間緩變的情況下，廣義相對論便回到了牛頓理論，即愛因斯坦場方程在經典的近似下，回到了式(3.112)，并且通過對比得到愛因斯坦場方程中的耦合常數κ。在廣義相對論中，引力相互作用物體的運動方程是彎曲時空中的測地線，根據式(2.9)，空間坐標的運動形式為

(3.114)

在低速的情況下，有近似條件

(3.115)

這就是非相對論近似，也是牛頓理論處理問題的條件。測地線方程式(3.114)近似為

(3.116)

對比牛頓引力理論中的運動方程(3.112)，可得到聯絡與引力勢的關系：

(3.117)

(3.118)

因此

可以解釋為物體在引力場中所受到的四維引力。這是對牛頓引力的推廣。

當引力不存在時，時空是平直的，引力存在時，時空是彎曲的。當引力場強度比較弱時，時空的彎曲程度也比較小，因此可以認為弱引力場下度規張量偏離閔科夫斯基度規ημ ν一個小量，這個小量記為hμ ν，hμ ν?1。注意，弱場近似的hμ ν與上文測地坐標的hμ ν是不同的：前者是小量，導數不一定為零；后者也是一個小量，但是其一階導數為零。度規張量可以寫為

gμ ν=ημ ν+hμ ν

(3.119)

(3.120)

進而得到了引力勢與度規張量的關系，

(3.121)

利用引力勢的表達式(2.1)，可以得到弱場、低速近似下度規張量的00分量：

(3.122)

這表明引力場的存在影響了時間的測量，但只是當2GM/r一項與1可比擬時才會變得明顯。注意這里用的是自然單位制，若用國際單位制，弱場條件即是指

(3.123)

對于地球和太陽來說，這一項都非常小，弱場近似都成立。比如太陽，質量為M=2×1030kg、半徑為r=7×108m，在太陽表面計算上式

宇宙中其他類型的天體，比如中子星或黑洞，質量極大、體積極小，它們產生的引力效應非常強，屬于強引力場。強引力場效應也是檢驗廣義相對論的一個熱點方向[15]。

當引力場不隨時間變化時，度規張量對時間的導數為零，這時稱為靜態引力場。大部分天體所產生的引力場都是靜態的，也存在隨時間快速變化的引力場，牛頓引力理論不能準確描述它，必須用廣義相對論。用公式表示靜態引力場的條件，即

gμ ν,0=0

(3.124)

引力場是空間緩變的，即

gμ ν,i?1

(3.125)

把以上近似條件代入至愛因斯坦場方程(3.107)左邊，而方程的右邊能量動量張量Tμ ν在以上近似下只有00分量有貢獻。該分量就是物質的質量密度ρ(x)。場方程的00分量方程為

(3.126)

利用上式來確定耦合常數κ。首先對愛因斯坦場方程(3.110)兩邊取跡，即用gμ ν作用，簡單縮并(Λ=0)得到

R=-κT

(3.127)

T=Tμ νgμ ν是能量動量張量的跡。在近似條件下，

T=ρ(x)

(3.128)

將上式代入至式(3.126)中，得

(3.129)

在以上靜態、緩變、弱場的條件下，克里斯多夫聯絡為

(3.130)

將聯絡的各個分量顯示地寫出，有

(3.131)

2h00=-κρ(x)

(3.132)

上式是在近似條件式(3.115)、(3.129)、(3.124)、(3.125)下愛因斯坦場方程形式。下面就是把上式與牛頓引力理論方程(3.112)比較，利用Φ與h00的關系，可得

(3.133)

可以得到系數κ的值

κ=-8πG

(3.134)

代入κ，愛因斯坦場方程為

(3.135)

當宇宙學常數Λ=0時，

(3.136)

這就是大家熟悉的愛因斯坦場方程。方程左邊兩項也被定義為愛因斯坦張量Gμ ν

(3.137)

它滿足比安奇恒等式

μGμ ν=0

(3.138)

這是廣義相對論中的一個重要恒等式，對應的就是能量動量張量守恒。

廣義相對論雖然是一個關于引力的理論，但通過引力的幾何化將關于引力的問題轉化為彎曲時空的測量問題，即廣義相對論關注于彎曲時空的度規結構。一種度規形式即定義了一種時空結構，它對應于某種特定形式的引力場，因此在廣義相對論的框架內，引力即是時空。廣義相對論是研究引力的基本工具，而愛因斯坦場方程(3.136)則成為所有研究的出發點。

根據愛因斯坦場方程可知，物質決定了時空如何彎曲，而時空的彎曲將導致一系列非常有趣的物理結果，我們可以通過時空的彎曲效應來檢驗愛因斯坦場方程。根據目前的天文觀測結果，所有的數據都支持場方程。下一節，我們介紹愛因斯坦場方程的第一個嚴格解，即施瓦茲解，以及它的應用。

3.3 施瓦茲度規、廣義相對論的檢驗

上文在弱場、低速、緩變的情況下得到了引力場方程，這就是1915年愛因斯坦得到的引力理論。雖然它可以回到牛頓萬有引力理論，但這并不能證明該理論是正確的。必須驗證理論對萬有引力理論的修正效應才能確定其正確性。最好方式就是找到太陽系附近引力場方程的嚴格解，然后取近似來確定萬有引力的修正效應并進行觀測驗證。1916年，德國物理學家施瓦茲(Karl Schwarzschild)得到了愛因斯坦場方程的第一個嚴格解(施瓦茲解[16])。該解描述了靜態、呈球對稱的引力場，比較接近于太陽系附近的引力場，因此有著重要的應用。

太陽系由太陽、8大行星以及無數小行星組成，太陽的質量占據了太陽系質量的99.8%。忽略太陽的多級矩和自轉效應就是施瓦茲解要求的求解條件。這一節討論此條件下求解施瓦茲解的過程，然后可以由此檢驗廣義相對論。

施瓦茲解求解過程就是根據引力場的靜態、球對稱分布對度規張量的限制，再利用愛因斯坦場方程就能得到度規張量的具體表達式。對于一個球對稱的場，自然是采用球坐標(t,r,θ,φ)，度規張量有10個分量。首先，場的靜態條件要求度規張量與時間無關，并且滿足時間反演不變。這意味著，時空間隔中dtdr,dtdθ,dtdφ項前的系數必須為零。因此，時空間隔的形式必須為

ds2=A(r,θ,φ)dt2-dl2

(3.139)

其中，A(r,θ,φ)是關于坐標的函數；dl2是空間間隔。

場的球對稱分布給出的限制是，在以r為半徑的球面上的轉動，時空間隔保持不變。這樣，函數A(r,θ,φ)僅僅是坐標r的函數，記為A(r)。在一個二維球面上，兩點之間的間隔是唯一的轉動不變量，即

r2dθ2+r2sin2θdφ2

是不變量。由此可知，空間間隔的形式只能是

dl2=C(r)dr2+B(r)(r2dθ2+r2sin2θdφ2).

其中B(r)、C(r)是關于r的函數。于是，相應的時空間隔為

(3.140)

(3.141)

這樣可以將時空間隔中的變量函數減少至兩個。為了隨后的計算方便，再令

A′(r′)=eN(r),B′(r′)=eL(r)

(3.142)

這樣，靜態、球對稱的近似要求下，省略符號上的一撇，度規張量的形式為

(3.143)

下面將通過解愛因斯坦場方程來確定N(r)、L(r)的具體形式。

真空中能量動量張量為零，因此根據關系式(3.127)，真空中的愛因斯坦場方程形式為

Rμ ν=0

(3.144)

接下來，需要利用度規式(3.146)給出Rμ ν的各個分量，并代入上式進行求解。首先需要算出所有的克里斯多夫聯絡，然后再通過縮并算出Rμ ν。在當前的條件下，里奇張量中很多分量為零。非零的里奇張量為

其中，

代入至方程(3.144)中，得到3個微分方程

這組方程很容易解。式(3.145)加上式(3.146)可得

N′+L′=0

(3.148)

積分上式，得

N+L=C

(3.149)

其中，C是一積分常數。距離中心天體無限遠時，引力場強度近似為零，度規張量應該回到平直時空的形式。即r→∞時，函數N(r)、L(r)必須同時趨近于零，因此積分常數C=0,

N=-L

(3.150)

將式(3.148)代入式(3.147)中，經化簡，得到微分方程

(3.151)

這一方程的解為

(3.152)

其中，k為一積分常數。根據方程(3.150)，有

(3.153)

綜上，我們通過解真空中的愛因斯坦場方程得到描述靜態、球對稱的引力場的度規形式為

(3.154)

為了得到k的值，需要借助牛頓極限。在弱場、低速近似的情況下，h00起著牛頓引力勢的作用，即式(3.121)。一個球對稱的質量分布，總質量為M，根據式(3.122)，有

(3.155)

從而得到

k=-2GM

(3.156)

將k代入空間間隔式(3.154)中，得到

(3.157)

這是一個描述靜態、球對稱引力場的真空解，即施瓦茲解。施瓦茲解是一個嚴格解，其實該解在很多類型的引力場下都是適用的。任何非轉動、電中性的恒星的引力坍縮，其最后結果必定導致施瓦茲幾何[12]。施瓦茲度規時空產生的物理效應，包括水星近日點的進動、光線偏折和引力紅移，觀測結果驗證了施瓦茲解的預言，這就是廣義相對論的實驗驗證。

3.3.1 水星近日點進動

牛頓萬有引力理論對太陽系中行星運動的描述是非常準確的，比如理論準確地預言了海王星和冥王星存在。這兩個行星的觀測是牛頓萬有引力理論的巨大成功。但是，萬有引力的理論預言存在一個例外：行星近日點的運動與理論值有所偏離。對于一個可以看作質點的行星，萬有引力理論所預言的軌道方程為

(3.158)

其中u=1/r，r為行星的半徑，下文將說明l的意義。方程(3.158)的解為

(3.159)

圖4 行星進動現象

這是一個橢圓軌道方程，ε是這個橢圓軌道的偏心率，太陽是其中一個焦點，近日點位于φ=φ0。當考慮了其他行星軌道的擾動與太陽四極矩等因素后，行星就會存在進動現象，即行星旋轉的軌道面對稱軸也在旋轉。其最顯著的觀測效應就是近日點位置的變動。萬有引力可以計算近日點進動的具體數值。觀測表明[17]，行星實際進動的數值與萬有引力的預言并不符合。這一偏離較為明顯的例子是水星，水星的軌道偏離正圓的程度很大，在近日點距太陽4600萬km，而遠日點則有7000萬km。如圖4所示，水星圍繞太陽做周期運動的軸在緩慢變化著，兩個相鄰近日點的角位移偏離了2π(轉動一周的角位移)。觀測表明水星近日點的偏轉角為(5600.73±0.41)弧秒/百年，而由牛頓萬有引力理論算出其他行星的擾動導致的偏轉角為(5557.62±0.20)弧秒/百年，其中額外的(43.1±0.1)弧秒/百年的進動值是牛頓引力理論不能解決的。為了找到這額外的進動值，我們研究施瓦茲度規下的測地線方程，從中可以得到對行星軌道方程的修正。

施瓦茲度規式(3.157)對應的測地線方程是

(3.160)

其中，符號上的點號代表對固有時τ的導數。對于現在要處理的情況，可以假設行星的軌道在

的平面上，并且有

(3.164)

即軌道將始終保持在這一平面上。這是很明顯的。

式(3.160)和式(3.163)可以直接積分。利用關系

可以將式(3.160)寫為

(3.165)

積分上式，得到

(3.166)

同樣，積分式(3.163)得到

(3.167)

這是因為拉格朗日量式(2.12)中包含坐標的項只有度規張量gμ ν，施瓦茲度規式(3.157)與時間t和角度φ無關，即

gμ ν,0=gμ ν,3=0

(3.170)

度規與某一坐標的無關性是一類重要的問題，它涉及時空的對稱性。比如在狹義相對論中，度規ημ ν=diag(1,-1,-1,-1)，與4個坐標都無關，因此在平直時空中能量動量守恒。度規的形式不同，時空的對稱性就不同。這一點在后文會作出說明。

方程(3.168)、(3.169)說明，施瓦茲度規下的行星軌道運動中，運動的能量E與角動量L是守恒量。根據拉格朗日量式(2.12)，可以得到

比較式(3.166)、(3.167)與式(3.171)、(3.172)，可以得到積分常數與l的物理含義，它們分別是單位質量的能量和角動量，即

方程(3.161)成為

(3.175)

方程(3.175)非常難解，可以利用式(2.57)來將其化簡。利用施瓦茲度規式(3.157)，代入至式(2.57)中，得到

(3.176)

再利用式(3.166)、(3.167)代入上式，經化簡得

(3.177)

將上式代入至式(3.175)中，可以得到施瓦茲度規中行星運動的軌道方程為

(3.178)

把此式與牛頓引力理論相應的軌道方程(3.158)相比較，多出了-3GMu2一項，這一項代表著廣義相對論的修正。估算一下這個量的大小，相比于式(3.178)第二項u，二者相差

由于水星質量很小，M約等于太陽質量，r=5.5×1010m，在國際單位制中

(3.179)

是一個遠小于1的數。由于廣義相對論的修正項-3GMu2比其他項小很多，因此利用逐級近似的方法求解微分方程(3.178)。這里直接給出微分方程(3.178)的近似解

(3.180)

上式表示一個進動的橢圓軌道。其中，ε與φ0是牛頓引力中行星橢圓軌道的偏心率和近日點位置。行星軌道的一個周期為

(3.181)

這表明兩個相鄰的近日點的角距離比2π多出

(3.182)

這個量給出每個公轉周期近日點的角進動值。對于一個長半軸為a的橢圓，近日點的距離是a(1-ε)。對于橢圓軌道式(3.159)，在近日點處φ=φ0，有

(3.183)

得到

(3.184)

在國際單位制中，水星近日點的進動值為

(3.185)

代入水星的觀測數據，這個角進動值為0.1035弧秒，即每一周期水星的近日點與上一個近日點相差了0.1035弧秒。因為水星的公轉周期是0.24年，這一進動值相應于每百年43弧秒。表1給出了太陽系內行星進動的觀測值(弧秒/百年)與廣義相對論的預測值(弧秒/百年)[12]。其中，觀測到的行星近日點進動值已經減去了其他行星的貢獻以及歲差的影響。觀測數據與廣義相對論的預言符合得很好，因此行星進動預言值的修正是廣義相對論的重要驗證之一。

表1

3.3.2 光線偏折

廣義相對論另外一個重要檢驗是光線的引力偏折。太陽附近的光線軌道略微偏離了直線，這直接反映了太陽附近時空的彎曲。光子的靜止質量為零，但是它的運動質量并不為零，所以運動的光子具有慣性質量[17]。這樣，即使在牛頓引力理論中，等效原理也表明了引力場將影響光子的軌道。我們先用牛頓引力中的軌道方程(3.158)來估算一下。對于經過太陽附近的光子，速率

v=1

所以角動量

l≈Rv=R

R為太陽半徑。代入至式(3.158)中，得

(3.186)

方程中

是一個非常小的量，代表引力場對軌道的影響。如果將其忽略，以上方程成為

(3.187)

它的解為

u=c0cosφ

(3.188)

其中，c0是積分常數，由初始光子的位置決定。如果將上式轉化到直角坐標系，即作變換x=rcosφ，軌道方程成為

x=c0

(3.189)

(3.190)

當光線在遠處時，即u=0，根據上式，有

cosφ|u=0=-u0

(3.191)

光線在遠處的方位角寫為

(3.192)

滿足

sinα?α?u0

(3.193)

那么光線的偏折角即為2α，即

(3.194)

上式即牛頓引力理論預測的光線偏折。接下來，利用施瓦茲度規下的軌道方程(3.178)計算光線的偏折角度。

光子靜止質量為零，處理運動方程時，可以認為式(3.173)、(3.174)中的固有時趨于零，因此在軌道方程(3.178)中有

這時二次方程(3.178)成為

(3.195)

接下來的步驟和處理牛頓引力下的光線偏折相仿。上式的解為

(3.196)

(3.197)

保留一階小量得到

(3.198)

光線在施瓦茲度規下的偏折為

(3.199)

廣義相對論預言的光線偏折是牛頓引力預言的兩倍。在1919年5月發生日全蝕時，愛丁頓(Eddington)和戴森(Dyson)的兩只觀測隊首次觀測到了經過太陽表面的光線偏折，角度分別是(1.98±0.12)″和(1.61±0.30)″，這一觀測值與式(3.199)的預言值相符，是廣義相對論第一個實驗驗證。在1919年之后，人們又在許多次日食期間做了類似的觀測。但是由于觀測的誤差比較大，接下來的數次觀測都沒有做到更精確的檢驗。而比較精密的實驗結果是通過射電望遠鏡得到的。表2給出了使用射電望遠鏡檢驗太陽附近光線偏折的結果[12]。

表2

值得一提的是，射電望遠鏡的精確觀測數據使得人類可以檢驗某些廣義相對論的擴展理論[12]。

另外需要注意的是，一次方程(3.180)也對應著軌道方程，它會給出更多物理內容。雖然

ε,l→∞

若它們的比值保持有限是一個常數，令

其中參數b稱為碰撞參量，它與光子的能量有關。方程(3.177)變為

(3.200)

上式給出了方位角變化和u之間的關系，即

(3.201)

在與中心天體最近的點處有

du/dφ=0

記這個點為

u=1/r0

從遠處而來的光線，經由中心質量的彎曲后，再傳播至遠處，由上式可以得到其方位角變化

(3.202)

對于不同的碰撞參量b，上式給出不同的光線偏折。偏折的角度可以很小，也可以很大。對于致密天體，光線的偏折角度可以是2π，即繞天體轉一圈，也可能是4π，即轉兩圈，甚至可以一直繞著天體轉，形成一個光球。

對于一般天體來說，光線偏折效應很小，而對于宇宙當中的某個星系來說，這個效應就顯得十分重要，因為星系有著大得多的質量。當遙遠的光線或者電磁波經過某星系時，星系的引力場造成光線偏折的現象類似于凸透鏡對光線的偏折，該現象也被稱之為引力透鏡現象。通過觀察引力透鏡現象，我們可以獲得星系的質量等信息。

3.3.3 引力紅移

以上討論了施瓦茲度規下的徑向測地方程，這些測地方程對應著太陽引力場內的軌道方程。理論的預測與實驗的測量符合得很好。廣義相對論的又一重要的實驗驗證就是上文已經提到過的引力紅移效應，它是時間膨脹效應的直接體現。具體理論在2.3節已經做了說明，引力紅移現象指的是在強引力場處向弱引力場處發射的光線會產生紅移，反之則會產生藍移。現在有了施瓦茲度規，我們就可以做實驗來檢驗該度規的紅移效應了。

對于在施瓦茲時空中不同徑向距離r處的兩只靜止的鐘來說，它們是不同步的，即不同r處有著不同的時間快慢。在沒有引力場的情況下，一發射頻率為ν的可見光光源，有關系

ν=1/T

(3.203)

其中T為周期。若將光源在施瓦茲時空中，它距質量中心的徑向距離為r1，那么根據引力紅移理論，這一點的固有時間間隔將比坐標時間間隔小，有

(3.204)

當r1越小，即光源處于更強引力場處時，固有時間膨脹的程度相比弱引力場處就越大。對于固有振動周期為T的光源，不同的引力場強使其頻率改變。根據式(2.72)，向引力場強處發射的光，頻率會逐漸變大，光譜線向藍光移動，即藍移。反之，由太陽發出的一束頻率為ν的可見光，在抵達地球時，它的頻率會變短，即紅移。

接下來進行定量比較。處于施瓦茲時空的兩點，距離中心質量的徑向距離分別為r1和r2，兩處固有時之比為

(3.205)

因此，從r1發射頻率為ν1的可見光，在抵達r2時，二者頻率之比為

(3.206)

定義頻率的相對偏差

則

(3.207)

通過檢驗接收光源處頻率的相對偏差，便可以檢驗引力場中的時間膨脹。對于地球表面，可以作如下近似

(3.208)

式中，Δr是高度差；g是地球表面的重力加速度。在國際單位制中，上式還要除以光速的平方。若Δr在1km的量級上，估算可得地球表面時間膨脹的效應大概在10-13的量級。要想檢驗如此小的時間膨脹效應，普通鐘表的精度是不夠的，必須使用原子鐘或者核種。實驗上首次對10m量級的時間膨脹的檢驗是由核鐘來完成的。在1960年，Pound和Rebka把一個γ射線源放置于地面上，并用一個放置于塔頂的吸收器來探測γ射線，塔頂距離射線源的高度是22.6m。對于Δr=-22.6m，式(3.211)所預言的相對頻移是

(3.209)

這樣一個量級在核鐘的精度內，實驗結果在1%的實驗誤差之內與預期值相符。

人類可以探測到恒星表面的原子輻射光產生的引力紅移現象。太陽表面原子的振動頻率，與遠處同樣的原子振動頻率相比，相對頻移為

(3.210)

Brault和Snider進行的巧妙實驗檢驗了這一預測的準確性。表3給出了一些檢驗引力紅移實驗的具體結果，這些實驗表明時間膨脹式(3.205)的正確性，雖然這不是對廣義相對論的直接證據，但時間膨脹是彎曲時空的效應。實驗數據與理論預測再一次符合得極好[12]。

表3

廣義相對論還有一個重要檢驗是引力波。引力波的探測自從20世紀60年代開始，直到2015年LIGO探測器首次探測到黑洞合并的引力波信號，證實了引力波的存在。通過探測不同頻段的引力波，可以揭示強引力系統的物理過程。本專題的第二篇論文將主要討論引力波波速與真空中光速的關系。

另外，從施瓦茲度規式(3.157)可以看到，引力場非常強處，r→2GM

gtt→0,grr→∞

(3.211)

這對應于時空中非常奇特的區域，該區域光子也逃不出來。因此r≤2GM的區域被稱為黑洞，r=2GM的面也被稱為黑洞的視界面。黑洞相關物理不是本文的重點，這里就不做過多討論了。

4 結語

本篇論文首先討論了在等效原理指導下，相對性原理和光速不變原理的具體內容，然后以此為基礎闡述了廣義相對論理論中坐標系和時空觀的理解。第三部分簡述了廣義相對論引力論的基本理論建立過程、檢驗以及應用等內容。正如文中所強調的，廣義相對論是關于度規的理論，它將引力效果通過時空的測量方式表示出來，我們因此得以避免質量分布的復雜情況以及其他理論[注]有另外的不使用時空度規來描述引力的理論，可參看文獻[18]，理論中存在很多待定參數。的參數等。愛因斯坦場方程描述了時空幾何與物質場的聯系，前沿引力研究如黑洞熱力學、宇宙學及其應用等都是對此場方程的進一步探索，這是當前理論物理的熱點方向，進展也日新月異。鑒于本篇論文目的主要是綜述經典引力論，因此這里就不詳述相關研究進展了。有了經典引力論的基礎，下一篇中我們就來處理前言中所討論的重要問題，光速與引力波速度的關系。